2022年高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第2讲 直线与平面的位置关系 理

2022年高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第2讲 直线与平面的位置关系 理空间线面位置关系的判断训练提示:判断空间中线面位置关系关键是根据定义、判定定理、性质定理进行判断,注意反证法的应用.1. (xx河南六市第一次联考)如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:ACSD;(2)若SD平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC.若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由.(1) 证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意SOAC.在正方形ABCD中,ACBD,所以AC平面SBD,得ACSD.(2)解:在棱SC上存在一点E,使BE平面PAC.设正方形边长为a,则SD=a,由SD平面PAC可得PD=a,故可在SP上取一点N,使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN(图略),在BDN中知BNPO,又由于NEPC,故平面BEN平面PAC,得BE平面PAC,由于SNNP=21,故SEEC=21.2. (xx兰州高三诊断)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB=2,BC=CD=1,ABCD,顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证:AD1BC;(2)在AB上是否存在点M,使得C1M平面ADD1A1?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明: 连接D1C,则D1C平面ABCD,所以D1CBC,在等腰梯形ABCD中,连接AC,因为AB=2,BC=CD=1,ABCD,所以BCAC,所以BC平面AD1C,所以AD1BC.解:(2)设M是AB上的点,因为ABCD,所以AMD1C1,因经过AM,D1C1的平面与平面ADD1A1相交于AD1,要使C1M平面ADD1A1,则C1MAD1,即四边形AD1C1M为平行四边形,此时D1C1=DC=AM=AB,即点M为AB的中点.所以在AB上存在点M,使得C1M平面ADD1A,此时点M为AB的中点.空间中线线、线面位置关系的证明训练提示:(1)立体几何中,要证线线垂直,常常先证线面垂直,再用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面,只需先证线平行于线,再用线平行于面的判定定理易得或先证直线所在的平面与平面平行,即得线面平行.(2)证明立体几何问题,要紧密结合图形,有时要利用平面几何的相关知识,因此需要多画出一些图形辅助使用.3. (xx山西大同三模)如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD,点E为AB的中点.(1)求证:BD1平面A1DE;(2)求证:D1EA1D.证明: (1)四边形ADD1A1为正方形,连接AD1交A1D于O,则O是AD1的中点,点E为AB的中点,连接OE,所以EO为ABD1的中位线,所以EOBD1.又因为BD1平面A1DE,OE平面A1DE,所以BD1平面A1DE.(2)正方形ADD1A1中,A1DAD1,由已知可得AB平面ADD1A1,A1D平面ADD1A1,所以ABA1D,ABAD1=A,所以A1D平面AD1E,因为D1E平面AD1E,所以A1DD1E.空间中面面位置关系的证明训练提示:(1)证明面面平行依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中线、高线或添加辅助线解决.4. (xx湖南卷)如图,直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.(1)证明:平面AEF平面B1BCC1;(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45,求三棱锥FAEC的体积.(1)证明: 如图,因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以AEBB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AEBC.因此AE平面B1BCC1.而AE平面AEF,所以平面AEF平面B1BCC1.(2)解:设AB的中点为D,连接A1D,CD.因为ABC是正三角形,所以CDAB.又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CDAA1.因此CD平面A1ABB1,于是CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.由题知CA1D=45,所以A1D=CD=AB=.在RtAA1D中,AA1=,所以FC=AA1=.故三棱锥FAEC的体积V=SAECFC=AEECFC=.5.(xx北京卷) 如图,在三棱锥VABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥VABC的体积.(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,所以AB=2,OC=1,所以SVAB=,又因为OC平面VAB,所以=OCSVAB=.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等,所以三棱锥VABC的体积为.类型一:空间线面位置关系的综合1.(xx甘肃兰州第二次监测)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为棱AA1与CC1的中点,过直线EF的平面分别与BB1,DD1相交于点M,N,设BM=x,x0,1有以下命题:平面MENF平面BDD1B1;当x=时,四边形MENF的面积最小;四边形MENF的周长L=f(x),x0,1是单调函数;四棱锥C1MENF的体积V=g(x)为常函数.其中正确结论的序号是(将正确结论的序号都填上).解析:连接BD,B1D1,则由正方体性质知,EF平面BDD1B1,所以平面MENF平面BDD1B1,所以正确.连结MN,因为EF平面BDD1B1,所以EFMN,因为四边形MENF的对角线EF为定值,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可,此时当M为棱的中点时,即x=时,MN最小,对应四边形MENF的面积最小,故正确;因为EFMN,所以四边形MENF是菱形,当x0,时,EM的长度由大变小,当x,1时EM的长度由小变大,所以函数L=f(x)不单调,故错;连接C1E,C1M,C1N(图略),则四棱锥分割为两个小三棱锥,它们是以C1EF为底,以M,N分别为顶点的两个小棱锥,因为C1EF的面积为常数,M,N到平面C1EF的距离是常数,所以四棱锥C1MENF的体积V=g(x)为常函数,所以正确.答案:2. (xx贵州省适应性考试)如图,在四棱锥PABCD中,PC底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB=2,AD=CD=1,E是线段PB的中点.(1)证明:AC平面PBC;(2)若点P到平面ACE的距离是,求三棱锥PACD的体积.(1) 证明:由平面几何知识可知AC=BC=.在ABC中,AB2=AC2+BC2,所以ACBC.因为PC平面ABCD,所以ACPC,又PCBC=C,则AC平面PBC.(2)解:由(1)可知平面ACE平面PBC.在平面PBC内作PHCE,垂足为H,则PH平面ACE,于是,PH就是点P到平面ACE的距离,即PH=.设PC=t,则PB=,CE=PB=,同时,SPBC=t=t,SPCE=SPBC=t.又因为SPCE=CEPH,有=t,解得t=1,即PC=1.三棱锥PACD的体积V=SACDPC=.3. (xx天津卷)如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.(1)证明: 如图,连接A1B.在A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.(2)证明:因为AB=AC,E为BC的中点,所以AEBC.因为AA1平面ABC,BB1AA1,所以BB1平面ABC,从而BB1AE.又因为BCBB1=B,所以AE平面BCB1,又因为AE平面AEA1,所以平面AEA1平面BCB1.(3)解:取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NEB1B,NE=B1B,故NEA1A且NE=A1A,所以A1NAE,且A1N=AE.又因为AE平面BCB1,所以A1N平面BCB1,从而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因为BMAA1,BM=AA1,所以A1MAB,A1M=AB,又由ABBB1,得A1MBB1.在RtA1MB1中,可得A1B1=4.在RtA1NB1中,sinA1B1N=,因此A1B1N=30.所以,直线A1B1与平面BCB1所成的角为30.类型二:立体几何中的折叠问题4.(xx江西九江二模)已知梯形ABCD中,BCAD,AB=BC=AD=1,且ABC=90,以AC为折痕使得折叠后的图形中平面DAC平面ABC.(1)求证:DC平面ABC;(2)求四面体ABCD的外接球的体积;(3)在棱AD上是否存在点P,使得AD平面PBC.(1)证明:如图取AD的中点E,连接CE,CED是等腰直角三角形,所以ACD=ACE+ECD=45+45=90,即DCAC,因为平面DAC平面ABC,所以DC平面ABC.(2)解:因为DC平面ABC,所以DCAB,又因为ABBC,所以AB平面DBC,所以ABDB,即ABD=ACD=90,所以四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点E,即四面体ABCD的外接球的半径R=1,故四面体ABCD的外接球的体积为.(3)解:不存在,理由:若在棱AD上存在点P,使得AD平面PBC,则ADBC,又DC平面ABC,所以DCBC,所以BC平面ADC,从而BCAC,这与ACB=45矛盾,所以在棱AD上不存在点P,使得AD平面PBC.类型三:立体几何中的探索性问题5. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为梯形,ABC=BAD=90,BC=2,AP=AD=AB=,PAB=PAD=.(1)试在棱PA上确定一个点E,使得PC平面BDE,并求出此时的值;(2)当=60时,求证:CD平面PBD.(1)解: 连接AC,BD交于点F,在平面PCA中作EFPC交PA于E,因为PC平面BDE,EF平面BDE,所以PC平面BDE,因为ADBC,所以=,因为EFPC,所以=,此时,=.(2)证明:取BC的中点G,连接DG,则四边形ABGD为正方形连接AG,交BD于点O,连接PO,AP=AD=AB,PAB=PAD=60,所以PAB和PAD都是等边三角形,因此PA=PB=PD,又因为OD=OB,所以POBPOD,得POB=POD=90,同理得POAPOB,POA=90,所以PO平面ABC.所以POCD,ABC=BAD=90,BC=2AD=2AB=2,可得BD=2,CD=2,所以BD2+CD2=BC2,所以BDCD,又BDPO=O,所以CD平面PBD.类型四:立体几何中的距离问题6. (xx东北三校第二次联考)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC为等边三角形,AB=4,AA1=5,点M是BB1中点.(1)求证:平面A1MC平面AA1C1C;(2)求点A到平面A1MC的距离.(1)证明:连接AC1,与A1C交于E.连接ME.因为直三棱柱ABCA1B1C1,点M是BB1中点,所以MA1=MA=MC1=MC=.因为点E是AC1,A1C的中点,所以MEAC1,MEA1C,且AC1A1C=E,从而ME平面AA1C1C,因为ME平面A1MC,所以平面A1MC平面AA1C1C.(2)解:过点A作AHA1C于点H,由(1)知平面A1MC平面AA1C1C,平面A1MC平面AA1C1C=A1C,而AH平面AA1C1C,所以AH即为点A到平面A1MC的距离.在A1AC中,A1AC=90,A1A=5,AC=4,所以A1C=,所以AH=,即点A到平面A1MC的距离为.