高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式综合检测 新人教B版选修4-5

高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式综合检测 新人教B版选修4-5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设S(n)，则()AS(n)共有n项，当n2时，S(2)BS(n)共有n1项，当n2时，S(2)CS(n)共有n2n项，当n2时，S(2)DS(n)共有n2n1项，当n2时，S(2)【解析】S(n)共有n2n1项，当n2时，S(2).【答案】D2数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2Bn2C3n1D4n3【解析】计算知a11，a24, a39，a416，可猜想ann2.【答案】B3平面内原有k条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()Af(k)1Bf(k)kCf(k)k1Dkf(k)【解析】第k1条直线与前k条直线都有不同的交点，此时应比原先增加k个交点【答案】B4下列代数式，nN，能被13整除的是()An35nB34n152n1C62n11D42n13n2【解析】当n1时，n35n6,34n152n1368,62n117,42n13n291.只有91能被13整除【答案】D5用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak2B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2【解析】当nk时，左端123k2，当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2.【答案】D6若不等式对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A12B13C14D不存在【解析】令f(n)易知f(n)是单调递增的f(n)的最小值为f(2).依题意，m14.因此取m13.【答案】B7用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式()A12B12C12D12【解析】n2，第一步应是n2时，1 3nB4n3nC4n3n，即4n3n.【答案】A9若k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱有对角面的个数为()A2f(k)Bk1f(k)Cf(k)kDf(k)2【解析】由nk到nk1时增加的对角面的个数与底面上由nk到nk1时增加的对角线的条数一样，设底面为A1A2Ak，nk1时底面为A1A2A3AkAk1，增加的对角线为A2Ak1，A3Ak1，A4Ak1，Ak1Ak1，A1Ak，共有k1条，因此，对角面也增加了k1个【答案】B10用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)(k，kZ，nN)，在验证n1时，左边计算所得的项是()A.B.cos C.cos cos 3D.cos cos 2cos 3【解析】首项为，末项为cos(211)cos .【答案】B11如果命题P(n)对于nk成立，则它对nk2亦成立，又若P(n)对n2成立，则下列结论正确的是()AP(n)对所有自然数n成立BP(n)对所有偶自然数n成立CP(n)对所有正自然数n成立DP(n)对所有比1大的自然数n成立【解析】因为n2时，由nk2的“递推”关系，可得到n4成立，再得到n6成立，依次类推，因此，命题P(n)对所有的偶自然数n成立【答案】B12在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.B.C. D.【解析】a1，由Snn(2n1)an得，a1a22(221)a2，解得a2，a1a2a33(231)a3，解得a3，a1a2a3a44(241)a4，解得a4.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在题中横线上)13探索表达式A(n1)(n1)！(n2)(n2)！21！11！(n1且nN)的结果时，第一步n_时，A_.【解析】 第一步n2时，A(21)(21)！1.【答案】2114已知数列，则S1，S2，S3，S4的值分别是_ ，根据计算结果，猜想Sn_.【解析】S1，S2，S3，S4，猜想Sn.【答案】，15证明1(nN)，假设nk时成立，当nk1时，左边增加的项数是_【解析】左边增加的项数为2k112k12k.【答案】2k16在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立猜想在n边形A1A2An中，其不等式为_【解析】，所以在n边形A1A2An中，.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设nN，求证：3n2n.【证明】3n(12)n，根据贝努利不等式，有(12)n1n212n.上式右边舍去1，得(12)n2n.3n2n成立18(本小题满分12分)求证：62n3n23n是11的倍数(nN)【证明】(1)当n1时，6213123166，是11的倍数(2)假设nk(kN，且k1)时，命题成立，即62k3k23k是11的倍数则当nk1时，62(k1)3k33k162k23k33k13662k33k233k3362k362k33k233k3362k3(62k3k23k)由假设可知3(62k3k23k)是11的倍数，而3362k也是11的倍数，即nk1时，原命题正确由(1)(2)可知，对任意nN原命题成立19(本小题满分12分)求证：平面上通过同一点的n条直线分平面为2n部分【证明】(1)当n1时，一条直线把平面分成两部分，故命题成立(2)假设nk(k1)时，平面上通过同一点的k条直线把平面分成2k个部分，设第(k1)条直线落在相邻的两条直线之间，它把这两条直线所围成的平面上的两个区域变成4个区域，也即增加一条直线后，平面上的区域共有2k22(k1)个，故命题对于nk1也成立由(1)、(2)知原命题对于任何正整数n都成立20(本小题满分12分)求证：(n2，且nN)【证明】(1)当n2时，0，不等式成立(2)假设nk(k2，kN)时，原不等式成立即.则当nk1时，左边(共2k1个).当nk1时，原不等式成立由(1)、(2)知，原不等式对n2的所有的自然数都成立故(n2，nN)21(本小题满分12分)如果数列an满足条件：a14，an1(n1,2，)，证明：对任何自然数n，都有an1an且ana1.且a1ak且ak0.那么ak10.因此ak2ak1且ak1an且an0.22(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明【解】(1)由题意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an()n1.下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，()n1()01，等式成立假设当nk时，等式成立，即ak()k1，则当nk1时，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，ak1ak()()k1()(k1)1.即当nk1时，等式成立由可知，对nN，an()n1.