（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 8 第8讲 函数与方程教学案

第8讲函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根我们把这一结论称为函数零点存在性定理3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)f(b)0，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点答案：1易错纠偏(1)错用零点存在性定理；(2)误解函数零点的定义；(3)忽略限制条件；(4)错用二次函数在R上无零点的条件1函数f(x)x的零点个数是_解析：函数的定义域为x|x0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0即可，即1m0且8m0，解得8m1.答案：(8，14若二次函数f(x)x2kxk在R上无零点，则实数k的取值范围是_解析：由题意得k24k0，解得0k4.答案：(0，4)函数零点所在区间的判断 设f(x)0.8x1，g(x)ln x，则函数h(x)f(x)g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间()A(0，1) B(1，2)C(2，e) D(e，3)【解析】h(x)f(x)g(x)的零点等价于方程f(x)g(x)0的根，即为函数yf(x)与yg(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)，故选A.【答案】A判断函数零点所在区间的3种方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 1(2020金华十校联考)函数f(x)xlog2x的零点所在区间为()A. B.C. D.解析：选A.因为flog20，所以ff0，故函数f(x)xlog2x的零点所在区间为.2(2020杭州市严州中学高三模拟)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内解析：选A.因为f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，所以f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，因为ab0，f(b)0，所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内函数零点个数的问题 (1)函数f(x)的零点个数为()A3 B2C1 D0(2)已知函数f(x)满足f(x)f(3x)，且当x1，3)时，f(x)ln x，若在区间1，9)内，函数g(x)f(x)ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.【解析】(1)法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点(2)因为f(x)f(3x)f(x)f，当x3，9)时，f(x)fln，所以f(x)而g(x)f(x)ax有三个不同零点yf(x)与yax的图象有三个不同交点，如图所示，可得直线yax应在图中两条虚线之间，所以可解得a.故选B.【答案】(1)B(2)B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0)，y2ln x(x0)的图象，如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2已知函数f(x)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，当x0时，f(x)则函数g(x)4f(x)1的零点个数为()A4 B6C8 D10解析：选D.由f(x)为偶函数可得，只需作出x(0，)上的图象，再利用对称性作另一半图象即可当x(0，2时，可以通过y2x的图象进行变换作出f(x)的图象，当x2时，f(x)f(x2)，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出f(x)在(2，4，(4，6，的图象，如图所示g(x)的零点个数即f(x)的根的个数，也即f(x)的图象与y的图象的交点个数，观察图象可知，当x0时，有5个交点，根据对称性可得当x0时，也有5个交点，共计10个交点，故选D.函数零点的应用(高频考点)高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现主要命题角度有：(1)利用函数零点比较大小；(2)已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围；(3)利用函数零点的性质求参数的范围角度一利用函数零点比较大小 (2020台州模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式中成立的是()Af(a)f(1)f(b) Bf(a)f(b)f(1)Cf(1)f(a)f(b) Df(b)f(1)0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)e00210，所以函数f(x)的零点a(0，1)；由题意，知g(x)10，所以函数g(x)在(0，)上是单调递增的，又g(1)ln 11210，所以函数g(x)的零点b(1，2)综上，可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)f(1)f(b)故选A.【答案】A角度二已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围 (1)设函数f(x)log2(2x1)，g(x)log2(2x1)，若关于x的函数F(x)g(x)f(x)m在1，2上有零点，则m的取值范围为_(2)(2018高考浙江卷)已知R，函数f(x)当2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【解析】(1)令F(x)0，即g(x)f(x)m0.所以mg(x)f(x)log2(2x1)log2(2x1)log2 log2.因为1x2，所以32x15.所以，1.所以log2 log2log2 ，即log2 mlog2 .所以m的取值范围是.(2)若2，则当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，得1x2.综上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4)令x40，解得x4；令x24x30，解得x1或x3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知14.【答案】(1)(2)(1，4)(1，3(4，)角度三利用函数零点的性质求参数的范围 已知函数f(x)|ln x|，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是()A(2，) B2，)C(3，) D3，)【解析】先作出f(x)的图象如图所示，通过图象可知，如果f(a)f(b)，则0a10)，由0a1b可得ln a0，从而即所以a2b2et，而et1，又y2x在(1，)上为增函数，所以2et(3，)故选C.【答案】C已知函数的零点(或方程根)的情况求参数问题常用的三种方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解 1(2019高考浙江卷)设a，bR，函数f(x)若函数yf(x)axb恰有3个零点，则()Aa1，b0 Ba0Ca1，b1，b0解析：选C.由题意可得，当x0时，f(x)axbx3(a1)x2b，令f(x)axb0，则bx3(a1)x2x22x3(a1)因为对任意的xR，f(x)axb0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x0时，bx22x3(a1)必须有2个零点，所以0，解得a1.所以b0.故选C.2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析：函数g(x)f(x)m有3个零点，转化为f(x)m0的根有3个，进而转化为yf(x)，ym的交点有3个画出函数yf(x)的图象，则直线ym与其有3个公共点又抛物线顶点为(1，1)，由图可知实数m的取值范围是(0，1)答案：(0，1)3(2020杭州学军中学高三质检)若函数f(x)|2x1|ax5(a是常数，且aR)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为_解析：由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的图象，观察可以知道，当2a0，f(3)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数yf(x)在区间1，6上的零点至少有3个2(2020温州十校联考(一)设函数f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选B.法一：因为f(1)ln 11210，所以f(1)f(2)0，因为函数f(x)ln xx2的图象是连续的，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)法二：函数f(x)的零点所在的区间为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)3已知函数f(x)cos x，则f(x)在0，2上的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.作出g(x)与h(x)cos x的图象如图所示，可以看到其在0，2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0，2上的零点个数为3，故选C.4已知函数f(x)tan x，若实数x0是函数yf(x)的零点，且0tx0，则f(t)的值()A大于1 B大于0C小于0 D不大于0解析：选B.y1是减函数，y2tan x在上也是减函数，可知f(x)tan x在上单调递减因为0tf(x0)0.故选B.5(2020兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B.C D解析：选C.因为函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，所以方程f(2x21)f(x)0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x，所以方程2x2x10只有一个实数根，所以(1)242(1)0，解得 .故选C.6(2020宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)kx2(kR)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是()Ak0 Bk1C0k1解析：选D.分别画出y与ykx2的图象如图所示，当k0，x0时，令f(x)kx20，即kx32kx2x0，即x(kx22kx1)0，即x0或kx22kx10，因为4k24k0，且0时，方程有唯一解即当x0时，方程有两个解当k0，x0，解得k1，综上所述k1.7(2020金丽衢十二校高三联考)设函数f(x)，则f(f(e)_，函数yf(x)1的零点为_解析：因为f(x)，所以f(e)ln e1，f(f(e)f(1)tan 00，若01，f(x)1ln x1xe.答案：0e8已知函数f(x)a的零点为1，则实数a的值为_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：9已知函数f(x)则函数g(x)f(x)的零点所构成的集合为_解析：令g(x)0，得f(x)，所以或解得x1或x或x，故函数g(x)f(x)的零点所构成的集合为.答案：10(2020杭州学军中学模拟)已知函数f(x)|x34x|ax2恰有2个零点，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)|x34x|ax2恰有2个零点即函数y|x34x|与y2ax的图象有2个不同的交点作出函数y|x34x|的图象如图，当直线y2ax与曲线yx34x，x0，2相切时，设切点坐标为(x0，x4x0)，则切线方程为y(x4x0)(3x4)(xx0)，且经过点(0，2)，代入解得x01，此时a1，由函数图象的对称性可得实数a的取值范围为a1.答案：a111设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.所以函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意，f(x)ax2bxb10有两个不同实根，所以b24a(b1)0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解得0a0时，有3个零点；当k0时，有4个零点；当k0)，则“f0，函数f(x)开口向上，f(x)有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x，即f0，令f(x)，则f(f(x)f，因为f0，所以f(f(x)0，所以f(f(x)必有两个零点同理f0f0，开口向上，f0，必有两个零点所以C选项正确3(2020瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x的不等式x2|xa|xa|，则02x2.在同一坐标系画出y2x2(y0，x0)和y|x|两个函数图象，将绝对值函数y|x|向左移动，当右支经过(0，2)点时，a2；将绝对值函数y|x|向右移动让左支与抛物线y2x2(y0，x0)相切时，由，可得x2xa20，再由0解得a.数形结合可得，实数a的取值范围是.答案：4已知函数f(x)，g(x)logx，记函数h(x)则函数F(x)h(x)x5的所有零点的和为_解析：由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线yx对称，函数F(x)所有零点的和就是函数yh(x)与函数y5x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线yx对称，所以5，所以x1x25.答案：514