初中数学竞赛专项训练--找规律题

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. . 观察归纳猜想找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形,要求找出其中的变化规律,从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化;具体方法和步骤是:(1)通过对几个特例的分析,寻找规律并且归纳;(2)猜想符合规律的一般性结论;(3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.一、数字类基本技巧(一)标出序列号:例如,观察以下各式数:0,3,8,15,24,。我们把有关的量放在一起加以比较:给出的数:0,3,8,15,24,。序列号: 1,2,3, 4, 5,。容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n项是-1(二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n、3n有关。例如:1,9,25,49,(81),(121),的第n项为(),1,2,3,4,5。,从中可以看出n=2时,正好是22-1的平方,n=3时,正好是23-1的平方,以此类推。 (三)增副A: 2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18答案与3有关且是n的3次幂,即:n+1B:2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案与2的乘方有关即:(四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。例:2、5、10、17、26,同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24,序列号:1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时,得1*1-1得0,当n=2时,2*2-1得3,3*3-1=8,以此类推,得到第n个数为。再看原数列是同时减2得到的新数列,则在的基础上加2,得到原数列第n项(五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。例 : 4,16,36,64,?,144,196, ?(第一百个数)同除以4后可得新数列:1、4、9、16,很显然是位置数的平方,得到新数列第n项即n,原数列是同除以4得到的新数列,所以求出新数列n的公式后再乘以4即,4 n,则求出第一百个数为4*100=40000(一)等差数列例题:2,5,8,( )。例题5: 12,15,18,( ),24,27。A.20 B.21 C.22 D.23(二)等比数列例题1: 2,1,1/2,( )。A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1例题2: 2,8,32,128,( )。(三)平方数列1、完全平方数列:正序:1,4,9,16,25逆序:100,81,64,49,362、一个数的平方是第二个数。1)直接得出:2,4,16,( 256 )解析:前一个数的平方等于第二个数,答案为256。2)一个数的平方加减一个数等于第二个数:1,2,5,26,(677) 前一个数的平方加1等于第二个数,答案为677。3、隐含完全平方数列:1)通过加减一个常数归成完全平方数列:0,3,8,15,24,( 35 )前一个数加1分别得到1,4,9,16,25,分别为1,2,3,4,5的平方,答案352)相隔加减,得到一个平方数列:例:65,35,17,( 3 ),1A.15 B.13 C.9 D.3解析:不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是:65等于8的平方加1,35等于6的平方减1,17等于4的平方加1,再观察时发现:奇位置数时都是加1,偶位置数时都是减1,所以下一个数应该是2的平方减1等于3,答案是D。*(四)立方数列立方数列与平方数列类似。例题1: 1,8,27,64,( 125 )解析:数列中前四项为1,2,3,4的立方,显然答案为5的立方,为125。例题2:0,7,26,63 ,( 124 )解析:前四项分别为1,2,3,4的立方减1,答案为5的立方减1,为124。(五)、加法数列数列中前两个数的和等于后面第三个数:n1+n2=n3例题1: 1,1,2,3,5,( 8 )。A8 B7 C9 D10解析:第一项与第二项之和等于第三项,第二项与第三项之和等于第四项,第三项与第四项之和等于第五项,按此规律3 +5=8答案为A。例题2: 4,5,( 9 ),14,23,37A 6 B 7 C 8 D 9解析:与例一相同答案为D例题3: 22,35,56,90,( 145 ) 99年考题A 162 B 156 C 148 D 145解析:22 +35-1=56, 35+ 56-1=90 ,56+ 90-1=145,答案为D(六)、减法数列前两个数的差等于后面第三个数:n1-n2=n3例题1:6,3,3,( 0 ),3,-3A 0B 1 C 2 D 3解析:6-3=3,3-3=0 ,3-0=3 ,0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了:“空缺项在中间,从两边找规律”)(七)、乘法数列1、前两个数的乘积等于第三个数例题1:1,2,2,4,8,32,( 256 )前两个数的乘积等于第三个数,答案是256。例题2:2,12,36,80,() (2007年考题)A.100 B.125 C.150 D.175解析:21, 34 ,49,516 自然下一项应该为625150 选C,此题还可以变形为:,.,以此类推,得出2、两数相乘的积呈现规律:等差,等比,平方等数列。例题2:3/2, 2/3, 3/4,1/3,3/8 ( A ) (99年海关考题)A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9解析:3/22/3=1 2/33/4=1/2 3/41/3=1/4 1/33/8=1/8 3/8?=1/16 答案是 A。(八)、除法数列与乘法数列相类似,一般也分为如下两种形式:1、两数相除等于第三数。2、两数相除的商呈现规律:顺序,等差,等比,平方等。(九)、质数数列由质数从小到大的排列:2,3,5,7,11,13,17,19(十)、循环数列几个数按一定的次序循环出现的数列。例:3,4,5,3,4,5,3,4,5,3,4以上数列只是一些常用的基本数列,考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的,下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。1、二级数列这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。例1:2 6 12 20 30 ( 42 )A.38B.42 C.48 D.56解析:后一个数与前个数的差分别为:4,6,8,10这显然是一个等差数列,因而要选的答案与30的差应该是12,所以答案应该是B。例2:20 22 25 30 37 ( ) A.39 B.45 C.48 D.51解析:后一个数与前一个数的差分别为:2,3,5,7这是一个质数数列,因而要选的答案与37的差应该是11,所以答案应该是C。例3:2 5 11 20 32 ( 47 )A.43 B.45 C.47 D.49解析:后一个数与前一个数的差分别为:3,6,9,12这显然是一个等差数列,因而要 选的答案与32的差应该是15,所以答案应该是C。例4:4 5 7 1l19 ( 35 ) A.27 B.31 C.35 D.41解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,2,4,8这是一个等比数列,因而要 选的答案与19的差应该是16,所以答案应该是C。例5:3 4 7 16 ( 43 ) A.23 B.27 C.39 D.43解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,3,9这显然也是一个等比数列,因而要选的答案与16的差应该是27,所以答案应该是D。例6:32 27 23 20 18( 17 ) A.14 B.15 C.16 D.17解析:后一个数与前一个数的差分别为:-5,-4,-3,-2这显然是一个等差数列,因而要 选的答案与18的差应该是-1,所以答案应该是D。例7:1, 4, 8, 13, 16, 20, ( 25 )A.20 B.25 C.27 D.28解析:后一个数与前一个数的差分别为:3,4,5,3,4这是一个循环数列,因而要 选的答案与20的差应该是5,所以答案应该是B。例8:1, 3, 7, 15, 31, ( 63 )A.61B.62 C.63 D.64解析:后一个数与前一个数的差分别为:2,4,8,16这显然是一个等比数列,因而要 选的答案与31的差应该是32,所以答案应该是C。例9:( 69 ),36,19,10,5,2A.77 B.69 C.54 D.48解析:前一个数与后一个数的差分别为:3,5,9,17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数,后面的数应该是17*2-1=33,因而33+36=69答案应该是 B。例10:1,2,6,15,31,( 56 )A.53 B.56 C.62 D.87解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,4,9,16这显然是一个完全平方数列,因而要选的答案与31的差应该是25,所以答案应该是B。例11:1,3,18,216,( 5184 )A.1023 B.1892 C.243 D.5184解析:后一个数与前一个数的比值分别为:3,6,12这显然是一个等比数列,因而要选的答案与216的比值应该是24,所以答案应该是D:216*24=5184。例12: -2 1 7 16 ( 28 )43A.25 B.28 C.3lD.35解析:后一个数与前一个数的差值分别为:3,6,9这显然是一个等差数列,因而要选的答案与16的差值应该是12,所以答案应该是B。例13:13 6 10 15 ( )A.20 B.21 C.30 D.25解析:相邻两个数的和构成一个完全平方数列,即:1+3=4=22,6+10=16=42,则15+?=36=62呢,答案应该是B。例14:102,96,108,84,132,( 36 ) ,(228)解析:后项减前项分别得-6,12,-24,48,是一个等比数列,则48后面的数应为-96,132-96=36,再看-96后面应是96X2=192,192+36=228。二、设计类例1在数学活动中,小明为了求的值(结果用n表示),设计如图a所示的图形。(1)请你利用这个几何图形求的值为 。(2)请你利用图b,再设计一个能求的值的几何图形。三、动态类例3右图是一回形图,其回形通道的宽与OB的长均为1,回形线与射线OA交于点A1,A2,A3,。若从O点到A1点的回形线为第1圈(长为7),从A1点到A2点的回形线为第2圈,依此类推。则第10圈的长为 。例4已知甲运动方式为:先竖直向上运动1个单位长度后,再水平向右运动2个单位长度;乙运动方式为:先竖直向下运动2个单位长度后,再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系,现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1,第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2,第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3,第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,。依此运动规律,则经过第11次运动后,动点P所在位置P11的坐标是 。解析:例3我们从简单的情形出发,从中发现规律,第1圈的长为1+1+2+2+1,第2圈的长为2+3+4+4+2,第三圈的长为3+5+6+6+3,第四圈的长为4+7+8+8+4,归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+1079。例4(3,4)四、计算类例10观察以下等式: , 则第n个等式可以表示为 。解析:例10例11观察以下各式:,根据前面的规律,得: 。(其中n为正整数)解析:例11例12观察以下等式:观察以下等式:41=3,9-4=5,16-9=7,25-16=9,36-25=11,这些等式反映了自然数间的某种规律,设n(n1)表示了自然数,用关于n的等式表示这个规律为 。解析:例12(n1,n表示了自然数)五、 图形类例13在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数,请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点共有 个。解析:例13第一个正方形的整点数为24-44,第二个正方形的 正点数有3448,第三个正方形的整点数为44412个,故第10个正方形的整点数为114-440,例14“”代表甲种植物,“”代表乙种植物,为美化环境,采用如下图方案种植。按此规律,第六个图案中应种植乙种植物 株。例14第一个图案中以乙中植物有224个,第二个图案中以乙中植物有339个,第三个图案中以乙中植物有4416个,故第六个图案中以乙中植物有7749个.练 习一、数字排列规律题1、 观察以下各算式:1+3=4=221+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42按此规律(1) 试猜想:1+3+5+7+2005+2007的值?(2)推广:1+3+5+7+9+(2n-1)+(2n+1)的和是多少? 2、下面数列后两位应该填上什么数字呢?23581217_ 3、 请填出下面横线上的数字。112358_ 214、有一串数,它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、聪明的你猜猜第100个数是什么?5、有一串数字 3610 1521 _ 第6个是什么数?6、观察以下一组数的排列:1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、,那么第2005个数是( ).A1B2C3D47、100个数排成一行,其中任意三个相邻数中,中间一个数都等于它前后两个数的和,如果这100个数的前两个数依次为1,0,那么这100个数中“0”的个数为 _个二、几何图形变化规律题1、观察以下球的排列规律(其中是实心球,是空心球): 从第1个球起到第2004个球止,共有实心球个2、观察以下图形排列规律(其中是三角形,是正方形,是圆),若第一个图形是正方形,则第2008个图形是(填图形名称).三、数、式计算规律题1、已知以下等式: 1312; 132332; 13233362; 13233343102 ;由此规律知,第个等式是 2、观察下面的几个算式: 1+2+1=4, 1+2+3+2+1=9, 1+2+3+4+3+2+1=16, 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25,根据你所发现的规律,请你直接写出下面式子的结果: 1+2+3+99+100+99+3+2+1=_.3、1+2+3+100?经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+,其中是正整数.现在我们来研究一个类似的问题:12+23+ ?观察下面三个特殊的等式将这三个等式的两边相加,可以得到12+23+34读完这段材料,请你思考后回答:4、参考答案:一、1、(1)10042(2)(n+1)2 2、2330。数列中每两个相邻数字间的差分别是1,2,3,4,5,6,7。3、13。这一数列后面一个数是前面相邻两个数的和。4、34 。考虑时,可以从第一个数开始,每3个数加一个括号(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),一共加了33个括号,剩下的一个必是第100个。每个括号的第一个数分别是1,2,3,因此第100个数必然是34。5、28。3+3=6 6+4=10 10+5=15 15+6=21 21+7=28, 所以第6个是28。其实一般这类的规律题无非就是在数的基础上加减乘除,有些麻烦点的就是一个数乘上倍数后在加1或减1。6、A 7、33 二、 1、602 2、圆 三、1、 2、10000 3、 343400 或4、109.9 / 9
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