（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 5 第5讲 三角函数的图象与性质教学案

第5讲三角函数的图象与性质1正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xk，kZ值域1，11，1R函数的最值最大值1，当且仅当x2k，kZ；最小值1，当且仅当x2k，kZ最大值1，当且仅当x2k，kZ；最小值1，当且仅当x2k，kZ无最大值和最小值单调性增区间2k，2k(kZ)；减区间2k，2k(kZ)增区间2k，2k(kZ)；减区间2k，2k(kZ)增区间(k，k)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2k，k0，kZ，最小正周期为2周期为2k，k0，kZ，最小正周期为2周期为k，k0，kZ，最小正周期为对称性对称中心(k，0)，kZ，kZ，kZ对称轴xk，kZxk，kZ无对称轴零点k，kZk，kZk，kZ2.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期均为T；函数yAtan(x)的周期为T.3对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)ycos x在第一、二象限内是减函数()(2)若yksin x1，xR，则y的最大值是k1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期()(4)函数ysin x图象的对称轴方程为x2k(kZ)()(5)函数ytan x在整个定义域上是增函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修4P46A组T2，3改编)若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则T_，A_解析：最小正周期T，最大值A211.答案：12(必修4P40练习T4改编)下列关于函数y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是_(填序号)在，0上是增函数，在0，上是减函数；在上是增函数，在及上是减函数；在0，上是增函数，在，0上是减函数；在及上是增函数，在上是减函数解析：函数y4sin x在和上单调递减，在上单调递增答案：3(必修4P45练习T3改编)ytan 2x的定义域是_解析：由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan 2x的定义域是.答案：易错纠偏(1)忽视yAsin x(或yAcos x)中A对函数单调性的影响；(2)忽视定义域的限制；(3)忽视正切函数的周期；(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错1函数y12cos x的单调递减区间为_解析：函数y12cos x的单调递减区间为函数ycos x的递增区间答案：2k，2k(kZ)2函数f(x)3sin(2x)在区间0，上的值域为_解析：当x0，时，2x，所以sin，1， 故3sin，3，所以函数f(x)在区间0，上的值域是，3答案：，33函数ytan图象的对称中心是_解析：由x，得x，kZ.答案：(kZ)4cos 23，sin 68，cos 97的大小关系是_解析：sin 68cos 22，又ycos x在0，180上是减函数，所以sin 68cos 23cos 97.答案：sin 68cos 23cos 97三角函数的定义域和值域 (1)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_(2)函数ylg(2sin x1)的定义域是_【解析】(1)依题意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x1，因为x，所以cos x0，1，因此当cos x时，f(x)max1.(2)要使函数ylg(2sin x1)有意义，则即解得2kx2k，kZ.即函数的定义域为，kZ.【答案】(1)1(2)，kZ (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；(换元法)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；(换元法)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域 (2020温州市十校联合体期初)已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)，xR，则f_，f(x)的最大值是_解析：f(x)2cos x(sin xcos x)2cos xsin x2cos2xsin 2x1cos 2xsin1.当x时，fsin10.由正弦函数的图象和性质可得，sin的最大值为1.所以f(x)的最大值为1.答案：01三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或在解答题某一问出现，难度为中档题主要命题角度有：(1)求已知三角函数的单调区间；(2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性比较大小；(4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)角度一求已知三角函数的单调区间 已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间【解】(1)由sin ，cos ，f2，得f2.(2)由cos 2xcos2xsin2x与sin 2x2sin xcos x得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以，f(x)的单调递增区间是(kZ)角度二已知三角函数的单调区间求参数 函数f(x)sin(x)在区间上单调递增，则常数的值可能是()A0 B.C D.【解析】法一：结合选项，当分别取选项中的值时，A：f(x)sin x；B：f(x)cos x；C：f(x)sin x；D：f(x)cos x验证得D选项正确法二：f(x)的递增区间，2k2k(kZ)，k0，选项中无值符合；k1，符合；k2，选项中无值符合可知的可取值逐渐增大，故只有D选项符合题意【答案】D角度三利用三角函数的单调性比较大小 已知函数f(x)2sin，设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()Aacb BcabCbac Dbca【解析】af2sin ，bf2sin 2，cf2sin 2sin ，因为ysin x在上递增，所以cab.【答案】B (1)求三角函数单调区间的两种方法代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间提醒要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，若0时，由题意知，即；当0，f(x)，f的图象与f(x)的图象关于点对称，则的最小值为()A. B1C. D2(3)已知函数f(x)sin(x)cos(x)(0，00，所以当k1时，取最小值为，故选A.(3)f(x)sin(x)cos(x)sin(x)，因为00)，yAcos(x)(0)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心提醒对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断 1(2020舟山市普陀三中高三期中)设函数f(x)sin(2x)cos(2x)为偶函数，则()A. B.C. D.解析：选C.f(x)sin(2x)cos(2x)sin，因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)sinsin0，即sinsin，所以2x2x2k，或2x2xk，即x，kZ(舍)或，kZ.因为|0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则_解析：如图所示，易知x2，x1x32x22，则k，又直线与ysin x相切于点A(x3，sin x3)，则kcos x3，则cos x3，故答案为.答案：核心素养系列7数学抽象三角函数中值的求法一、利用三角函数的单调性求解 若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递减，则的取值范围是_【解析】令2kx2k(kZ)，得x，因为f(x)在上单调递减，所以得6k4k3.又0，所以k0，又6k4k3，得0k0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求的取值范围 二、利用三角函数的对称性求解 (1)已知函数f(x)cos(0)的一条对称轴为x，一个对称中心为点，则有()A最小值2B最大值2C最小值1 D最大值1(2)若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为_【解析】(1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以中心到对称轴x间的距离用周期可表示为(kN，T为周期)，解得(2k1)T，又T，所以(2k1)，则2(2k1)，当k0时，2最小故选A.(2)依题意得cos0，则k(kZ)6k2(kZ)，又N*，所以的最小值为2.【答案】(1)A(2)2三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“”的取值值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)Asin(x)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“”的取值 三、利用三角函数的最值求解 已知f(x)sin(x)(0)，ff()，且f(x)在区间内有最小值无最大值，则_【解析】因为ff，而，所以f(x)的图象关于直线x对称，又f(x)在区间内有最小值无最大值，所以f(x)minfsin1，所以k，kZ，解得4k.再由f(x)在区间内有最小值无最大值，得，解得6，所以k0，.【答案】利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于的不等式，进而求出的值或取值范围 基础题组练1最小正周期为且图象关于直线x对称的函数是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin解析：选B.由函数的最小正周期为，可排除C.由函数图象关于直线x对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A，因为sinsin 0，所以选项A不正确对于D，sinsin，所以D不正确，对于B，sinsin1，所以选项B正确，故选B.2(2020合肥市第一次教学质量检测)函数ysin(x)在x2处取得最大值，则正数的最小值为()A. B. C. D.解析：选D.由题意得，22k(kZ)，解得k(kZ)，因为0，所以当k0时，min，故选D.3(2020浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：ysin|x|，ycos|x|，y|tan x|，yln|sin x|，以为周期，在上单调递减且为偶函数的是()Aysin|x| Bycos|x|Cy|tan x| Dyln|sin x|解析：选D.A.ysin|x|在上单调递增，故A错误；B.ycos|x|cos x周期为T2，故B错误；C.y|tan x|在上单调递增，故C错误；D.f(x)ln|sin(x)|ln|sin x|，周期为，当x时，yln(sin x)是在上单调递减的偶函数，故D正确，故选D.4设函数f(x)cos(x)，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在(，)上单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2，所以函数的一个周期为2，A正确；当x时，x3，所以cos1，所以B正确；f(x)coscos，当x时，x，所以f(x)0，所以C正确；函数f(x)cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确所以选D.5若函数f(x)sin(0)在区间(，2)内没有最值，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B.易知函数ysin x的单调区间为k，k，kZ，由kxk，kZ，得x，kZ，因为函数f(x)sin(0)在区间(，2)内没有最值，所以f(x)在区间(，2)内单调，所以(，2)，kZ，所以kZ，解得k，kZ，由k，得k，当k0时，得；当k1时，得.又0，所以0.综上，得的取值范围是.故选B.6已知函数f(x)sin，f(x)是f(x)的导函数，则函数y2f(x)f(x)的一个单调递减区间是()A. B.C. D.解析：选A.由题意，得f(x)2cos，所以y2f(x)f(x)2sin2cos2sin2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以y2f(x)f(x)的一个单调递减区间为，故选A.7函数ylg sin x 的定义域为_解析：要使函数有意义，则有即解得(kZ)，所以2kx2k，kZ.所以函数的定义域为.答案：8函数y(43sin x)(43cos x)的最小值为_解析：y1612(sin xcos x)9sin xcos x，令tsin xcos x，则t，且sin xcos x，所以y1612t9(9t224t23)故当t时，ymin.答案：9(2020温州市高中模考)已知函数ysin x的定义域为a，b，值域为，则ba的最大值和最小值之差等于_解析：如图，当xa1，b时，值域为且ba最大；当xa2，b时，值域为，且ba最小，所以最大值与最小值之差为(ba1)(ba2)a2a1.答案：10(2020杭州学军中学质检)已知f(x)sin 2xcos 2x，若对任意实数x，都有|f(x)|m，则实数m的取值范围是_解析：因为f(x)sin 2xcos 2x2sin，x，所以，所以2sin(，1，所以|f(x)|0)，直线y与函数f(x)图象相邻两交点的距离为.(1)求的值；(2)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数yf(x)图象的一个对称中心，且b3，求ABC面积的最大值解：(1)函数f(x)sin2cos2x1sin xcoscos xsin21sin xcos xsin.因为f(x)的最大值为，所以f(x)的最小正周期为，所以2.(2)由(1)知f(x)sin，因为sin0B，因为cos B，所以aca2c292ac9，ac9，故SABCacsin Bac.故ABC面积的最大值为.5已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解：(1)因为x，所以2x.所以sin，所以2asin2a，a所以f(x)b，3ab，又因为5f(x)1，所以b5，3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，所以4sin11，所以sin，所以2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，所以g(x)的单调增区间为，kZ.又因为当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.所以g(x)的单调减区间为，kZ.22