2022年高考数学专题复习 第22讲 简单的三角恒等变换练习 新人教A版

2022年高考数学专题复习 第22讲 简单的三角恒等变换练习 新人教A版考情展望1.利用和、差、倍角公式进行三角函数恒等变形，进而研究三角函数的性质问题.2.与三角函数的图象、性质相结合综合考查学生分析问题和解决问题的能力一、二倍角公式的变形1用cos 表示sin2，cos2，tan2sin2，cos2，tan2.2用sin ，cos 表示tan tan .应用二倍角公式的变形求值的注意问题(1)已知sin ，cos 的值求tan时，应优先采用tan或tan，这样可以避免由“tan”带来增解(2)应用“sin”或“cos”求值时，可由所在象限确定该三角函数值的符号二、辅助角公式asin bcos sin().1辅助角公式的特殊情况(1)sin cos sin；(2)sin cos 2sin；(3)cos sin 2sin.2辅助角公式的作用(1)利用该公式可将形如yasin xbcos x的函数转化为形如yAsin(x)的函数，进而研究函数的性质(2)若函数yasin xbcos x的定义域为R，则值域为，1已知cos ，3，那么sin ()A.BC. D【解析】3，.sin.【答案】D2已知cos ，(，2)，则cos 等于()A. B C. D【解析】2，.cos.【答案】B3化简的结果是()Acos 1 Bcos 1C.cos 1 Dcos 1【解析】cos 1.【答案】C4对于函数f(x)2sin x cos x，下列选项中正确的是()Af(x)在(，)上是递增的Bf(x)的图象关于原点对称Cf(x)的最小正周期为2Df(x)的最大值为2【解析】f(x)2sin xcos xsin 2x，f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称【答案】B5(xx课标全国卷)已知sin 2，则cos2()A. B. C. D.【解析】sin 2，cos2.【答案】A6(xx江西高考)函数ysin 2x2sin2x的最小正周期T为_【解析】由于ysin 2x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin，T.【答案】考向一 063辅助角公式及其应用(1)函数f(x)sin xcos的最大值为()A2B.C1D.(2)(xx浙江高考)函数f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是()A，1 B，2 C2，1 D2，2(3)(xx湖北高考)将函数ycos xsin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.【思路点拨】(1)先将cos展开，再与“sin x”合成一个角(2)先把f(x)化成Asin(x)的形式，再求周期和振幅(3)先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后，根据函数为偶函数得到m的表达式，求得m的最小值【尝试解答】(1)f(x)sin xcoscos xsinsin xcos xsin xsin当x2k(kZ)时，f(x)取得最大值1.(2)f(x)sin 2xcos 2xsin，所以最小正周期为T，振幅A1.(3)由于ycos xsin x2cos，向左平移m(m0)个单位长度后得到函数y2cos的图象由于该图象关于y轴对称，所以mk(kZ，m0)，于是mk(kZ，m0)，故当k0时，m取得最小值.【答案】(1)C(2)A(3)B规律方法1利用asin xbcos xsin(x)把形如yasin xbcos xk的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等.对点训练(xx温州模拟)已知函数f(x)sin xcos x，xR，若f(x)1，则x的取值范围为()A.B.C.D.【解析】f(x)sin xcos x2sin1，sin，2kx2k(kZ)，2kx2k，kZ.【答案】A考向二 064三角恒等变换的综合应用(xx大连模拟)已知函数f(x)sin2sin2(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合【思路点拨】借助“降幂公式”及“辅助角公式”化f(x)成“Asin(x)k”的形式，进而解答本题【尝试解答】(1)因为f(x)sin1cos 2212sin12sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，此时2x2k(kZ)，即xk(kZ)，所以所求x的集合为.规律方法21.三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；2.降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式.对点训练(xx四川高考)已知函数f(x)cos2sin cos .(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f()，求sin 2的值【解】(1)由已知，f(x)cos2sin cos (1cos x)sin xcos，所以f(x)的最小正周期为2，值域为.(2)由(1)知，f()cos，所以cos.所以sin 2coscos 212cos21.思想方法之十转化思想在求三角函数最值中的妙用解决三角函数最值的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等)，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题常见的三角函数最值的求解策略如下所示：1配方转化策略对能够化为形如yasin2xbsin xc或yacos2xbcos xc的三角函数最值问题，可看作是sin x或cos x的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决2有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如yAsin(x)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值这是解决三角函数最值问题常用的策略之一3单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略对于三角函数来说，常常是先化为yAsin(x)k的形式，再利用三角函数的单调性求解1个示范例 1个对点练(xx山东高考)设函数f(x)sin2xsin cos x(0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值【解】(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4.因此1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.因此1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值为，1.已知向量a(1sin 2x，sin xcos x)，b(1，sin xcos x)，函数f(x)ab.(1)求f(x)的最大值及相应的x的值；(2)若f()，求cos 2的值【解】(1)因为a(1sin 2x，sin xcos x)，b(1，sin xcos x)，所以f(x)1sin 2xsin2xcos2x1sin 2xcos 2xsin1.因此，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值1.(2)由f()1sin 2cos 2及f()，得sin 2cos 2，两边平方，得1sin 4，即sin 4.因此cos 2cossin 4.