2022年高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 含解析(I)

2022年高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 含解析(I)一、选择题：1设全集U=R，集合A=x|x22x0，B=x|y=log2（x21），则（UA）B=（）A1，2）B（1，2）C（1，2D（，1）0，22在复平面上，复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设函数（e为自然底数），则使f（x）1成立的一个充分不必要条件是（）A0x1B0x4C0x3D3x44下列命题中是假命题的是（）AmR，使是幂函数B，R，使cos（+）=cos+cosCR，函数f（x）=sin（x+）都不是偶函数Da0，函数f（x）=ln2x+lnxa有零点5设变量x，y满足：，则z=|x3y|的最大值为（）A3B8CD6在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A（4，10B（2，+）C（2，4D（4，+）7函数 f（x）=（x22x）ex的图象大致是（）ABCD8已知函数f（x）=，若x1，x2R，x1x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2C2a2Da2或a2二、填空题：9若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是10已知函数f（x）=若f（2a2）f（a），则实数a的取值范围为11在直角ABC中，C=90，A=30，BC=1，D为斜边AB的中点，则 =12如图，PB为ABC外接圆O的切线，BD平分PBC，交圆O于D，C，D，P共线若ABBD，PCPB，PD=1，则圆O的半径是13（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为14已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（tR）有四个实数根，则t的取值范围三、解答题：15已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值16在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手（） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望17如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2将AED和BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥MCDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点（1）求证：GH平面DEM；（2）求证：EMCN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小18已知首项为，公比不等于1的等比数列an的前n项和为Sn，且S3、S2、S4成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=n|an|，数列bn的前n项和为Tn，求Tn19在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（ I）求椭圆C的方程（）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围20已知f（x）=xlnx+mx，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为1（1）求实数m的值；（2）设g（x）=f（x）x2x+a（aR）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，且x1x2，已知0，若不等式e1+x1x2恒成立，求的范围参考答案与试题解析一、选择题：1设全集U=R，集合A=x|x22x0，B=x|y=log2（x21），则（UA）B=（）A1，2）B（1，2）C（1，2D（，1）0，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求解一元二次不等式化简A，求函数的定义域化简B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案【解答】解：A=x|x22x0=x|x0或x2，UA=x|0x2，由x210，得x1或x1B=x|y=log2（x21）=x|x1或x1，则（UA）B=x|0x2=x|x1或x1=（1，2）故选：B2在复平面上，复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】求解得到对应点的坐标即可判断选项【解答】解：复数=+复数的对应点的坐标（，）在第一象限故选：A3设函数（e为自然底数），则使f（x）1成立的一个充分不必要条件是（）A0x1B0x4C0x3D3x4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由f（x）1，可得x23x0，解得x范围，即可判断出结论【解答】解：由f（x）1，可得x23x0，解得0x3，可得：0x1是使f（x）1成立的一个充分不必要条件故选：A4下列命题中是假命题的是（）AmR，使是幂函数B，R，使cos（+）=cos+cosCR，函数f（x）=sin（x+）都不是偶函数Da0，函数f（x）=ln2x+lnxa有零点【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据幂函数的定义进行求解即可B利用特殊值法进行判断C利用特殊值法进行判断D利用函数与方程的关系将函数进行转化，结合一元二次函数的性质进行判断【解答】解：A函数f（x）是幂函数，则m1=1，则m=2，此时函数f（x）=x1为幂函数，故A正确，B当=，=时，cos（+）=cos（）=cos=，而cos+cos=cos+cos（）=，即此时cos（+）=cos+cos成立，故B正确，C当=，kZ时，f（x）=sin（x+）=cosx是偶函数，故C错误，D由f（x）=ln2x+lnxa=0得ln2x+lnx=a，设y=ln2x+lnx，则y=（lnx+）2，当a0时，ln2x+lnx=a一定有解，即a0，函数f（x）=ln2x+lnxa有零点，故D正确故选：C5设变量x，y满足：，则z=|x3y|的最大值为（）A3B8CD【考点】简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域，m=表示了区域内的点到直线x3y=0的距离；而m取得最大值时z也取得最大值；从而求解【解答】解：由题意作出其平面区域，m=表示了区域内的点到直线x3y=0的距离；而m取得最大值时z也取得最大值；当取点A（2，2）时，m取得最大值；故z=|x3y|的最大值为|232|=8；故选B6在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A（4，10B（2，+）C（2，4D（4，+）【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a26，i=3，满足退出循环的条件；故9a882，且27a2682，解得：a（4，10，故选：A7函数 f（x）=（x22x）ex的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象【解答】解：由f（x）=0，解得x22x=0，即x=0或x=2，函数f（x）有两个零点，A，C不正确f（x）=（x22）ex，由f（x）=（x22）ex0，解得x或x由f（x）=（x22）ex0，解得，x即x=是函数的一个极大值点，D不成立，排除D故选：B8已知函数f（x）=，若x1，x2R，x1x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2C2a2Da2或a2【考点】特称命题【分析】若x1，x2R，x1x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a0两种情况分布求解即可【解答】解：若x1，x2R，x1x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调当a=0时，f（x）=，其图象如图所示，满足题意当a0时，函数y=x2+ax的对称轴x=0，其图象如图所示，满足题意当a0时，函数y=x2+ax的对称轴x=0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=a2综上可得，a2故选A二、填空题：9若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是2【考点】微积分基本定理【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解： =（x2+lnx） =a2+lna（1+ln1）=3+ln2，a1，a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；10已知函数f（x）=若f（2a2）f（a），则实数a的取值范围为（2，1）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可【解答】解：函数f（x），当x0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在0，+）上是增函数，当x0时，f（x）=4xx2，由二次函数的性质知，它在（，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x） 是定义在R 上的增函数f（2a2）f（a），2a2a解得2a1实数a 的取值范围是（2，1）故答案为：（2，1）11在直角ABC中，C=90，A=30，BC=1，D为斜边AB的中点，则 =1【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据含有30角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果【解答】解：C=90，A=30，BC=1，AB=2D为斜边AB的中点，CD=AB=1，CDA=1803030=120=21cos120=1，故答案为：112如图，PB为ABC外接圆O的切线，BD平分PBC，交圆O于D，C，D，P共线若ABBD，PCPB，PD=1，则圆O的半径是2【考点】与圆有关的比例线段【分析】连结AD，由PB为圆O的切线，得PBD=BCP=BAD，结合BD为PBC的平分线，可得PDB=2PBD=60，在RtBPD中，由PD=1，得BD=2，由RtABD与RtBPD的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径【解答】解：如右图所示，连结AD，PB为圆O的切线，PBD=BCD=BAD，BD为PBC的平分线，PBD=CBD，PDB=CBD+BCD=PBD+PBD=2PBD，又PCPB，PBD=BCD=CBD=BAD=30，PDB=60由PD=1，得BD=2PD=2在ABD中，ABBD，AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，圆O的半径为2故答案为：213（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】先将曲线的极坐标方程方程化为普通方程，曲线C1的普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y1）2=1表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆曲线C2的普通方程为x+y+1=0，表示一条直线利用直线和圆的位置关系求解【解答】解：曲线C1的极坐标方程分别为即=2sin，两边同乘以，得2=2sin，化为普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y1）2=1表示以C（0，1）为圆心，半径为1 的圆C2的极坐标方程分别为，即sin+cos+1=0，化为普通方程为x+y+1=0，表示一条直线如图，圆心到直线距离d=|CQ|=曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为|PQ|=d+r=故答案为：，14已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（tR）有四个实数根，则t的取值范围【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数f（x）=|xex|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+）上为增函数，在（，1）上为增函数，在（1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（，0）上，当x=1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（tR）有四个实数根，f（x）的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围【解答】解：f（x）=|xex|=当x0时，f（x）=ex+xex0恒成立，所以f（x）在0，+）上为增函数；当x0时，f（x）=exxex=ex（x+1），由f（x）=0，得x=1，当x（，1）时，f（x）=ex（x+1）0，f（x）为增函数，当x（1，0）时，f（x）=ex（x+1）0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xex|在（，0）上有一个极大值为f（1）=（1）e1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（tR）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=10，则只需g（）0，即，解得：t所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（tR）有四个实数根的t的取值范围是故答案为三、解答题：15已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，从而可求得f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数f（x）的最小正周期T=（2）函数f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又f（）=1，f（）=，f（）=1，函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为116在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手（） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望【解答】解：（）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1=，P（A）=，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1）（1）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1）2+（1）（1）+（1）（1）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，P（X=2）=（1）+（1）+（1）=，当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，P（X=3）=（）2=，X的分布列如下：X0123P数学期望EX=0+1+2+3=17如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2将AED和BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥MCDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点（1）求证：GH平面DEM；（2）求证：EMCN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GHEN，于是GH平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EMCN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos|，从而得出所求线面角的大小【解答】证明：（1）连结NG，EN，N，G分别是MD，MC的中点，NGCD，NG=CDH是EF的中点，EFCD，EF=CD，EHCD，EH=CD，NGEH，NG=EH，四边形ENGH是平行四边形，GHEN，又GH平面DEM，EN平面DEM，GH平面DEM（2）ME=EF=MF，MEF是等边三角形，MHEF，取CD的中点P，连结PH，则PHDE，DEME，DEEF，MEEF=E，DE平面MEF，PH平面MEF以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，1）=（，1，0），=（，1）=+1+01=0EMNC（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，1），=（，1），=（0，0，2），=（，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即令y=1得=（，1，0），cos=直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，直线GH与平面NFC所成角为18已知首项为，公比不等于1的等比数列an的前n项和为Sn，且S3、S2、S4成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=n|an|，数列bn的前n项和为Tn，求Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）易知2S2=S3+S4，从而可得2a3+a4=0，从而可得an是以为首项，2为公比的等比数列；从而求得；（2）化简bn=n|an|=n2n2，从而利用错位相减法求其和【解答】解：（1）S3、S2、S4成等差数列，2S2=S3+S4，2a3+a4=0，=2，又首项为，故an是以为首项，2为公比的等比数列，故an=（2）n1=（2）n2；（2）bn=n|an|=n2n2，Tn=1+21+32+n2n2，2Tn=11+22+34+n2n1，故Tn=1242n2+n2n1=n2n1=（n1）2n1+19在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（ I）求椭圆C的方程（）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（）分类讨论当斜率不存在时，设x=r，代入椭圆方程求得A、B点坐标，以AB为直径的圆恒过原点，利用向量数量积的坐标，求得r2，求得丨AB丨；当斜率不存在时，设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及向量垂直，求得圆的方程，进而表达出丨AB丨，综上即可求得丨AB丨的取值范围【解答】解：（）椭圆方程+=1（ab0），a2=b2+c2，a2=2c2，a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又弦长为，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，椭圆方程为（）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=r），代入椭圆方程得：y=A（r，），B（r，），以AB为直径的圆恒过原点，r2=0，r2=，圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，l与圆O相切=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，=8k2+4m20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程的两个解，由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，以AB为直径的圆恒过原点，x1x2+y1y2=0，+=0，3m288k2=0，3m2=8（1+k2），又m2=（1+k2）r2，3（1+k2）r2=8（1+k2），r2=，此时m2=（1+k2），代入式后成立，圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=，=，=，=，=，=，=；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k0，则|AB|=（，2，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是，220已知f（x）=xlnx+mx，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为1（1）求实数m的值；（2）设g（x）=f（x）x2x+a（aR）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，且x1x2，已知0，若不等式e1+x1x2恒成立，求的范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f（1），由f（1）=1求得m值；（2）求出g（x），求其导函数，可得lnx1=ax1，lnx2=ax2，不等式e1+x1x2恒成立，转化为恒成立，进一步转化为恒成立令，t（0，1），则不等式在t（0，1）上恒成立令，求导可得满足条件的的范围【解答】解：（1）f（x）=1+lnx+m，由题意知，f（1）=1，即：m+1=1，解得 m=0；（2）e1+x1x2 等价于1+lnx1+lnx2g（x）=f（x）x2x+a=xlnxx2x+a，由题意可知x1，x2 分别是方程g（x）=0，即：lnxax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2原式等价于1+ax1+ax2=a（x1+x2），0，0x1x2，原式等价于又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，即原式等价于，0x1x2，原式恒成立，即恒成立令，t（0，1），则不等式在t（0，1）上恒成立令，又h（t）=，当21时，可得t（0，1）时，h（t）0，h（t）在t（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）0在t（0，1）恒成立，符合题意当21时，可得t（0，2）时，h（t）0，t（2，1）时，h（t）0，h（t）在t（0，2）时单调增，在t（2，1）时单调减，又h（1）=0，h（t）在t（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式e1+x1x2 恒成立，只须21，又0，1xx11月7日