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2022年高中数学模块综合检测教学案苏教版选修4-21(本小题满分10分)曲线9x24y21在伸压变换下变成另一曲线C,求曲线C的方程解:伸压变换矩阵为M,由 ,得即其中点P(x,y)在曲线9x24y21上,所以有92421,即x2y21.故曲线C的方程为x2y21.2(本小题满分10分)二阶矩阵M对应的变换将点(1,1)与(2,1)分别变换成点(1,1)与(0,2)(1)求矩阵M;(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m:xy40,求l的方程解:(1)设M,则有 , ,所以且解得所以M.(2)因为 ,且xy40,所以(x2y)(3x4y)40,整理得xy20,所以直线l的方程为xy20.3(本小题满分10分)已知M,N,求二阶方阵X,使MXN.解:设X,据题意有 ,根据矩阵乘法法则有解得所以X.4.(本小题满分10分)变换T1是逆时针旋转的旋转变换,对应的变换矩阵是M1;变换T2对应的变换矩阵是M2.(1)求点P(2,1)在T1作用下的点P的坐标;(2)求曲线2x22xyy21先在T1旋转变换作用下,后在T2变换的作用下所得曲线的方程解:(1)由题意知M1,故M1 ,所以点P(2,1)在T1作用下的点P的坐标是(1,2)(2)由题意得MM2M1,设是变换后的图像上任意一点,与之对应的变换前的点是,则M,也就是即代入2x2x0y0y1,得2y22y(yx)(yx)21,即x2y21.所以所求曲线的方程是x2y21.5(本小题满分10分)在直角坐标系中,已知ABC的顶点坐标为A(0,0),B(1,1),C(0,2),求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积这里M,N.解:在矩阵N的作用下,一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90得到的图形,在矩阵M的作用下,一个图形变换为与之关于直线yx对称的图形所以ABC在矩阵MN的作用下变换所得到的图形与ABC全等,从而其面积等于ABC的面积,即为211.6(本小题满分10分)已知矩阵A,B.(1)计算AB;(2)若矩阵B把曲线:x2y21变为曲线C,求曲线C的方程解:(1)AB.(2)任取直线l上一点P(x,y),经矩阵B变换后为点P(x,y),则 ,代入x2y21,得(x2y)2y21,x24xy3y21.曲线C的方程为x24xy3y21.7(本小题满分10分)已知二阶矩阵A的特征值13及其对应向量1,特征值21及其对应向量2,求矩阵A的逆矩阵A1.解:设二阶矩阵A(a,b,c,dR),则有 3,且 ,即且解得a1,b2,c2,d1.所以A,从而A1.8(本小题满分10分)给定矩阵M及向量.(1)求矩阵M的特征值及与各自对应的一个特征向量e1,e2;(2)确定实数a,b,使向量可以表示为ae1be2;(3)利用(2)中的表达式计算M3,Mn.解:(1)矩阵M的特征多项式f()(2)(1)30(7)(4)令f()0,解得矩阵M的特征值14,27.易求得属于特征值14的一个特征向量e1,属于特征值27的一个特征向量e2.(2)由(1)可设ab,解得a1,b3,所以e13e2.(3)M3M3(e13e2)M3e13M3e2(4)3373.MnMn(e13e2)Mne13Mne2(4)n37n.9(本小题满分10分)曲线x24xy2y21在二阶矩阵M的作用下变换为曲线x22y21.(1)求a,b的值;(2)求M的逆矩阵解:(1)设P(x,y)为曲线x22y21上任意一点,P(x,y)为曲线x24xy2y21上与P对应的点,则 ,即,代入得(xay)22(bxy)21,即(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21,即为方程x24xy2y21,比较系数得,解得a2,b0.(2)因为det(M)10,故M1.10(本小题满分10分)已知矩阵A(BC)1,其中B,C,求A特征值1,2及对应的特征向量1,2.解:由B,得B1,由C,得C1,所以A(BC)1C1B1 .矩阵A的特征多项式为f()(3)(1)令f()0,得A的特征值为13,21.当13时,由 3,得所以y0,取x1,得到A属于特征值3的一个特征向量为1;当21时,由 ,得取x1,则y4,得到A属于特征值1的一个特征向量为2.
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