2022年高三数学十月联合考试试题 理（含解析）新人教A版

2022年高三数学十月联合考试试题 理（含解析）新人教A版【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容。第卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、已知集合，则等于A B C D 【知识点】交集及其运算L4 【答案解析】B 解析：由M中不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即M=（0，2）；由N中不等式变形得：10，即0，解得：x1，即N=（，1），则MN=（0，1）故选B【思路点拨】求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可【题文】2、的值为A B C D 【知识点】运用诱导公式化简求值L4 【答案解析】C 解析：cos（）=cos（670+）=cos=cos（+）=cos=，故选：C【思路点拨】原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【题文】3、已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）A B C D 【知识点】微积分基本定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断L4 【答案解析】C 解析：由积分运算法则，得=lnx=lneln1=1因此，不等式即即a1，对应的集合是（1，+），将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+）是（1，+）的子集原不等式成立的一个充分而不必要条件是ae，故选：C【思路点拨】由定积分计算公式，求出函数f（x）=的一个原函数F（x）=lnx，从而利用微积分基本定理得到=lne，结合充分条件、必要条件的定义，即可得到不等式成立的一个充分而不必要条件【题文】4、已知为第三象限角，且，则的值为A B C D【知识点】两角和与差的正弦函数L4 【答案解析】B 解析：把sin+cos=2m两边平方可得1+sin2=4m2，又sin2=m2，3m2=1，解得m=，又为第三象限角，m=，故选：B【思路点拨】把sin+cos=2m两边平方可得m的方程，解方程可得m，结合角的范围可得答案【题文】5、在中，角角的对边分别为，若且，则等于A B C D 【知识点】余弦定理L4 【答案解析】A 解析：由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2b2=bc，可得a2=7b2，所以cosA=，0A，A=故选：A【思路点拨】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可【题文】6、已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则等于A B C1 D2 【知识点】函数奇偶性的性质L4 【答案解析】B 解析：由f（x）为奇函数可得f（x）=f（x），再由条件可得f（x）=f（+x），所以，f（3+x）=f（x）所以，f（xx）=f（6713+2）=f（1）=f（1）=2故选：B【思路点拨】由已知得f（3+x）=f（x），所以f（xx）=f（6713+2）=f（1）=f（1）=2【题文】7、给出下列命题，其中错误的是A在中，若，则B在锐角中， C把函数的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数的图象D函数最小正周期为的充要条件是【知识点】命题的真假判断与应用L4 【答案解析】D 解析：对于A在ABC中，若AB，则ab，即由正弦定理有sinAsinB，故A正确；对于B在锐角ABC中，A+B，则AB，由y=sinx在（0，）上递增，则sinAsin（B）=cosB，故B正确；对于C把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin（2x）=cos2x的图象，故C正确；对于D函数y=sinx+cosx（0）=2sin（x），最小正周期为时，也可能为2，故D错故选D【思路点拨】由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A；由锐角三角形中，两锐角之和大于90，运用正弦函数的单调性，即可判断B；运用图象的左右平移，只对自变量x而言，再由诱导公式，即可判断C；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D【题文】8、已知幂函数的图象如图所示，则在的切线与两坐标轴围成的面积为A B C D4 【知识点】幂函数的性质L4 【答案解析】C 解析：根据幂函数的图象可知，n20，且为偶数，又nN，故n=0，所以f（x）=x2，则f（x）=2x3，所以切线的斜率为f（1）=2，切线方程为y1=2（x1），即2x+y3=0，与两坐标轴围成的面积为=，故选：C【思路点拨】先根据幂函数的图象和性质，得到n=2，再根据导数求出切线的斜率，求出切线方程，问题得以解决【题文】9、已知，函数在处于直线相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数A有最小值 B有最小值 C有最大值 D有最大值 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程L4 【答案解析】D 解析：f（x）=tanx的导数f（x）=（）=，则a=f（）=2，将切点（，1）代入切线方程，即1=2+b+，即有b=1则g（x）=exx2+2，令h（x）=g（x）=ex2x，h（x）=ex2，在1，2上h（x）0恒成立，即h（x）在1，2上递增，即g（x）在1，2上递增，则有g（x）g（1）=e20，则g（x）在1，2上递增，g（1）最小，g（2）最大，不等式mg（x）m22恒成立，即有，解得me或eme+1即m的最大值为e+1故选D【思路点拨】求出f（x）的导数，求出切线的斜率，得a=2，将切点（，1）代入切线方程，求得b=1，再求g（x）的导数，判断g（x）在1，2上的单调性，求出最值，再由不等式mg（x）m22恒成立，即有，解出m的取值范围，即可判断【题文】10、对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是A B C D 【知识点】指数函数综合题L4 【答案解析】D 解析：由题意可得f（a）+f（b）f（c）对于a，b，cR都恒成立，由于f（x）=1+，当t1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件当t10，f（x）在R上是减函数，1f（a）1+t1=t，同理1f（b）t，1f（c）t，由f（a）+f（b）f（c），可得 2t，解得1t2当t10，f（x）在R上是增函数，tf（a）1，同理tf（b）1，2f（c）1，由f（a）+f（b）f（c），可得 2t1，解得1t综上可得，t2，故选：A【思路点拨】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围第卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上【题文】11、已知，则 【知识点】二倍角的正弦；诱导公式的作用L4 【答案解析】 解析：，3sin2=2cos，6sincos=2cos，解得 sin=，cos=故cos（）=cos（）=cos=，故答案为【思路点拨】由条件利用二倍角公式求得sin=，再利用同角三角函数的基本关系求出cos 的值，再利用诱导公式求出cos（）的值【题文】12、化简的结果为 【知识点】对数的运算性质L4 【答案解析】25 解析：原式=+lg5lg2+lg22lg2=25+lg2（lg5+lg2）lg2=25【思路点拨】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出【题文】13、已知关于的方程有两个不等的负实数根；关于的方程的两个实数根，分别在区间与内 （1）若是真命题，则实数的取值范围为 （2）若是真命题，则实数的取值范围为 【知识点】复合命题的真假L4 【答案解析】; 解析：（1）若p为真，则，解得：m2，若p是真命题，则p是假命题，故实数m的取值范围是：（，2；（2）对于q：设f（x）=4x2+4（m2）x+1，由q为真可得，解得：m，若q为假，则m或m，若（p）（q）是真命题，则有m或m2，即m的范围是：（，2；故答案为：（，2，（，2【思路点拨】（1）若p为真，求出m的范围，若p是真命题，则p是假命题，从而得出m的范围；（2）由q为真可得m的范围，若q为假，求出m的范围，若（p）（q）是真命题，从而求出m的范围【题文】14、在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 【知识点】正弦定理L4 【答案解析】12 解析：在ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC的面积为S=absinC=ab=c，c=ab再由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab3ab，当且仅当a=b时，取等号，ab12，故答案为：12【思路点拨】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=，C=根据ABC的面积为S=absinC=c，求得c=ab再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得ab的最小值【题文】15、已知函数，给出下列结论：函数的值域为；函数在上是增函数；对任意，方程在内恒有解； 若存在，使得，则实数的取值范围是其中所有正确的结论的序号是 【知识点】分段函数的应用菁优L4 【答案解析】解析：当x0，时，f（x）=x是递减函数，则f（x）0，当x（，1时，f（x）=2（x+2）+8，f（x）=20，则f（x）在（，1上递增，则f（x）（，则x0，1时，f（x）0，故正确；当x0，1时，g（x）=asin（x+）2a+2（a0）=acosx2a+2，由a0，0x，则g（x）在0，1上是递增函数，故正确；由知，a0，x0，1时g（x）23a，2，若23a或20，即0a或a，方程f（x）=g（x）在0，1内无解，故错；故存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得a故正确故答案为：【思路点拨】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断；求出g（x）在0，1的值域，求出方程f（x）=g（x）在0，1内无解的a的范围，即可判断；由得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16、（本小题满分11分） 已知函数的部分图象如图所示 （1）试确定函数的解析式； （2）若，求的值【知识点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用 【答案解析】（1）f（x）=2sin（x+）；（2）解析：（1）由图可知，A=2，=，又0，T=2，=；由图可知，f（x）=Asin（x+）经过（，2），+=，即+=，=，f（x）=2sin（x+）；（2）f（）=，2sin（+）=，sin（+）=cos（+）=cos（）=，cos（）=21=21=【思路点拨】（1）由图可知，A=2，=，可求得，再利用+=可求得，从而可求得f（x）的解析式；（2）由（1）知f（x）的解析式，结合已知f（）=，可求得的三角函数知，最后利用两角差的余弦计算即可求cos（）的值【题文】17、（本小题满分12分）xx世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x元时，销售量可达到万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格 （1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润； （2）若，求销售这套商品总利润的函数，并求的最大值【知识点】函数模型的选择与应用L4 【答案解析】（1）330（万元）（2）f（x）= 0.1x2+18x460，（0x150），350（万元）解析：（1）售价为50元时，销量为150.150=10万套，此时每套供货价格为30+（元），则获得的总利润为10（5030）=180，解得k=20，售价为100元时，销售总利润为；（150.11000（10030）=330（万元）（2）由题意可知每套商品的定价x满足不等式组，即0x150，f（x）=x（30+）（150.1x）=0.1x2+18x460，（0x150），f（x）=0.2x+18，令f（x）=0可得x=90，且当0x90时，f（x）0，当90x150时，f（x）0，当x=90时，f（x）取得最大值为350（万元）【思路点拨】（1）由题意可得10（5030）=180，解得k=20，即可求得结论；（2）由题意得f（x）=x（30+）（150.1x）=0.1x2+18x460，（0x150），利用导数判断函数的单调性即可求得最大值【题文】18、（本小题满分12分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记 （1）若，求； （2）分别过作x轴的垂线，垂足一次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求角的值【知识点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义 【答案解析】（1）（2）解析：（1）解：由三角函数定义，得 x1=cos，因为 ，所以 所以 （2）解：依题意得 y1=sin， 所以 ，依题意S1=2S2 得 ，即sin2=2sin2cos+cos2sin=sin2cos2，整理得 cos2=0因为 ，所以 ，所以 ，即 【思路点拨】（1）由三角函数定义，得 x1=cos=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果（2）依题意得 y1=sin，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2=0，根据的范围，求得的值【题文】19、（本小题满分12分） 已知函数是定义在R上的奇函数 （1）若，求在上递增的充要条件；（2）若对任意的实数和正实数恒成立，求实数的取值范围【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值L4 【答案解析】（1）0m（2）（，0）（0，2 解析：（1）函数f（x）=（m0）是定义在R上的奇函数f（0）=0，即=0，n=0，f（x）=，显然f（x）=f（x）成立，故n=0时f（x）为R上的奇函数，f（x）=，m0，m0，由f（x）0可得x220，解得x，即f（x）的递增区间是（，），由题意只需（m，m）（，），0m，f（x）在（m，m）上递增的充要条件是0m（2）设g（x）=sinc0s+cos2+，f（x）sincos+cos2+对任意的实数和正实数x恒成立，f（x）g（x）min恒成立，g（x）=sinc0s+cos2+=sin2+=sin2+cos2+=sin（2+）+，g（x）min=+=，只需f（x），即，x0，只需，即m（x+）恒成立，而（x+）2=2，当且仅当x=时取得最小值2，m2，又m0，实数m的取值范围是（，0）（0，2【思路点拨】（1）利用导数判断函数的单调性，由f（x）0解得即可；（2）设g（x）=sinc0s+cos2+，由题意得只需f（x）g（x）min恒成立，利用三角变换求得g（x）的最小值，列出不等式解得即可【题文】20、（本小题满分14分）已知 （1）求的单调区间与极值； （2）若，试分析方程在上是否有实根，若有实数根，求出的取值范围；否则，请说明理由【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值菁L4 【答案解析】（1）y=f（x）f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+），当x=1时，y取极大值e，函数无极小值（2）方程f（x）=f（x）+kxk2+e在1，+上无实根 解析：（1）函数f（x）=ex（lnx+1）的定义域为（0，+），f（x）=+ex，则y=f（x）f（x）=，y=，由y=0可得x=1当x1时，y0；当x1时，y0；y=f（x）f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+），当x=1时，y取极大值e，函数无极小值（2）方程f（x）=f（x）+kxk2+e可变为f（x）f（x）kx+k2e=0进一步化为kx+k2e=0，令g（x）=kx+k2e，g（x）=x1，x10，而ex0，又k0，g（x）=0，g（x）在1，+上单调递增，且g（x）的最小值为g（1）=k2k，则方程f（x）=f（x）+kxk2+e在1，+上最多只有一个实根，要使方程f（x）=f（x）+kxk2+e在1，+上有一个实根，只需k2k0，解得0k1，这与k0矛盾，故方程f（x）=f（x）+kxk2+e在1，+上无实根【思路点拨】（1）先求出f（x）的导数，代入y=f（x）f（x）得出函数表达式，再去研究单调性与极值，（2）把方程f（x）=f（x）+kxk2+e化简，构造函数，用导数研究方程有无实根【题文】21、（本小题满分14分） 已知为常数，在处的切线方程为 （1）求的单调区间； （2）若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围； （3）求证：对任意正整数，有【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。L4 【答案解析】（1）f（x）的单调递减区间为（0，+），没有递增区间（2） ，+）（3）见解析解析：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+），f（x）=+，f（1）=+n=1，把x=1代入x+y2=0得y=1，f（1）=1，m=2，n=，f（x）=lnx，f（x）=，x0，f（x）0，f（x）的单调递减区间为（0，+），没有递增区间（2）由（1）可得，f（x）在，1上单调递减，f（x）在，1上的最小值为f（1）=1，只需t3t22at+21，即2a对任意的t，2上恒成立，令g（t）=，则g（t）=2t1=，令g（t）=0可得t=1，而2t2+t+10恒成立，当t1时，g（t）0，g（t）单调递减，当1t2时，g（t）0，g（t）单调递增g（t）的最小值为g（1）=1，而g（）=+2=，g（2）=42+=，显然g（）g（2），g（t）在，2上的最大值为g（2）=，只需2a，即a，实数a的取值范围是，+）（3）由（1）可知f（x）在区间（0，1上单调递减，对于任意的正整数n，都有f（）f（1）=1，即ln1，整理可得+lnn2，则有：+ln12，+ln22，+ln32，+lnn2把以上各式两边相加可得：4（+）+（ln1+ln2+lnn）2n【思路点拨】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在，1上的最小值为f（1）=1，只需t3t22at+21，即2a对任意的t，2上恒成立，令g（t）=，利用导数求出g（t）的最大值，列出不等式，即可求得结论；（3）由（1）可知f（x）在区间（0，1上单调递减，故有f（）f（1）=1，即ln1，整理可得+lnn2，利用累加法即可得出结论