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第1课时集合的含义学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法知识点一集合的概念(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合集合常用大写字母A，B，C，D，标记(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素常用小写字母a，b，c，d，表示集合中的元素知识点二元素与集合的关系思考1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案1是整数；不是整数；没有梳理元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为、.知识点三元素的三个特性思考1某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合A，那么任何一个对象a是不是这个集合中的元素就确定了思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案2个集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性知识点四常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN或N*ZQR1yx1上所有点构成集合A，则点(1,2)A.()20N但0N.()3由形如2k1，其中kZ的数组成集合A，则4k1A.()类型一判断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合(1)不超过20的非负数；(2)方程x290在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)的近似值的全体考点集合的概念题点集合的概念解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合(2)能构成集合(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A数学必修1课本中所有的难题B小于8的所有素数C直角坐标平面内第一象限的一些点D所有小的正数考点集合的概念题点集合的概念答案B解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合类型二元素与集合的关系命题角度1判定元素与集合的关系例2给出下列关系：R；Q；|3|N；|Q；0N，其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案B解析是实数，对；不是有理数，对；|3|3是自然数，错；|为无理数，错；0是自然数，错故选B.反思与感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件跟踪训练2用符号 “”或“”填空_R；3_Q；1_N；_Z.考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案命题角度2根据已知的元素与集合的关系推理例3集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为_考点元素与集合的关系题点伴随元素问题答案0,1,2解析xN，N，0x2且xN.当x0时，2N；当x1时，3N；当x2时，6N.A中元素有0,1,2.反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法使用前提：集合中的元素是直接给出的判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现(2)推理法使用前提：对于某些不便直接表示的集合判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征跟踪训练3已知集合A中的元素x满足2xa0，aR，若1A,2A，则()Aa4 Ba2C4a2 D40，a4，4a2.类型三元素的三个特性的应用例4已知集合A有三个元素：a3,2a1，a21，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若3A，求a的值；(2)若x2B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值解(1)由3A且a211，可知a33或2a13，当a33时，a0；当2a13时，a1.经检验，0与1都符合要求a0或1.(2)当x0,1，1时，都有x2B，但考虑到集合元素的互异性，x0，x1，故x1.(3)显然a210.由集合元素的无序性，只可能a30或2a10.若a30，则a3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同若2a10，则a，A包含的元素为0，与集合B中元素不相同故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同反思与感悟元素的无序性主要体现在：给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等跟踪训练4已知集合M中含有三个元素：a，1，集合N中含有三个元素：a2，ab,0，若集合M与集合N中元素相同，求a，b的值考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值解集合M与集合N中元素相同解得或由集合中元素的互异性，得a1，a1，b0.1下列给出的对象中，能组成集合的是()A一切很大的数B好心人C漂亮的小女孩D方程x210的实数根考点集合的概念题点集合的概念答案D2下面说法正确的是()A所有在N中的元素都在N中B所有不在N中的数都在Z中C所有不在Q中的实数都在R中D方程4x8的解既在N中又在Z中考点常用的数集及表示题点常用的数集及表示答案C3由“book中的字母”构成的集合中元素的个数为()A1 B2 C3 D4考点元素与集合的关系题点集合中元素的个数答案C4下列结论不正确的是()A0N B.Q C0Q D1Z考点常用的数集及表示题点常用的数集及表示答案C5已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为()A2 B3C0或3 D0,2,3均可考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值答案B解析由2A可知：若m2，则m23m20，这与m23m20相矛盾；若m23m22，则m0或m3，当m0时，与m0相矛盾，当m3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意1考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合2元素a与集合A之间只有两种关系：aA，aA.3集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合这个性质通常用来判断两个集合的关系.一、选择题1已知集合A由满足x1的数x构成，则有()A3A B1A C0A D1A考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案C解析很明显3,1不满足不等式，而0，1满足不等式2由实数x，x，|x|，所组成的集合，最多含()A2个元素 B3个元素C4个元素 D5个元素考点元素与集合的关系题点集合中元素的个数答案A解析由于|x|x，|x|，x，并且x，x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素3下列结论中，不正确的是()A若aN，则aN B若aZ，则a2ZC若aQ，则|a|Q D若aR，则R考点常用的数集及表示题点常用的数集及表示答案A解析A不对反例：0N，0N.4已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A0M B1MC2M D2M考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案D解析当x，y为正数时，代数式的值为2；当x，y为一正一负时，代数式的值为0；当x，y均为负数时，代数式的值为2，所以集合M的元素共有3个：2,0,2，故选D.5已知集合S中三个元素a，b，c是ABC的三边长，那么ABC一定不是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形考点集合中元素的特征题点集合中参数的取值范围答案D解析由元素的互异性知a，b，c均不相等6已知A中元素x满足x3k1，kZ，则下列表示正确的是()A1A B11AC3k21A D34A考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案C解析令3k11，解得k0Z，1A.令3k111，解得kZ，11A；kZ，k2Z，3k21A.令3k134，解得k11Z，34A.二、填空题7在方程x24x40的解集中，有_个元素考点元素与集合的关系题点集合中元素的个数答案1解析易知方程x24x40的解为x1x22，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素8下列所给关系正确的个数是_R；Q；0N；|4|N.考点常用的数集及表示题点常用的数集及表示答案2解析是实数，是无理数，0不是正整数，|4|4是正整数，正确，不正确，正确的个数为2.9如果有一个集合含有三个元素：1，x，x2x，则实数x的取值范围是_考点集合中元素的特征题点集合中参数的取值范围答案x0,1,2，解析由集合元素的互异性可得x1，x2x1，x2xx，解得x0,1,2，.10已知集合P中元素x满足：xN，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_.考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值答案6解析xN,2xa，且P中只有三个元素，结合数轴知a6.三、解答题11已知集合A是由a2,2a25a,12三个元素组成的，且3A，求实数a的值考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值解由3A，可得3a2或32a25a，a1或a.当a1时，a23,2a25a3，不满足集合中元素的互异性，故a1舍去当a时，a2，2a25a3，满足题意实数a的值为.12已知集合A含有两个元素a3和2a1，aR.若aA，试求实数a的值考点集合中元素的特征题点集合中参数的取值范围解因为aA，所以aa3或a2a1.当aa3时，有03，不成立；当a2a1时，有a1，此时A中有两个元素2,1，符合题意综上所述，满足题意的实数a的值为1.13数集A满足条件：若aA，则A(a1)(1)若2A，试求出A中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”考点元素与集合的关系题点伴随元素问题解(1)2A，则A，即1A，则A，即A，则A，即2A，所以A中其他所有元素为1，.(2)如：若3A，则A中其他所有元素为，.(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，(a0，且a1)，且三个数的乘积为1.证明如下：若aA，a1，则有A且1，所以又有A且1，进而有aA.又因为a(因为若a，则a2a10，而方程a2a10无解)，同理，a.又因为a1，所以A中只能有3个元素，它们分别是a，(a0，且a1)，且三个数的乘积为1.四、探究与拓展14已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是_考点元素与集合的关系题点根据新定义求集合答案1,2解析由题意知解得集合A0,1,2，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是1,215已知集合A中的元素x均满足xm2n2(m，nZ)，求证：(1)3A；(2)偶数4k2(kZ)不属于集合A.考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系证明(1)令m2Z，n1Z，得xm2n2413，所以3A.(2)假设4k2A，则存在m，nZ，使4k2m2n2(mn)(mn)成立当m，n为同奇或同偶时，mn，mn均为偶数，所以(mn)(mn)为4的倍数与4k2不是4的倍数矛盾当m，n为一奇一偶时，mn，mn均为奇数，所以(mn)(mn)为奇数，与4k2是偶数矛盾所以假设不成立综上，4k2A.12
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