（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1 第1讲 集合及其运算教学案

第一章 集合与常用逻辑用语 知识点最新考纲集 合 了解集合、元素的含义及其关系 理解集合的表示法 了解集合之间的包含、相等关系 理解全集、空集、子集的含义 会求简单集合间的并集、交集 理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件 了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系 理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.第1讲集合及其运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系 表示关系 文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素xAxBAB或BA真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AAB，且存在x0B，x0AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同AB，BAAB空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集任意x，x，A3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA4.集合的运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)补集的性质：A(UA)U；A(UA)(4)U(UA)A；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(2)若x2，10，1，则x0，1.()(3)x|x1t|t1()(4)对于任意两个集合A，B，(AB)(AB)恒成立()(5)若ABAC，则BC.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修1P12A组T3改编)若集合PxN|x，a2，则()AaPBaPCaPDaP解析：选D.因为a2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以aP.故选D.2(必修1P11例9改编)已知U|0180，Ax|x是锐角，Bx|x是钝角，则U(AB)_答案：x|x是直角3(必修1P44A组T5改编)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为_解析：集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线yx，圆x2y21与直线yx相交于两点，则AB中有两个元素答案：2易错纠偏(1)忽视集合中元素的互异性致误；(2)忽视空集的情况致误；(3)忽视区间端点值致误1已知集合A1，3，B1，m，若BA，则m_解析：因为BA，所以m3或m，即m3或m0或m1，根据集合元素的互异性可知，m1，所以m0或3.答案：0或32已知集合Mx|x20，Nx|ax10，若MNN，则实数a的值是_解析：易得M2因为MNN，所以NM，所以N或NM，所以a0或a.答案：0或3已知集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则AB_，AB_，(RA)B_解析：由已知得Ax|1x3，Bx|2x4，所以ABx|2x3，ABx|1x4，(RA)Bx|x1或x2答案：(2，3)(1，4)(，1(2，)集合的含义 (1)已知集合A0，1，2，则集合B(x，y)|xy，xA，yA中元素的个数是()A1 B3C6 D9(2)若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a()A BC0 D0或(3)设a，bR，集合1，ab，a，则ba_【解析】(1)当x0时，y0；当x1时，y0或y1；当x2时，y0，1，2.故集合B(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，即集合B中有6个元素(2)当a0时，显然成立；当a0时，(3)28a0，即a.(3)因为1，ab，a，a0，所以ab0，则1，所以a1，b1.所以ba2.【答案】(1)C(2)D(3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤 1(2020温州八校联考)已知集合M1，m2，m24，且5M，则m的值为()A1或1 B1或3C1或3 D1，1或3解析：选B.因为51，m2，m24，所以m25或m245，即m3或m1.当m3时，M1，5，13；当m1时，M1，3，5；当m1时，不满足互异性所以m的值为3或1.2已知集合Ax|xZ，且Z，则集合A中的元素个数为_解析：因为Z，所以2x的取值有3，1，1，3，又因为xZ，所以x的值分别为5，3，1，1，故集合A中的元素个数为4.答案：4集合的基本关系 (1)(2020浙江省绿色联盟联考)已知AB，AC，B2，0，1，8，C1，9，3，8，则集合A可以为()A1，8B2，3 C0D9(2)已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_【解析】(1)因为AB，AC，所以ABC1，8，故选A.(2)因为BA，所以若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为m3.【答案】(1)A(2)(，31(变条件)在本例(2)中，若AB，如何求解？解：若AB，则即所以m的取值范围为.2(变条件)若将本例(2)中的集合A改为Ax|x5，如何求解？解：因为BA，所以当B时，即2m1m1时，m4.综上可知，实数m的取值范围为(，2)(4，) 1设Py|yx21，xR，Qy|y2x，xR，则()APQ BQPCRPQ DQRP解析：选C.因为Py|yx21，xRy|y1，Qy|y2x，xRy|y0，所以RPy|y1，所以RPQ，选C.2(2020绍兴调研)设A1，4，2x，B1，x2，若BA，则x_解析：由BA，则x24，或x22x.当x24时，x2；当x22x时，x0或x2.但当x2时，2x4，这与集合中元素的互异性相矛盾故x2或x0.答案：2或03已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为_解析：由x23x20，得x1或x2，所以A1，2由题意知B1，2，3，4，所以满足条件的C可为1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4答案：4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现试题多为低档题主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数角度一求集合间的交、并、补运算 (1)(2018高考浙江卷)已知全集U1，2，3，4，5，A1，3，则UA()A B1，3C2，4，5 D1，2，3，4，5(2)(2019高考浙江卷)已知全集U1，0，1，2，3，集合A0，1，2，B1，0，1，则B()A1 B0，1C1，2，3 D1，0，1，3(3)(2020浙江高考模拟)设全集UR，集合Ax|x2x20，Bx|1x3，则AB_，U(AB)_【解析】(1)因为U1，2，3，4，5，A1，3，所以UA2，4，5故选C.(2)由题意可得UA1，3，则(UA)B1故选A.(3)因为Ax|x2x20x|1x2，Bx|1x3，所以ABx|1x3又因为ABx|1x1，Bx|x1.故m的值可以是2，故选D.【答案】(1)C(2)D (1)集合运算的常用方法若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解提醒在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性) 1已知集合PxR|1x3，QxR|x24，则P(RQ)()A2，3 B(2，3C1，2) D(，21，)解析：选B.由于Qx|x2或x2，RQx|2x2，故得P(RQ)x|2x3故选B.2设全集S1，2，3，4，且AxS|x25xm0，若S A2，3，则m_解析：因为S1，2，3，4，SA2，3，所以A1，4，即1，4是方程x25xm0的两根，由根与系数的关系可得m144.答案：4核心素养系列1数学抽象集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象 对于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1，其余项均为0.例如：子集a2，a3的“特征数列”为0，1，1，0，0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前3项和等于_；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，p100满足p11，pipi11，1i99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q11，qjqj1qj21，1j98，则PQ的元素个数为_【解析】(1)由已知可得子集a1，a3，a5的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，0，故其前3项和为2.(2)由已知可得子集P为a1，a3，a99，子集Q为a1，a4，a7，a100，则两个子集的公共元素为a1到a100以内项数被6除余1的数对应的项，即a1，a7，a97，共17项【答案】(1)2(2)17解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在 (2)用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质设数集Mx|mxm，Nx|nxn，且M，N都是集合Ux|0x1的子集，定义ba为集合x|axb的“长度”，则集合MN的长度的最小值为_解析：在数轴上表示出集合M与N(图略)，可知当m0且n1或n0且m1时，MN的“长度”最小当m0且n1时，MNx|x，长度为；当n且m时，MNx|x，长度为.综上，MN的长度的最小值为.答案：基础题组练1已知集合A1，2，3，4，B2，4，6，8，则AB中元素的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B.因为集合A和集合B有共同元素2，4，所以AB2，4，所以AB中元素的个数为2.2(2020温州十五校联合体联考)已知集合A，B，则AB()A(，1 B(0，1C1，e D(0，e解析：选A.因为A，B，所以AB(，1，故选A.3(2020宁波高考模拟)已知全集UABxZ|0x6，A(UB)1，3，5，则B()A2，4，6 B1，3，5C0，2，4，6 DxZ|0x6解析：选C.因为全集UABxZ|0x60，1，2，3，4，5，6，A(UB)1，3，5，所以B0，2，4，6，故选C.4设集合A1，2，6，B2，4，CxR|1x5，则(AB)C()A2 B1，2，4C1，2，4，6 DxR|1x5解析：选B.因为A1，2，6，B2，4，所以AB1，2，4，6，又CxR|1x5，所以(AB)C1，2，4故选B.5(2020宜春中学、新余一中联考)已知全集为R，集合Ax|x25x60，Bx|2x1，则图中阴影部分表示的集合是()Ax|2x3 Bx|1x0Cx|0x6 Dx|x1解析：选C.由x25x60，解得1x6，所以Ax|1x6由2x1，解得x0，所以Bx|x0又图中阴影部分表示的集合为(RB)A，因为RBx|x0，所以(RB)Ax|0x6，故选C.6已知集合Ax|x23x0，B1，a，且AB有4个子集，则实数a的取值范围是()A(0，3) B(0，1)(1，3)C(0，1) D(，1)(3，)解析：选B.因为AB有4个子集，所以AB中有2个不同的元素，所以aA，所以a23a0，解得0a0，Bx|xa0，若UBA，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，2C1，) D2，)解析：选D.因为x23x20，所以x2或x2或xa因为UBA，借助数轴可知a2，故选D.11集合A0，2，a，B1，a2，若AB0，1，2，4，16，则a的值为_解析：根据并集的概念，可知a，a24，16，故只能是a4.答案：412(2020宁波效实中学模拟)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，则AB_；A(UB)_解析：log2(x2)10x222x3，则B_，A(RB)_解析：当k1时，n4；当k0时，n1；当k1时，n2；当k2时，n5.由|x1|3，得x13或x14或x2，所以Bx|x4，RBx|2x4，A(RB)1，2答案：x|x41，214(2020浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合MxR|x24x30，集合NxR|2x4，则MN_；R(MN)_解析：MxR|x24x30x|x3，NxR|2x4x|x2，所以MN(3，)，所以R(MN)(，3答案：(3，)(，315已知集合Mx|x24x0，Nx|mx5，若MNx|3xn，则m_，n_解析：由x24x0得0x4，所以Mx|0x4又因为Nx|mx5，MNx|3xn，所以m3，n4.答案：3416设全集UxN*|x9，U(AB)1，3，A(UB)2，4，则B_解析：因为全集U1，2，3，4，5，6，7，8，9，由U(AB)1，3，得AB2，4，5，6，7，8，9，由A(UB)2，4知，2，4A，2，4UB.所以B5，6，7，8，9答案：5，6，7，8，917已知集合Ax|1x5，Cx|axa3，若CAC，则a的取值范围是_解析：因为CAC，所以CA.当C时，满足CA，此时aa3，得a；当C时，要使CA，则解得a1.综上，可得a的取值范围是(，1答案：(，1综合题组练1(2020金华东阳二中高三调研)已知全集U为R，集合Ax|x216，Bx|ylog3(x4)，则下列关系正确的是()AABR BA(UB)RC(UA)BR DA(UB)A解析：选D.因为Ax|4x4，所以UBx|x4，所以A(UB)A，故选D.2集合Ax|yln(1x)，Bx|x22x30，全集UAB，则U(AB)()Ax|x1或x1 Bx|1x3或x1Cx|x1或x1 Dx|1x3或x1解析：选B.集合Ax|yln(1x)x|1x0x|x1，Bx|x22x30x|(x1)(x3)0x|1x3，所以UABx|x3，所以ABx|1x1；所以U(AB)x|1x3或x1故选B.3(2020浙江新高考联盟联考)已知集合A1，2，B1，m，若BA，则m_，AB_解析：由题意，当m2时，A1，2，B1，2，满足BA；当m，即m0或1时，若m0，则A1，2，0，B1，0，满足BA.若m1，则A1，3，1，B1，1，不满足集合中元素的互异性，所以m1舍去当m2时，AB；当m0时，AB2答案：0或22或4函数g(x)其中P，M为实数集R的两个非空子集，规定f(P)y|yg(x)，xP，f(M)y|yg(x)，xM给出下列四个命题：若PM，则f(P)f(M)；若PM，则f(P)f(M)；若PMR，则f(P)f(M)R；若PMR，则f(P)f(M)R.其中命题不正确的有_解析：若P1，M1，则f(P)1，f(M)1，则f(P)f(M)，故错若P1，2，M1，则f(P)1，2，f(M)1，则f(P)f(M).故错若P非负实数，M负实数，则f(P)非负实数，f(M)正实数，则f(P)f(M)R，故错若P非负实数，M正实数，则f(P)非负实数，f(M)负实数，则f(P)f(M)R，故错答案：5设x表示不大于x的最大整数，集合Ax|x22x3，B，求AB.解：不等式2x8的解为3x3，所以B(3，3)若xAB，则，所以x只可能取值3，2，1，0，1，2.若x2，则x232x0，没有实数解；若x1，则x21，得x1；若x0，则x23，没有符合条件的解；若x1，则x25，没有符合条件的解；若x2，则x27，有一个符合条件的解，x.因此，AB.6已知集合Ax|1x3，集合Bx|2mx1m(1)当m1时，求AB；(2)若AB，求实数m的取值范围；(3)若AB，求实数m的取值范围解：(1)当m1时，Bx|2x2，则ABx|2x3(2)由AB知得m2，即实数m的取值范围为(，2(3)由AB，得若2m1m，即m时，B，符合题意；若2m1m，即m时，需或得0m或，即0m.综上知m0，即实数m的取值范围为0，)16