（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 4 第4讲 直线、平面平行的判定及其性质教学案

第4讲直线、平面平行的判定及其性质1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)因为la，a，l，所以l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)因为l，l，b，所以lb2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)因为a，b，abP，a，b，所以性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为，a，b，所以ab3.线、面平行中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修2P61A组T1(1)改编)下列命题中正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b解析：选D.A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a，可得a平行于经过直线a的平面与的交线c，即ac，又ab，所以bc，b，c，所以b.2(必修2P58练习T3改编)平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析：选D.若l，al，a，a，a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.3(必修2P62A组T3改编)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_解析：连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案：平行易错纠偏(1)对空间平行关系的转化条件理解不够致误；(2)对面面平行判定定理的条件“平面内两相交直线”认识不清致误；(3)对面面平行性质定理理解不深致误1若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一的与a平行的直线解析：选A.当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线故选A.2下列条件中，能判断两个平面平行的是_一个平面内的一条直线平行于另一个平面；一个平面内的两条直线平行于另一个平面；一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行显然只有符合条件答案：3如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_解析：因为平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，所以EFHG.同理EHFG，所以四边形EFGH是平行四边形答案：平行四边形线面平行的判定与性质(高频考点)平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题的某一问中主要命题角度有：(1)线面位置关系的判断；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用角度一线面位置关系的判断 设m，n表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是()A若m，mn，则nB若m，n，m，n，则C若，m，mn，则nD若，m，nm，n，则n【解析】A错误，n有可能在平面内；B错误，平面有可能与平面相交；C错误，n也有可能在平面内；D正确，易知m或m，若m，又nm，n，所以n，若m，过m作平面交平面于直线l，则ml，又nm，所以nl，又n，l，所以n.【答案】D角度二线面平行的证明 (2020浙江省六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，点D为AC的中点，AA1AB2.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)若BC3，求三棱锥DBC1C的体积【解】(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.因为四边形BCC1B1是平行四边形所以点O为B1C的中点因为点D为AC的中点，所以OD为AB1C的中位线，所以ODAB1.因为OD平面BC1D，AB1平面BC1D，所以AB1平面BC1D.(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC1AA1.又因为AA1平面ABC，所以侧棱CC1平面ABC，故CC1为三棱锥C1BCD的高，A1ACC12，因为SBCDSABC，所以VDBCC1VC1BCDCC1SBCD21.角度三线面平行性质的应用 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG平面AA1B1B.【证明】在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，BB1平面BB1D，CC1平面BB1D，所以CC1平面BB1D，又CC1平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1FG，因为BB1CC1，所以BB1FG，而BB1平面AA1B1B，FG平面AA1B1B，所以FG平面AA1B1B.证明直线与平面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明 1如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A.对于选项B，如图所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.故选A.2.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，点F是AB的中点，点E是PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)在PC上求一点G，使FG平面AEC，并证明你的结论解：(1)证明：连接BD与AC交于点O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)PC的中点G即为所求的点证明如下：设点G为PC的中点，连接GE、FG，因为E为PD的中点，所以GE綊CD.又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，所以FA綊CD.所以FA綊GE.所以四边形AFGE为平行四边形，所以FGAE.又FG平面AEC，AE平面AEC，所以FG平面AEC.面面平行的判定与性质 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【证明】(1)因为点G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GHB1C1，又B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EFBC，因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB.因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.又因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.1(变问法)在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，所以HD平面A1B1BA.2(变问法)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1BDM.因为A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，所以DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1平面A1BD1，又因为DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，所以平面A1BD1平面AC1D. 1(2020嘉兴调研)如图，AB平面平面，过A，B的直线m，n分别交，于点C，E和D，F，若AC2，CE3，BF4，则BD的长为()A. B.C. D.解析：选C.由AB，易证 .即，所以BD.2如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，点M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.因为BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN.因为DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN.因为BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.立体几何中的探索性问题 如图，四棱锥PABCD中，ABCD，AB2CD，E为PB的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由【解】(1)证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB，又ABCD，CDAB.所以EHCD，EHCD，因此四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH，又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD.(2)如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，所以AFAB，又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以CFAD，又CF平面PAD，所以CF平面PAD，由(1)可知CE平面PAD，又CECFC，故平面CEF平面PAD，故存在AB的中点F满足要求解决探索性问题的策略方法(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”“只需使成立” 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别为AB，BC的中点(1)若F为BB1的中点，判断AC1与平面DEF是否平行？若平行，请给予证明，若不平行，说明理由；(2)试问：在侧棱BB1上是否存在点F，使三棱锥FDEB的体积与三棱柱ABCA1B1C1的体积之比为.解：(1)法一：连接B1C，BC1，B1C与BC1交于点G，连接DG，FG，则DGAC1，因为DG平面GDF，AC1平面GDF，则AC1平面GDF.由于平面GDF平面DEFDF，故AC1与平面DEF不可能平行法二：连接B1C，BC1，B1C与BC1交于点G，连接DG，FG，则DGAC1，而DG平面DEF，且DG与平面DEF交于点D，故AC1与平面DEF不可能平行(2)假设点F存在，由，得，显然，点F不存在基础题组练1在空间内，下列命题正确的是()A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.对于A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确2设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而mD/；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m”是“”的必要而不充分条件3(2020杭州中学高三期中)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，n，则D若mn，m，则n解析：选C.对于A，若，则与平行或相交；对于B，若mn，m，n，则与平行或相交；对于D，若mn，m，则n或n在平面内4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B.由AEEBAFFD14知EF綊BD，所以EF平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EFHG且EFHG.所以四边形EFGH是梯形5如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1FHC1G后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论不正确的是()AEHFG B四边形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱台解析：选D.因为EHA1D1，A1D1B1C1，所以EHB1C1，所以EH平面BCGF，又因为FG平面BCGF，所以EHFG，故A正确；因为B1C1平面A1B1BA，EF平面A1B1BA，所以B1C1EF，则EHEF，又由上面的分析知，EFGH为平行四边形，故它是矩形，故B正确；因为EHB1C1FG，故是棱柱，故C正确6(2020杭州二中期中考试)如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，EFDG，且ABDE，DG2EF，则()ABF平面ACGDBCF平面ABEDCBCFGD平面ABED平面CGF解析：选A.取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以DE綊FM，因为平面ABC平面DEFG，平面ABC平面ADEBAB，平面DEFG平面ADEBDE，所以ABDE，所以ABFM.又ABDE，所以ABFM，所以四边形ABFM是平行四边形，即BFAM.又BF平面ACGD，所以BF平面ACGD.故选A.7.如图，在空间四边形ABCD中，MAB，NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_解析：在平面ABD中，所以MNBD.又MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN平面BCD.答案：平行8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_解析：因为EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC，所以点F为DC的中点故EFAC.答案：9(2020宁波效实中学模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，所以平面FHN平面B1BDD1，只要MFH，则MN平面FHN，所以MN平面B1BDD1.答案：M位于线段FH上(答案不唯一)10在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是_解析：如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF平面BPC1.在A1EF中，A1FA1E，EF2，SA1EF2，从而所得截面面积为2SA1EF2.答案：211如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AEFC1B1G1，点H是B1C1的中点(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.证明：(1)因为AEB1G1，所以BGA1E2，因为BGA1E，所以A1GBE.又因为C1F綊B1G，所以FGC1B1D1A1，所以四边形A1GFD1是平行四边形所以A1GD1F，所以D1FEB，故E、B、F、D1四点共面(2)因为点H是B1C1的中点，所以B1H.又B1G1，所以.又，且FCBGB1H90，所以B1HGCBF，所以B1GHCFBFBG，所以HGFB.又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，FBBEB，所以平面A1GH平面BED1F. 12如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时1.连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.所以1时，BC1平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O.因此BC1D1O，同理AD1DC1.所以，.又因为1，所以1，即1.综合题组练1如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面EFGH所在四边形的面积为定值；棱A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值其中正确的个数是()A1B2C3 D4解析：选C.由题图知，显然是正确的，是错的；对于因为A1D1BC，BCFG，所以A1D1FG且A1D1平面EFGH，所以A1D1平面EFGH(水面)所以是正确的；因为水是定量的(定体积V)所以SBEFBCV，即BEBFBCV.所以BEBF(定值)，即是正确的，故选C.2(2020杭州二中模拟)已知两个不重合的平面，给定以下条件：内不共线的三点到的距离相等；l，m是内的两条直线，且l，m；l，m是两条异面直线，且l，l，m，m.其中可以判定的是()A BC D解析：选D.中，内的三点中如果一点在平面的一侧，另两点在平面的另一侧，也可满足这三点到的距离相等，所以不符合题意中，l与m平行时，与也可能相交中，如图所示，过直线l作一平面，设a，b.因为l，l，所以la，lb，所以ab，过直线m作一平面，设c，d.因为m，m，所以mc，md，所以cd，所以c.因为l，m是两条异面直线，所以a，c必相交，所以，所以符合题意3在ABC中，AB5，AC7，A60，G是重心，过G的平面与BC平行，ABM，ACN，则MN_解析：根据余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A39，所以BC.因为BC，MN平面ABC，所以MNBC，又G是ABC的重心，连接AG交BC于D，所以，则MN.答案：4(2020温州中学高考模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_解析：因为平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1PQ.又因为B1D1BD，所以BDPQ，设PQABM，因为ABCD，所以APMDPQ.所以2，即PQ2PM.又知APMADB，所以，所以PMBD，又BDa，所以PQa.答案：a5(2020杭州学军中学高三模拟)如图，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.(1)求证：平面DEFG平面ABB1A1；(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高解：(1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是ABC的中位线，所以DEAB.又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，所以平面DEFG平面ABB1A1.(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，ABC的面积为S，则由已知条件可知，CDECAB，且SCDES，所以S四边形ABEDS.由于两种状态下液体体积相等，所以V液体ShS四边形ABEDlSl，即hl.因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l.6如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18.点E，F分别在A1B1，D1C1上，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH.(1)求证：A1ED1F；(2)判断A1D与平面的关系解：(1)证明：过点E分别作EMAB于点M，END1C1于点N.设MHm，NFn.因为EFGH是正方形，所以EFEHHF.又在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA18，BC10.所以102n282m210282(mn)2解得n0，m6.所以N与F重合所以A1ED1ND1F.(2)由(1)知，A1DEG.又A1EDG.所以四边形A1DGE是以A1D与EG为腰的梯形，即A1D与EG相交又EG.所以直线A1D与平面相交20