2022年高二上学期期中考试数学文试卷 含解析(I)

2022年高二上学期期中考试数学文试卷 含解析(I)一、选择题（每小题5分，共60分）1如图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（）ABCD2已知直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：（3a）xy+a=0，若l1l2，则实数a的值（）A1B2C6D1或23已知A（1，a）、B（a，8）两点的直线与直线2xy+1=0平行，则a的值为（）A10B17C5D24某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）AB24CD5有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A棱台B棱锥C棱柱D都不对6ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是（）ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1DAC1BD17过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是（）Ax2y1=0Bx2y+1=0C2x+y2=0Dx+2y1=08以A（1，3），B（5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A3xy8=0B3x+y+4=0C3xy+6=0D3x+y+2=09过点（1，0）且与直线x2y2=0垂直的直线方程是（）Ax2y1=0Bx2y+1=0C2x+y2=0Dx+2y1=010若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（）A内的所有直线都与直线a异面B内可能存在与a平行的直线C内的直线都与a相交D直线a与平面没有公共点11如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A6B8C10D1212将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥DABC的体积为（）Aa3Ba3Ca3Da3二、填空题（每小题5分，共20分）13已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为14用一平面去截球所得截面的面积为3cm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的体积是cm315考察下列命题，在“_”处缺少一个条件，补上这个条件使其构成正确命题（其中l，m为直线，为平面），则此条件为l16如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，点MAB1，NBC1，且AM=BN，有以下四个结论：AA1MN，A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线其中正确结论的序号是 （注：把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（前面5个小题每小题10分，每6小题10分，共70分）17（10分）求经过直线2x+3y+1=0与x3y+4=0的交点，且与直线3x+4y7=0垂直的直线的方程18（12分）如图1是图2的三视图，三棱锥BACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点（1）求证：BC平面DEF；（2）求三棱锥ADEF的体积19（12分）如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，BAD=60（1）证明：BD平面ADD1A1；（2）证明：CC1平面A1BD20（12分）在圆锥PO中，已知PO=2，O的直径AB=4，点C在底面圆周上，且CAB=30，D为AC的中点（1）证明：AC平面POD；（2）求点O到面PAD的距离21（12分）已知是一几何体的直观图和三视图如图（1）若F为PD的中点，求证：AF面PCD；（2）求此几何体BECAPD的体积22（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD=2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点（）证明：EF平面PAB；（）在线段AD上是否存在一点O，使得BO平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO平面PAC；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（xx秋碑林区期末）如图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（）ABCD【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据面动成体的原理即可解，一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥一个直角梯形绕着直角边旋转一周得到圆台【解答】解：该几体的上部分是圆锥，下部分是圆台，圆锥的轴截面是直角三角形，圆台的轴截面是直角梯形，这个几何图形是由直角三角形和直角梯形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到故选A【点评】本题主要考查空间感知能力，难度不大，学生应注意培养空间想象能力2（xx石家庄一模）已知直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：（3a）xy+a=0，若l1l2，则实数a的值（）A1B2C6D1或2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】计算题【分析】求出两条直线的斜率，利用两条直线的垂直关系，求出a的值【解答】解：直线l1：ax+2y+1=0，与直线l2：（3a）xy+a=0，k1= k2=3a因为两条直线的斜率都存在，且l1l2，k1k2=1，即（3a）（）=1，解得a=1或a=2故选：D【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，斜率之积等于13（xx涟源市校级模拟）已知A（1，a）、B（a，8）两点的直线与直线2xy+1=0平行，则a的值为（）A10B17C5D2【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【专题】计算题【分析】由题设条件知，两直线平行故两直线的斜率相等，由此方程求a的值即可【解答】解：由平行直线斜率相等得：，a=2故选D【点评】本题考查两直线平行的条件，由斜率相等建立方程求参数，属于直线中的基本题型4（xx池州二模）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）AB24CD【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】几何体为正方体挖去一个圆锥，根据三视图判断正方体的边长及挖去的圆锥的高和底面直径，求得母线长，根据几何体的表面积为正方体的表面积加圆锥的侧面积，再减去圆锥的底面面积，把数据代入公式计算【解答】解：由三视图知：几何体为正方体挖去一个圆锥，且正方体的边长为2，挖去的圆锥的高为2，底面直径为2，母线长为，几何体的表面积为正方体的表面积加圆锥的侧面积，再减去圆锥的底面面积，S=622+12=24+（1）故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键5（xx武鸣县校级模拟）有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A棱台B棱锥C棱柱D都不对【考点】由三视图还原实物图【分析】根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视图是四棱台 故选A【点评】本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化6（xx秋湘西州校级期末）ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是（）ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1DAC1BD1【考点】棱柱的结构特征【专题】空间位置关系与距离【分析】由题意画出图形，根据正方体的性质，结合线面平行、线面垂直的判断逐一核对四个选项得答案【解答】解：如图，由ABCDA1B1C1D1为正方体，可得BDB1D1，由线面平行的判定知，A正确；由线面垂直的判断可知BD面ACC1，由此可得AC1BD，B正确；由线面垂直的判定可得AC1B1D1，AC1B1C，则由线面垂直的判定定理可得AC1平面CB1D1，说明C正确；由ABCDA1B1C1D1为正方体，可得四边形ABC1D1为长方形，若AC1BD1，可得AB=BC1，矛盾，D错误故选：D【点评】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中的点线面的位置关系，考查了线面平行、线面垂直的判断和性质，是中档题7（xx安徽）过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是（）Ax2y1=0Bx2y+1=0C2x+y2=0Dx+2y1=0【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程【专题】计算题【分析】因为所求直线与直线x2y2=0平行，所以设平行直线系方程为x2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x2y+c=0，又经过（1，0），10+c=0故c=1，所求方程为x2y1=0；故选A【点评】本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活8（xx秋湖北期末）以A（1，3），B（5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A3xy8=0B3x+y+4=0C3xy+6=0D3x+y+2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】计算题【分析】求出AB的中点坐标，求出AB的中垂线的斜率，然后求出中垂线方程【解答】解：因为A（1，3），B（5，1），所以AB的中点坐标（2，2），直线AB的斜率为：=，所以AB的中垂线的斜率为：3，所以以A（1，3），B（5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y2=3（x+2），即3x+y+4=0故选B【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力9（xx春揭阳校级期末）过点（1，0）且与直线x2y2=0垂直的直线方程是（）Ax2y1=0Bx2y+1=0C2x+y2=0Dx+2y1=0【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】由两直线垂直的性质求出所求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程，化为一般式【解答】解：由于直线x2y2=0的斜率为，故所求直线的斜率等于2，故所求直线的方程为y0=2（x1），即2x+y2=0，故选：C【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题10（xx秋江北区校级期中）若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（）A内的所有直线都与直线a异面B内可能存在与a平行的直线C内的直线都与a相交D直线a与平面没有公共点【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：在A中，直线a有可能在内，故A错误；在B中，直线a与不平行，则直线a在内或与相交，当直线a在平面内时，在内存在与a平行的直线，故B正确；在C中，直线a有可能在内，所以内的直线与a相交或平行，故C正确；在D中，直线a有可能与相交，这时直线a与平面有一个公共点，故D错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养11（xx秋江北区校级期中）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A6B8C10D12【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；转化思想；数形结合法；立体几何【分析】由三视图还原原几何体，再由长方体体积减去三棱锥体积得答案【解答】解：由三视图得原几何体如图，则几何体的体积为故选：C【点评】本题考查由三视图求原几何体的体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题12（xx秋江北区校级期中）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥DABC的体积为（）Aa3Ba3Ca3Da3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】如图所示，设对角线ACBD=O，由OB2+OD2=BD2，可得OBODOD平面ACB，利用三棱锥DABC的体积V=，即可得出【解答】解：如图所示，设对角线ACBD=O，OB=OD=aOB2+OD2=2=a2=BD2，OBOD又ODAC，ACOB=O，OD平面ACB，三棱锥DABC的体积V=故选：B【点评】本题考查了正方形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13（xx徐州三模）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为6【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】空间位置关系与距离【分析】根据已知求出圆柱的母线长，代入圆柱表面积公式S=2r（r+l）可得答案【解答】解：圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，故圆柱的母线l=2，故圆柱的表面积S=2r（r+l）=6，故答案为：6【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆柱的表面积，熟练掌握圆柱的表面积公式，是解答的关键14（xx闵行区二模）用一平面去截球所得截面的面积为3cm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的体积是cm3【考点】球的体积和表面积【专题】球【分析】求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为1 cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为3 cm2，小圆的半径为：cm；已知球心到该截面的距离为1 cm，球的半径为：=2，球的体积为：=（cm3）故答案为：【点评】本题是基础题，考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，满足勾股定理，考查计算能力15（xx秋江北区校级期中）考察下列命题，在“_”处缺少一个条件，补上这个条件使其构成正确命题（其中l，m为直线，为平面），则此条件为1l【考点】直线与平面平行的判定【专题】计算题；对应思想；定义法；空间位置关系与距离【分析】根据线面平行的判定定理，我们知道要判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行，即可得到答案【解答】解：对照已有条件，根据线面平行的判定定理可知缺少条件“1”故答案为：1【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握直线与平面平行判断的方法及必要的条件是解答本题的关键16（xx秋越城区校级期末）如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，点MAB1，NBC1，且AM=BN，有以下四个结论：AA1MN，A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线其中正确结论的序号是 （注：把你认为正确命题的序号都填上）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】过M作MOAB，交BB1于O，连接ON，利用线段等比例定理证明ONB1C1，根据线面垂直的判定定理证明BB1平面OMN，又MN平面OMN，可得AA1MN，从而判断正确；利用面面平行的判定定理可证平面A1B1C1D1平面OMN，从而得MN平面A1B1C1D1，从而判断正确；根据M、N分别是AB1，BC1的中点时，可证MNA1C1，当M不是AB1的中点时，MN与A1C1异面，从而判断错误【解答】解：过M作MOAB，交BB1于O，连接ON，AM=BN=，ONB1C1，BB1OM，BB1ON，OMON=O，BB1平面OMN，MN平面OMN，BB1MN，AA1BB1，AA1MN，正确；当M、N分别是AB1，BC1的中点时，取A1B1，B1C1的中点E，F，连接ME、NF，MEAA1，NFAA1，且ME=NF=AA1，四边形MNEF为平行四边形，MNEF，又EFA1C1，MNA1C1，当M不是AB1的中点时，MN与A1C1异面，错误；OM平面A1B1C1D1；ON平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1平面OMN，MN平面OMN，MN平面A1B1C1D1；正确故答案是【点评】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定及面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力，熟练掌握线面平行，垂直的判定定理及面面平行的性质定理是解答本题的关键三、解答题（前面5个小题每小题10分，每6小题10分，共70分）17（10分）（xx秋江北区校级期中）求经过直线2x+3y+1=0与x3y+4=0的交点，且与直线3x+4y7=0垂直的直线的方程【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】联立，解得x=，y=，设与直线3x+4y7=0垂直的直线的方程4x3y+c=0把（，）代入，能求出结果【解答】解：联立，解得x=，y=，设与直线3x+4y7=0垂直的直线的方程4x3y+c=0把（，）代入，得c=9所求直线为4x3y+9=0【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用18（12分）（xx秋江北区校级期中）如图1是图2的三视图，三棱锥BACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点（1）求证：BC平面DEF；（2）求三棱锥ADEF的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）根据E，F分别是AB，AC的中点得到EFBC，应用判定定理即得证（2）由图1得CDAB，BDAD，BDCD，得到BD平面ACD取AD的中点G，连接EG，求得，进一步计算体积【解答】证明：（1）E，F分别是AB，AC的中点，EFBC，BC平面DEF，EF平面DEF，BC平面DEF（4分）解：（2）如图1得CDAB，BDAD，BDCD，又CDAD=D，BD平面ACD（8分）取AD的中点G，连接EG，E是AB的中点，EG平面ACD，（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（12分）（xx湛江二模）如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，BAD=60（1）证明：BD平面ADD1A1；（2）证明：CC1平面A1BD【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用余弦定理和已知条件求得BD和AD的关系，进而求得AD2+BD2=AB2，推断出ADBD，依据DD1平面ABCD，可知DD1BD，进而根据线面垂直的判定定理证明出BD平面ADD1A1（2）连接AC，A1C1，设ACBD=E，连接EA1，根据四边形ABCD是平行四边形，推断出EC=AC，由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1EC，且A1C1=EC，进而推断出四边形A1ECC1是平行四边形，因此CC1EA1，最后利用线面平行的判定定理推断出CC1平面A1BD【解答】（1）证明：AB=2AD，BAD=60，在ABD中，由余弦定理得 BD2=AD2+AB22ADABcos60=3AD2，AD2+BD2=AB2，ADBD，DD1平面ABCD，且BD平面ABCDDD1BD，又ADDD1=D，BD平面ADD1A1（2）证明：连接AC，A1C1，设ACBD=E，连接EA1，四边形ABCD是平行四边形，EC=AC，由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1EC，且A1C1=EC，四边形A1ECC1是平行四边形，因此CC1EA1，又EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定考查了学生对立体几何基础知识的掌握20（12分）（xx秋濠江区校级期末）在圆锥PO中，已知PO=2，O的直径AB=4，点C在底面圆周上，且CAB=30，D为AC的中点（1）证明：AC平面POD；（2）求点O到面PAD的距离【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）先证ACBC，ACOD，再由线面垂直的判定定理证明AC面POD；（2）作OHPD，垂足为H，可证 OH面PAC，利用等面积法可求OH【解答】（1）证明：PO面ABC，且AC面ABCACPO，由于AB是直径，且点C在圆周上，ACBC，点O，D分别，AC的中点ODBCACOD，又POOD=OAC面POD；（2）由（1）知AC面POD，又有AC面PAC，面PAC面POD，面PAC面POD=PD作OHPD，垂足为H，则有 OH面PAC从而OH面PAD，在RtPOD中，PD=3，【点评】本题考查了线面垂直的证明，考查了点面距离的求法，考查了学生的空间想象能力21（12分）（xx秋江北区校级期中）已知是一几何体的直观图和三视图如图（1）若F为PD的中点，求证：AF面PCD；（2）求此几何体BECAPD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离【分析】（1）证明PDAF，CDDA，CDPA，即可证明CD面ADP，推出CDAF证明AF面PCD （2）几何体的体积转化为两个三棱锥的体积，求解即可【解答】解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA面ABCD，PA=AD，F为PD的中点，PDAF，又CDDA，CDPA，PADA=A，CD面ADP，CDAF又CDDP=D，AF面PCD （2）易知PA面ABCD，CB面ABEP，故此几何体的体积为=【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力22（12分）（xx辽宁模拟）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD=2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点（）证明：EF平面PAB；（）在线段AD上是否存在一点O，使得BO平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO平面PAC；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】证明题【分析】（I）根据平行线的传递性，得到EFAB，再结合线面平行的判定定理，可得EF平面PAB（II）在线段AD上存在靠A点较近的一个四等分点O，使得BO平面PAC先在长方形ABCD中，证出ABOADC，利用角互余的关系，得到ACBO，再利用线面垂直的判定定理，可证出PABO，结合PA、AC是平面PAC内的相交直线，最终得到BO平面PAC【解答】证明：（）四边形ABCD为长方形，CDAB，EFCD，EFAB，又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB （6分）（） 在线段AD上存在一点O，使得BO平面PAC，此时点O为线段AD的四等分点，满足，（8分）长方形ABCD中，BAO=ADC=90，=ABOADC，ABO+CAB=DAC+CAB=90，ACBO，（10分）又PA底面ABCD，BO底面ABCD，PABO，PAAC=A，PA、AC平面PACBO平面PAC（12分）【点评】本题以底面为长方形、一条侧棱垂直于底的四棱锥为载体，通过证明线线垂直和线面平行，着重考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题