2022年高三数学第一次联考试题 文（含解析）新人教A版

2022年高三数学第一次联考试题 文（含解析）新人教A版本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分为150分，考试用时为120分钟.第卷（选择题，共50分）【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能.试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1、已知全集，集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【知识点】交集及其运算. A1【答案解析】A 解析：由A中的不等式变形得：2x1=20，解得：x0，即A=（0，+），B=（4，1），AB=（0，1）故选：A【思路点拨】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可.【题文】2、已知为虚数单位，复数的模（ ） A. 1 B. C D.3【知识点】复数求模. L4【答案解析】C 解析：z=i（2i）=2i+1，|z|=，故选：C【思路点拨】根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论.【题文】3、在等差数列中，已知，则（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10【知识点】等差数列的性质. D2【答案解析】D 解析：在等差数列an中，a1+a7=10，a3+a5=a1+2d+a1+4d=a1+（a1+6d）=a1+a7=10故选：D【思路点拨】在等差数列an中，由a1+a7=10，能求出a3+a5的值.【题文】4、设是两个非零向量，则“”是“夹角为锐角”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】数量积的符号与两个向量的夹角范围的关系.充分条件；必要条件. A2 F3【答案解析】B 解析：当 0时，与的夹角可能为锐角，也可能为零角，故充分性不成立；当与的夹角为锐角时，0一定成立，故必要性成立综上，0是与的夹角为锐角的必要而不充分条件，故选B【思路点拨】先看当 0时，能否推出与的夹角是否为锐角，再看当与的夹角为锐角时，0是否一定成立，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判断【题文】5、在“魅力咸阳中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A.5和1.6B.85和1.6 C. 85和0.4 D. 5和0.4【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数. I2 【答案解析】B 解析：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，所以所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为（8485）2+（8485）2+（8685）2+（8485）2+（8785）2=1.6故选B【思路点拨】根据均值与方差的计算公式，分别计算出所剩数据的平均数和方差分即可.【题文】6、如果直线与平面满足：那么必有（ ）A. B. C. D.【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系. G3 G4 G5【答案解析】A 解析：m和m，l=，llm，故选A【思路点拨】m和m，l=，l然后推出lm，得到结果.【题文】241正视图俯视图侧视图7、如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（ ）A B C D【知识点】由三视图求面积、体积. G2【答案解析】A 解析：由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，由侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4，三棱柱的体积为=2，由正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，三棱锥的体积为111=，几何体的体积V=22=故选A【思路点拨】由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，根据侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4.【题文】8、定义运算“”为：两个实数的“”运算原理如图所示，若输人， 则输出（ ）A.2 B0 C、2 D.4【知识点】程序框图. L1【答案解析】D 解析：由程序框图知，算法的功能是求P=的值，a=2cos=2cos=1b=2，P=2（1+1）=4故选：D【思路点拨】算法的功能是求P=的值，利用三角诱导公式求得a、b的值，代入计算可得答案【题文】9、在长为12 厘米的线段上任取一点，现作一矩形,邻边长分别等于线段的长,则该矩形面积大于20平方厘米的概率为（ ）A. B. C. D. 【知识点】几何概型. K3【答案解析】C 解析：设AC=x，则BC=12x，矩形的面积S=x（12x）20x212x+200，2x10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P=，故选C【思路点拨】设AC=x，则BC=12x，由矩形的面积S=x（12x）20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求结论.【题文】10、如图，是函数图像上一点，曲线在点处的切线交轴于点，轴，垂足为 若的面积为，则 与满足关系式（ ） A. B. C. D. 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 B12【答案解析】B 解析：设A的坐标为（a，0），由导数的几何意义得：f（x0）为曲线y=f（x）在x=x0处切线的斜率，故P点处的切线方程为yf（x0）=f（x0）（xx0），令y=0，则0f（x0）=f（x0）（xx0），即x=x0，即a=x0，又PAB的面积为，ABPB=，即（x0a）f（x0）=1，f（x0）=1即f（x0）=f（x0）2，故选B【思路点拨】根据导数的几何意义：f（x0）为曲线y=f（x）在x=x0处切线的斜率，写出切线方程，令y=0，求出A点的坐标，分别求出AB，PB长，运用三角形的面积公式，化简即可.第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中1415题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分【题文】11函数，则【知识点】分段函数的函数值. B1【答案解析】 解析：，故答案为：【思路点拨】先求，故代入x0时的解析式；求出=2，再求值即可.【题文】12. 若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是 .【知识点】简单线性规划. E5【答案解析】（4，2） 解析：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，目标函数的斜率大于x+y=2的斜率且小于直线2xy=1的斜率，即12，解得4k2，即实数k的取值范围为（4，2），故答案为：（4，2）【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围.【题文】13. 已知，且，则 【知识点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系C5 C2【答案解析】 解析：因为cos=，cos（）=，且0，0，所以sin=，（0，），sin（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=故答案为：【思路点拨】通过、的范围，求出的范围，然后求出sin，sin（）的值，即可求解cos【题文】14.（坐标系与参数方程）在极坐标系中圆的圆心到直线的距离是 【知识点】简单曲线的极坐标方程. N3【答案解析】1 解析：圆=4cos，2=4cos化为普通方程为x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4，圆心的坐标为（2，0）直线=（R），直线的方程为y=x，即xy=0圆心（2，0）到直线xy=0的距离=1故答案为：1【思路点拨】先将极坐标方程化为普通方程，可求出圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出答案【题文】15（几何证明选讲）如图，点B在O上， M为直径AC上一点，BM的延长线交O于N， ，若O的半径为，OA=OM ，则MN的长为 【知识点】与圆有关的比例线段. N1【答案解析】2 解析：BNA=45，圆心角AOB和圆周角ANB对应着相同的一段弧，AOB=90，O的半径为2，OA=OM，OM=2，在直角三角形中BM=4，根据圆内两条相交弦定理有4MN=（2+2）（22），MN=2，故答案为：2【思路点拨】根据圆心角AOB和圆周角ANB对应着相同的一段弧，得到角AOB是一个直角，根据所给的半径的长度和OA，OM之间的关系，求出OM的长和BM的长，根据圆的相交弦定理做出结果三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16（本题满分12分）已知向量，设函数.（）求函数单调增区间；（）若，求函数的最值，并指出取得最值时的取值.【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用. F3 C7【答案解析】（），（kZ）；（）f（x）取得最小值0，此时，f（x）取得最大值，此时.解析：（）=当，kZ，即，kZ，即，kZ时，函数f（x）单调递增，函数f（x）的单调递增区间是，（kZ）；（）f（x）=sin（2x+）+，当时，当时，f（x）取得最小值0，此时2x+=，当时，f（x）取得最大值，此时2x+=，【思路点拨】（）利用向量的数量积求出f（x）的解析式，再利用三角函数的图象与性质求出单调区间；（）由三角函数的图象与性质，结合区间x，求函数f（x）的最值以及对应x的值【题文】17、（本题满分12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？（2）若全小区节能意识强的人共有350人，则估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；抽样方法；等可能事件的概率I2 I1 K1【答案解析】(1) 节能意识强弱与年龄有关；（2）280人；（3） 解析：（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关（2）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为年龄大于50岁的约有（人）（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人），年龄大于50岁的51=4人，记这5人分别为a，B1，B2，B3，B4从这5人中任取2人，共有10种不同取法：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A中的基本事件有4种：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4）故所求概率为 .【思路点拨】（1）利用独立性检验的基本思想，只要在每个年龄段计算它们节能意识强的概率，若差距较大说明与年龄有关，也可利用|adbc|的值的大小来直观判断；（2）先利用统计数据计算在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率，再由总体乘以概率即可得总体中年龄大于50岁的有多少人；（3）先确定抽样比，即每层中应抽取，故再抽到的5人中，一人年龄小于50，4人年龄大于50，从中取两个，求恰有1人年龄在20至50岁的概率为古典概型，利用古典概型的概率计算公式，分别利用列举法计数即可得所求概率.【题文】18、（本题满分14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点O是对角线与的交点,是的中点,. （1）求证：平面; （2）平面平面（3）当四棱锥的体积等于时,求的长.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定G1 G4 G5 【答案解析】（1）证明：略；（2）证明：略；（3）.解析：（1）证明：在PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，OM是PBD的中位线，OMPB，（1分）OM平面PBD，PB平面PBD，（3分）OM平面PAB（4分）（2）证明：底面ABCD是菱形，BDAC，（5分）PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA（6分）AC平面PAC，PA平面PAC，ACPA=A，BD平面PAC，（8分）BD平面PBD，平面PBD平面PAC（10分）（3）解：底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60，（11分）四棱锥PABCD的高为PA，得（12分）PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB（13分）在RtPAB中，（14分）【思路点拨】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD平面PAC，即可证明平面PBD平面PAC；（3）利用四棱锥PABCD的体积等于时，求出四棱锥PABCD的高为PA，利用PAAB，即可求PB的长【题文】19、（本题满分14分）已知等差数列的公差为, 且,（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,记的前项和为, 若存在, 使对任意总有恒成立, 求实数的取值范围.【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合D2 D3 E8【答案解析】（1）；（2）2 . 解析：（1）由a2+a7+a12=6得a7=2，所以a1=4（4分）an=5n，从而（6分）（2）由题意知b1=4，b2=2，b3=1（18分）设等比数列bn的公比为q，则， 随m递减，Tm为递增数列，得4Tm8（10分）又，故（Sn）max=S4=S5=10，（11分）若存在mN*，使对任意nN*总有SnTm+则108+，得2（14分）【思路点拨】（1）先利用a2+a7+a12=6以及等差数列的性质，求出a7=2，再把公差代入即可求出首项，以及通项公式和前n项和Sn；（2）先由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得Tm，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及SnTm+恒成立，即可求实数的取值范围【题文】20、（本题满分14分）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与轴交于点(1)求证：成等比数列；(2)设，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；等比关系的确定. H8 D3【答案解析】（1）证明：略；（2）为定值且定值为1. 解析：(1)证明：设直线的方程为：，联立方程可得得设，则，而，即成等比数列-7分(2)由，得，即得：，则 由(1)中代入得，故为定值且定值为1.-14分【思路点拨】（1）设直线l的方程为：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比数列，从而解决问题（2）由，得，从而利用x1，x2，及k来表示，最后结合（1）中根系数的关系即得故+为定值【题文】21、（本题满分14分）设函数（），(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”设，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由【知识点】两点间距离公式的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式. B12 E8【答案解析】（1）；（2）；（3）与存在“分界线， 且“分界线”方程为：解析：（1）因为，所以，令得：，此时，2分则点到直线的距离为，即，解之得4分（2）解法一：不等式的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故，6分令，由且， 所以函数的一个零点在区间，则另一个零点一定在区间，8分故解之得10分解法二：恰有三个整数解，故，即，6分，所以，又因为，8分所以，解之得10分（3）设，则所以当时，；当时，因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点12分设与存在 “分界线”，方程为，即，由在恒成立，则在恒成立 所以成立， 因此下面证明恒成立 设，则 所以当时，；当时，因此时取得最大值，则成立故所求“分界线”方程为：14分【思路点拨】（1）直接运用点到直线的距离公式，然后求解即可得到答案（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解（3）属于新定义的题目，可以用函数求导数求最值的方法解答