（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 7 第7讲 抛物线教学案

第7讲抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0)y22px (p0)x22py (p0)x22py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(3)若一抛物线过点P(2，3)，则其标准方程可写为y22px(p0)()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(选修21P72练习T1改编)过点P(2，3)的抛物线的标准方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y解析：选A.设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2，3)，解得k，m，所以y2x或x2y.故选A.2(选修21P73A组T3改编)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点P有()A0个B1个C2个 D4个解析：选C.设P(x1，y1)，则|PF|x125，y8x1，所以x13，y12.故满足条件的点P有两个故选C.易错纠偏(1)忽视抛物线的标准形式；(2)忽视p的几何意义；(3)易忽视焦点的位置出现错误1抛物线8x2y0的焦点坐标为()A(0，2) B(0，2)C. D.解析：选C.由8x2y0，得x2y.2p，p，所以焦点为，故选C.2已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.故选D.3若抛物线的焦点在直线x2y40上，则此抛物线的标准方程为_解析：令x0，得y2；令y0，得x4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，2)，故所求抛物线的标准方程为y216x或x28y.答案：y216x或x28y抛物线的定义、标准方程与应用(高频考点)抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度主要命题角度有：(1)求抛物线的标准方程；(2)求抛物线上的点与焦点的距离；(3)求距离和的最值角度一求抛物线的标准方程 已知动圆过定点F，且与直线x相切，其中p0，则动圆圆心的轨迹E的方程为_【解析】依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x的距离相等，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y22px.【答案】y22px角度二求抛物线上的点与焦点的距离 已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_【解析】法一：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0，4)，|FN|6.法二：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.【答案】6角度三求距离和的最值 已知抛物线y24x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|，则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.【答案】4 (变条件)若本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|PF|的最小值解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部因为|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|PF|BF|2.即|PB|PF|的最小值为2.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|. 1已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A.B.C3 D2解析：选C.因为4，所以|4|，所以.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，所以，所以|QQ|3，根据抛物线定义可知|QF|QQ|3.2.如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C.D.解析：选A.由题图可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，如图所示，则l的方程为x1.因为点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，所以 .抛物线的性质及应用 (1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8(2)(2020宁波模拟)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2 B.C. D.【解析】(1)由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4，所以选B.(2)由题意知x2y，则F，设P(x0，2x)，则|PF|2x，所以当x0时，|PF|min.【答案】(1)B(2)D抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数 1已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2C4 D8解析：选A.由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01.2(2020浙江省名校协作体高三联考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线的方程为()Ay26x By28xCy216x Dy2解析：选B.设M(x，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以yp，又MFO的面积为4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.3(2020杭州中学高三月考)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则F到l的距离为_，|FB|_解析：依题意可知F点坐标为，所以B点坐标为，代入抛物线方程解得p，所以F到l的距离为，|FB|.答案：抛物线与圆的交汇 (1)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A相离 B相切C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心(2)(2020杭州市高三模拟)已知点A是抛物线y22px(p0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，FBC为正三角形，且ABC的面积是，则抛物线的方程为()Ay212x By214xCy216x Dy218x【解析】(1)设圆心为M，过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(2)由题意，如图可得cos 30及|DF|p，可得|BF|，从而|AF|，由抛物线的定义知点A到准线的距离也为，又因为ABC的面积为，所以，解得p8，故抛物线的方程为y216x.【答案】(1)B(2)C解抛物线与圆的交汇问题的方法(1)利用圆的几何特征与抛物线的几何特征相结合，转化为两者的元素关系列出相应关系式(2)利用圆的定义与抛物线的定义相结合建立相关的代数关系是求解圆与抛物线综合问题的有效方法 设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上的一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0，2) B0，2C(2，) D2，)解析：选C.设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心，抛物线C的准线方程为y2，由圆与准线相交知r4，因为点M(x0，y0)为抛物线C：x28y上的一点，所以r|FM|y024，所以y02.基础题组练1已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1C D解析：选C.由已知得准线方程为x2，所以F的坐标为(2，0)又A(2，3)，所以直线AF的斜率k.2已知抛物线C1：x22py(p0)的准线与抛物线C2：x22py(p0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若FAB的面积等于1，则C1的方程是()Ax22y Bx2yCx2y Dx2y解析：选A.由题意得，F，不妨设A，B(p，)，所以SFAB2pp1，则p1，即抛物线C1的方程是x22y，故选A.3(2020丽水调研)已知等边ABF的顶点F是抛物线C：y22px(p0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且ABl，则点A的位置()A在C开口内 B在C上C在C开口外 D与p值有关解析：选B.设B，由已知有AB中点的横坐标为，则A，ABF是边长|AB|2p的等边三角形，即|AF| 2p，所以p2m24p2，所以mp，所以A，代入y22px中，得点A在抛物线C上，故选B.4已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|FP3|FP2|2解析：选C.根据抛物线的定义知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，所以|FP1|FP3|(x1x3)p2x2p22|FP2|.5抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3C4 D8解析：选C.F(1，0)，直线AF：y(x1)，代入y24x得3x210x30，解得x3或x.由于点A在x轴上方且直线的斜率为，所以其坐标为(3，2)因为|AF|AK|314，AF的斜率为，即倾斜角为60，所以KAF60，所以AKF为等边三角形，所以AKF的面积为424.6(2020杭州市高考模拟)设倾斜角为的直线l经过抛物线：y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方若m，则cos 的值为()A. B.C. D.解析：选A.设抛物线y22px(p0)的准线为l：x.如图所示，分别过点A，B作AMl，BNl，垂足分别为M，N.在ABC中，BAC等于直线AB的倾斜角，由m，|AF|m|BF|，|AB|AF|BF|(m1)|BF|，根据抛物线的定义得，|AM|AF|m|BF|，|BN|BF|，所以|AC|AM|MC|m|BF|BF|(m1)|BF|，在RtABC中，cos cos BAC，故选A.7已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为_解析：设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xM2p，解得xM，代入抛物线方程可得yMp，则直线MF的斜率为.答案：8已知抛物线C的方程为y22px(p0)，M的方程为x2y28x120，如果抛物线C的准线与M相切，那么p的值为_解析：将M的方程化为标准方程(x4)2y24，圆心坐标为(4，0)，半径r2，又因为抛物线的准线方程为x，所以2，p12或4.答案：12或49若点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x3)2y21上，则|PQ|的最小值为_解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3，0)，则|PQ|PA|AQ|PA|1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小设P(x0，y0)，则yx0，|PA| ，当且仅当x0时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值1.答案：110(2020浙江省名校协作体高三联考)抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，焦点为F.(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程；(2)P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程解：(1)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，设抛物线解析式为y22px，把(4，4)代入，得1624p，所以p2，所以抛物线的标准方程为y24x，焦点坐标为F(1，0)(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，F(1，0)，M是PF的中点，则x012x，0y02y，所以x02x1，y02y，因为P是抛物线上一动点，所以y4x0，所以(2y)24(2x1)，化简得y22x1.所以M的轨迹方程为y22x1.11已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA，因为MNFA，所以kMN.又FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，所以点N的坐标为.综合题组练1(2020台州书生中学月考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120，过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN，垂足为N，则的最大值为()A. B1C. D2解析：选A.过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，连接AF，BF，由抛物线的定义知|MN|(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)，在AFB中，|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos 120|AF|2|BF|2|AF|BF|.所以，当且仅当|AF|BF|时取等号，所以的最大值为.2已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.解析：选B.设A(x1，)，B(x2，)，则SAFO.由2得x1x22，即x1x220，解得x1x24，所以(|)2(xx1)(xx2)xxx1x2(x1x2)x1x2204(x1x2)，因为cosAOB，所以sinAOB所以SAOB|sinAOB| ，所以SABOSAFO23，当，即x1时等号成立3如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C，F两点，则_解析：依题知C，F，因为点C，F在抛物线上，所以两式相除得210，解得1或1(舍)答案：14(2020台州市高考模拟)如图，过抛物线y24x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若4，则|_解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则|DF|p2，由抛物线的定义可知|FB|BB1|，|AF|AA1|，因为4，所以，所以|FB|BB1|.所以|FC|4|FB|6，所以cos DFC，所以cos A1AC，解得|AF|3，所以|AB|AF|BF|3.答案：5已知抛物线x24y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点(1)当|PF|2时，求点P的坐标；(2)求点P到直线yx10的距离的最小值解：(1)由抛物线x24y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点，故设P(a0)，因为|PF|2，结合抛物线的定义得12，所以a2，所以点P的坐标为(2，1)(2)设点P的坐标为P(a0)，则点P到直线yx10的距离为.因为a10(a2)29，所以当a2时，a10取得最小值9，故点P到直线yx10的距离的最小值为.6(2020杭州宁波二市三校联考)已知A，B，C是抛物线y22px(p0)上三个不同的点，且ABAC.(1)若A(1，2)，B(4，4)，求点C的坐标；(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标解：(1)因为A(1，2)在抛物线y22px(p0)上，所以p2.所以抛物线方程为y24x.设C，则由kABkAC1，即1，解得t6，即C(9，6)(2)设A(x0，y0)，B，C，则y2px0，直线BC的方程为，即(y1y2)y2pxy1y2，由kABkAC1，得y0(y1y2)y1y2y4p2，与直线BC的方程联立，化简，得(y1y2)(yy0)2p(x2px0)，故直线BC恒过点E(x02p，y0)因此直线AE的方程为y(xx0)y0，代入抛物线的方程y22px(p0)，得点D的坐标为.因为线段AD总被直线BC平分，所以解得x0，y0p，即点A的坐标为.16