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第九章 解析几何第一节直线与方程本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2.直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.突破点(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 基础联通抓主干知识的“源”与“流”1直线的斜率P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.2直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，)(3)直线l的倾斜角为，则斜率ktan_.3两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”直线的倾斜角与斜率1直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kktan 0k0ktan 0不存在倾斜角锐角0钝角902.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数ktan 的单调性，如图所示：当取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；当取值在内，由增大到()时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想例1(1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是_(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析(1)因为直线xsin y20的斜率ksin ，又1sin 1，所以1k1.设直线xsin y20的倾斜角为，所以1tan 1，而0，)，故倾斜角的取值范围是.(2)如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl.2或.解得0m或m0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数m的取值范围为.答案(1)(2)易错提醒直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)两直线的位置关系两直线平行或垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；两直线垂直两直线的斜率之积为1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合例2已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)由已知可得l2的斜率存在，所以k21a.若k20，则1a0，a1.因为l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又因为l1过点(3，1)，所以3a40，即a(矛盾)所以此种情况不存在，所以k20.即k1，k2都存在，因为k21a，k1，l1l2，所以k1k21，即(1a)1.又因为l1过点(3，1)，所以3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)因为l2的斜率存在，l1l2，所以直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或所以a2，b2或a，b2.方法技巧已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示直线方程l1：A1xB1yC10(AB0) l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)提醒当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.直线2xcos y30，的倾斜角的取值范围是_解析：直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1， 设直线的倾斜角为，则有tan 1， 又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.答案：2.(2018苏北四市模拟)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为_解析：由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0k1，即02x021，故1x0.答案：3.(2018苏州调研)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为_解析：由题意知，直线l1，l2斜率均存在，因为l1l2，所以，所以解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2之间的距离d.答案：4.已知直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，若l1l2，则a_.解析：因为直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，l1l2，所以2a(a1)(a1)(a1)0，解得a或a1.答案：或15.直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_解析：如图，kAP1，kBP，k(， 1，)答案：(， 1，)6.(2018苏北四市一模)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b的最小值为_解析：由两直线平行可得，a(b3)2b0，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)13132 25，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.答案：25突破点(二)直线的方程 基础联通抓主干知识的“源”与“流”直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率kyy0k(xx0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率kykxb与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面直角坐标系内所有直线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求直线方程例1(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程(2)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程(3)求过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.(3)当m2时，直线l的方程为x2；当m2时，直线l的方程为，即2x(m2)ym60.因为m2时，代入方程2x(m2)ym60，即为x2，所以直线l的方程为2x(m2)ym60.易错提醒(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)与直线方程有关的最值问题例2过点P(4,1)作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解设直线l：1(a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1.(1)12 ，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，SAOBab最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)552 9，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为x2y60.方法技巧1给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况(2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性2与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y.(2)将问题转化成关于x(或y)的函数(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是_解析：直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10.答案：xy102.已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.答案：4x3y403.若直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为_解析：直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，abab，即1，ab(ab)222 4，当且仅当ab2时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.答案：44.若ab0，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_解析：根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0.根据基本不等式ab2(ab)4，从而0(舍去)或4，故ab16，当且仅当ab4时取等号即ab的最小值为16.答案：165.ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，C(2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知，点D的坐标为(0,2)由点斜式得直线DE的方程为y22(x0)，即2xy20.突破点(三)直线的交点、距离与对称问题 基础联通抓主干知识的“源”与“流”1两条直线的交点2三种距离类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两平行直线间的距离两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d考点贯通抓高考命题的“形”与“神”交点问题例1(1)当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第_象限(2)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段长为5，则直线l的方程为_解析(1)由得又0k，x0，y0，故直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第二象限(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1，l2的交点分别为A(3，4)，B(3，9)，截得的线段AB的长|AB|49|5，符合题意若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为yk(x3)1.解方程组得A，解方程组得B.由|AB|5，得2252.解得k0，即所求的直线方程为y1.综上可知，所求直线l的方程为x3或y1.答案(1)二(2)x3或y1方法技巧1两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标2求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程距离问题例2(1)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为_(2)已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_解析(1)因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.(2)设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或.答案(1)(2)(1，4)或易错提醒(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为相等对称问题1中心对称问题的两种类型及求解方法点关于点对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解直线关于点对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线对称若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解例3(1)点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M的坐标为_(2)直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_(3)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析(1)设M(x，y)，则x1，y6，M(1,6)(2)设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.(3)设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案(1)(1,6)(2)x2y30(3)6xy60方法技巧解决两类对称问题的关键点解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.(2018太仓期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a1，a1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为_解析：因为直线AB的斜率为1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为yxb，由题意知直线l过点，所以b，解得b1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.答案：xy102.若直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离是，则mn_.解析：直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离为，n2，m2(负值舍去)mn0.答案：03.设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)当P与A和B均不重合时，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知两直线垂直，则PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，故|PA|PB|的最大值是5.答案：54.若m0，n0，点(m，n)关于直线xy10的对称点在直线xy20上，那么的最小值等于_解析：由题意知(m，n)关于直线xy10的对称点为(1n,1m)则1n(1m)20，即mn2.于是(mn)(522)，当且仅当m，n时等号成立答案：5.经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_解析：由方程组得即P(0,2)ll3，直线l3的斜率为，直线l的斜率k1，直线l的方程为y2x，即4x3y60.答案：4x3y606.已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，因为kOP，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1直线xy10的倾斜角是_解析：由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，所以.答案：2(2018常州期中)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为.答案：3过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是_解析：依题意，设所求的直线方程为x2ya0，由于点(1,0)在所求直线上，则1a0，即a1，则所求的直线方程为x2y10.答案：x2y104已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_解析：，m8，直线6x8y140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.答案：25(2018徐州高三月考)已知平面上三条直线x2y10，x10，xky0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值集合_解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k1，故实数k的取值集合为0,1,2答案：0,1,2练常考题点检验高考能力一、填空题1已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是_解析：由题意可知a0.当x0时，ya2.当y0时，x.故a2，解得a2或a1.答案：2或12设直线l的方程为(a1)xy2a0 (aR), l在两坐标轴上截距相等，则l的方程为_解析：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.令x0，得ya2，令y0，得x，a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.答案：3xy0或xy203(2018无锡一中高三模拟)已知ABC的两个顶点A(1，5)和B(0，1)，若C的平分线所在的直线方程为2x3y60，则BC边所在直线的方程为_解析：设A点关于直线2x3y60的对称点为A(x1，y1)，则解得即A，角平分线是角的两边的对称轴，A点在直线BC上直线BC的方程为yx1，整理得12x31y310.答案：12x31y3104若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是_解析：由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是xy100，则原点到直线xy100的距离为d5，即P到原点距离的最小值为5.答案：55已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为_解析：依题意，a2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(2y，y)，故解得所以A(4,8)，B(4,2)，|AB|10.答案：106(2018南通期中)已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a的值为_解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，因为0a2，所以当a时，面积最小答案：7已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为_解析：因为l1，l2关于直线yx对称，所以l2的方程为x2y3，即yx，即直线l2的斜率为.答案：8(2018苏州模拟)已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是_解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以两平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y309(2018泰州期初)若直线l：1(a0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是_解析：由直线经过点(1,2)得1.于是ab(ab)3，因为22，所以ab32.答案：3210.如图，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为_解析：从特殊位置考虑如图，点A(2,0)关于直线BC：xy2的对称点为A1(2,4)，kA1F4.又点E(1,0)关于直线AC：yx2的对称点为E1(2，1)，点E1(2,1)关于直线BC：xy2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，kFDkA1F，即kFD(4，)答案：(4，)二、解答题11(2018启东中学高三周练)已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，点A(5,0)到l的距离为3，3，即22520，2或，l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立)dmaxPA.12已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(2)由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，)(3)由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.SOAOB |12k|(224)4，当且仅当k时等号成立，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.第二节圆的方程本节主要包括2个知识点：1.圆的方程；2.与圆的方程有关的综合问题.突破点(一)圆的方程 基础联通抓主干知识的“源”与“流”1圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：半径：r2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0a)2(y0b)2r2点在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆外(x0a)2(y0b)2r2点在圆内考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求圆的方程1求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2确定圆心位置的三种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线例1(1)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_(2)已知圆心在直线y4x上，且圆与直线l：xy10相切于点P(3，2)，则该圆的方程是_(3)经过三点(2，1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为_解析(1)依题意，设圆心坐标为C(a,0)，则|CA|CB|，即，则a2.故圆心为(2,0)，半径为，所以圆C的方程为(x2)2y210.(2)过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)所以半径r2，故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(3)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则解得故所求圆的一般方程为x2y24x8y50.答案(1)(x2)2y210(2)(x1)2(y4)28(3)x2y24x8y50方法技巧1确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程2几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用3A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.与圆有关的对称问题1圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称2圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置(2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点3圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线例2(2018江苏无锡模拟)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为_解析圆C1的圆心坐标为(1,1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为(2，2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x2)2(y2)21.答案(x2)2(y2)21能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.已知点A(1，)，B(1，)，则以线段AB为直径的圆的方程是_解析：由题意知，AB的中点为(0,0)，即所求圆的圆心坐标为(0,0)，设圆的方程为x2y2r2，因为|AB|4，所以圆的半径为2，所以圆的方程为x2y24.答案：x2y242.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是_解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a0)，又由圆与直线4x3y0相切可得1，解得a2，故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.答案：(x2)2213.已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是_解析：将圆的方程化成标准形式得(x1)2(y2)24，若圆关于已知直线对称，则圆心(1,2)在直线上，代入整理得ab1，故aba(1a)2.答案：4.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_解析：根据题意得，点(1,0)关于直线yx对称的点(0,1)为圆心，又半径r1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.答案：x2(y1)215.若圆(x1)2(y3)29上的相异两点P，Q关于直线kx2y40对称，则k的值为_解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴已知圆的圆心为(1,3)，由题设知，直线kx2y40过圆心，则k(1)2340，解得k2.答案：26.(2018盐城中学月考) 圆经过点A(2，3)和B(2，5)(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x2y30上，求圆的方程解：(1)要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，圆心C(0，4)，半径r|AB|，所以所求圆的方程为x2(y4)25.(2)因为kAB，AB中点为(0，4)，所以AB中垂线方程为y42x，即2xy40，解方程组得所以圆心为(1，2)根据两点间的距离公式得，半径r，因此，所求的圆的方程为(x1)2(y2)210.突破点(二)与圆的方程有关的综合问题 圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”与圆有关的轨迹问题例1已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连结ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.方法技巧求与圆有关的轨迹问题的四种方法与圆有关的最值问题例2已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点(1)求m2n的最大值；(2)求的最大值和最小值解(1)法一：因为x2y24x14y450的圆心C(2，7)，半径r2，设m2nt，将m2nt看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d2，解上式得：162t162，所以m2n的最大值为162.法二：由x2y24x14y450，得(x2)2(y7)28.因为点M(m，n)为圆上任意一点，故可设即m2n22cos 2(72sin )162cos 4sin 16sin()162sin()，故m2n的最大值为162.(2)记点Q(2,3)因为表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有公共点，所以2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.方法技巧与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型解题思路型转化为动直线斜率的最值问题taxby型转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m(xa)2(yb)2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以，整理得又点N(x3，y4)在圆x2y24上，所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点和.2.已知实数x，y满足方程x2y24x10，(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看成是直线yxb在y轴上的截距当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知，x2y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点A，B处分别取得最小值，最大值因为圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为_解析：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则解得所以ABC外接圆的圆心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为 .答案：2一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4，r0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.答案：2y23若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为_解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2y21.答案：x2y214(2018淮安中学模拟)已知(22cos ，22sin )，R，O为坐标原点，向量满足0，则动点Q的轨迹方程是_解析：设Q(x，y)，(22cos x,22sin y)(0,0)，(x2)2(y2)24.答案：(x2)2(y2)245设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线 x3上的动点，则|PQ|的最小值为_解析：如图所示，圆心M(3，1)到定直线x3上点的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.答案：4练常考题点检验高考能力一、填空题1(2018姜堰中学月考)设A(3,0)，B(3,0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比为12，则点P的轨迹图形所围成的面积是_解析：设P(x，y)，则由题意有，整理得x2y210x90，即(x5)2y216，所以点P在半径为4的圆上，故其面积为16.答案：162圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为_解析：因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x2)2y25.答案：(x2)2y253已知两点A(0，3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP面积的最小值为_解析：如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时ABP的面积最小直线AB的方程为1，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离为d，所以ABP的面积的最小值为5.答案：4(2018南通模拟)已知点M是直线3x4y20上的动点，点N为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|MN|的最小值是_解析：圆心(1，1)到点M的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点N到点M的距离的最小值为d1.答案：5已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m，0)(m0)若圆C 上存在点P，使得 APB90，则 m的最大值为_解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连结OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m 的最大值为6.答案：66已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为_解析：圆C1，C2的图象如图所示设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连结C1C2，与x轴交于点P，连结PC1，可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|5，则|PM|PN|的最小值为54.答案：547(2018徐州期初)若直线l：axby10(a0，b0)始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则a2b22a2b3的最小值为_解析：因为直线axby10始终平分圆x2y24x2y10的周长，所以圆心(2，1)在直线axby10上，从而2ab10.a2b22a2b3(a1)2(b1)21，而(a1)2(b1)2表示点(1,1)与直线2ab10上任一点的距离d的平方，其最小值d2，所以a2b22a2b3的最小值为1.答案：8已知直线l：xmy40，若曲线x2y22x6y10上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为_解析：因为曲线x2y22x6y10是
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