小学奥数之第12讲几何综合（一）

第12讲 几何综合（一）几何图形的设计与构造涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题 1今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】 如下图所示，我们给出四种不同的排法 2已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米求这个六边形的周长 【分析与解】 如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母， 因为BAF=120，而么IAF=180-BAF=60又EFA=120，而IFA=180-EFA：60，则IAF为等边三角形 同理BCG、EHD、IGH均为等边三角形 在IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)， 在BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米) 则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)3图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】 如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长所以，最少的量出下列6段即可 4将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少? 【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1 5如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为1612(12+6)=24(平方厘米)而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24612=48(平方厘米) 6如图12-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA若三角形ABC的面积是1则阴影部分的面积是多少? 【分析与解】 ABC、ADC同高，所以底的比等于面积比，那么有而E为AD中点，所以连接FD，DFE、FAE面积相等，设则的面积也为x，而，解得.所以，阴影部分面积为7如图12-7，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20那么三角形ABC的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD与平行四边形PGCH的面积比为IP与PH的比，即为12：15=4：5 同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5如图12-7(a)，连接PC、HD，有PHC的面积为DPH与PHC同底PH，同高，所以面积相等，即，而DPH与EPH的高相等，所以底的比即为面积的比，有，所以如图12-7(b)所示，连接FH、BP，如图12-7(c)所示，连接FD、AP， 有 8如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，号正方形的边长是长方形长的，号正方形的边长是长方形宽的那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】 有号正方形的边长为长方形长的，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的. 而号正方形的边长为宽的，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的. 所以在长方形中有：长=宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k，宽为8k，则号正方形的边长为5k，又是整数，所以k为整数，有长方形的面积为96,不大于100所以k只能为1，即长方形的长为12，宽为8 于是，图中号正方形的边长为5，号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为： 9如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】 以下用表示E部分横向的长度，竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似有：=5：4，：=l：2而+=+，所以有：=5：4：1：2而+=+对应为5+1=6，那么对应为3而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以=有+竖对应为6，所以=对应为3那么长方形的竖边为6+对应为9，长方形横边为+6+对应为5+6+4=15所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3 10如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】 如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变 并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积 所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12 有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2 11如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米现在从4处沿45方向打出一球，碰到桌边后又沿45方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45方向弹出，如此继续下去假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中? 【分析与解】 将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为： (0,150)(150,0) (260,110) (220，150) (70，0) (0，70) (80，150) (230,0) (260，30) (140，150) (0，10) (10，0) (160，150) (260，50) (210,0) (60，150) (0，90) (90，0) (240，150) (260，130) (130，0) 因此，该球最后落入E袋 12长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止如图12-12当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2 因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，19942=997 所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次1310个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆 那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3 14在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，1=2=15.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(取3.14)【分析与解】有AO=OB，所以AOB 为等腰三角形，AO=OC，所以AOC为等腰三角形.ABO=1=15，AOB=180-1-ABO=150.ACO=2=15,AOC=180-2-ACO=150.所以 BOC=360-AOB-AOC=60，所以扇形BOC的面积为(平方厘米) 15图12-15是由正方形和半圆形组成的图形其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(取3.14)【分析与解】 过P做AD平行线，交AB于O点，P为半圆周的中点，所以0为AB中点有.阴影部分面积为