2022年高三数学第一次诊断考试试题 文（含解析）

2022年高三数学第一次诊断考试试题 文（含解析）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题本题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的【题文】1如果复数为虚数单位,b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b=A. B. C. D.2【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】C【解析】复数=2-2b+（-4-b）i，它的实部和虚部互为相反数，2-2b+（-4-b）=0，b=。【思路点拨】化简复数为2-2b+（-4-b）i，由题意可得 2-2b+（-4-b）=0，解得 b的值【题文】2下列命题中，真命题是A.若x,y,且x+y2,则x,y至少有一个大于1B. ，Ca+b=0的充要条件是D. 【知识点】命题及其关系A2【答案】A【解析】A，假设x，y都小于1，则x1，y1，所以x+y2与x+y2矛盾，所以假设不成立，所以A正确 B当x=-1时，2-1= (-1)2=1，所以B错误C若a=b=0时，满足a+b=0，但=-1，不成立，所以C错误D根据指数函数的性质可知ex0恒成立，所以D错误【思路点拨】利用全称命题和特称命题的定义判断B，D利用充要条件和必要条件的定义判断C利用反证法证明A【题文】3如图，若N=5时，则输出的数等于A. B. C. D. 【知识点】算法与程序框图L1【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程，如下；输入N=5，k=1，S=0，S=0+= ；kN，是，k=2，S= +；kN，是，k=3，S=+；kN，是，k=4，S=+；kN，是，k=5，S=+，kN，否，输出S=+=（1- ）+（-）+（-）+（- ）+（- ）= 【思路点拨】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的结果是什么【题文】4在等差数列中，若则的值为A20B22C24D28【知识点】等差数列D2【答案】C【解析】an为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120a1+7d=242a10-a12=2a1+18-a1-11d=a1+7d=24【思路点拨】有已知an为等差数列，设首项为a1和公差为d，则已知等式就为a1与d的关系等式，所求式子也可用a1和d来表示【题文】5要得到函数y=sin(-2x)的图象，可以将函数y=sin(2x-)的图象A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位【知识点】函数的图象与性质C4【答案】B【解析】由y=sin(-2x)=sin2x, y=sin(2x-)向左平移个单位为y=sin2(x-+)=sin2x【思路点拨】根据三角函数平移的性质求出结果。【题文】6某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为A. B. C. D. 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】D【解析】由题设可得其直观图如图，由三视图知，PA，PB，PC两两垂直PA=1，BC= ，AB=b，AC=a如图有PC=，PB=在直角三角形BPC中有PC2+PB2=BC2=6，即a2-1+b2-1=6，即a2+b2=8可设a=2cos，b=2sin，（0，2）则a+b=2 cos+2sin=4sin（+）4，最大值当=时取到此时a=b=2，验证知符合题意由此知PC=，PB=故底面三角形APB的面积为，棱锥的体积为=【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，底面一边长为1的直角三角形，一条棱长为，由于本题中含有两个参数，且需求满足两者和最大时的体积，故本题第一步是找到关于a，b的表达式，先求其和最大时两参数的值，再由体积公式求体积，观察发现，可以先用参数a，b表示出PC，PB的值，在直角三角形BPC中用勾股定理建立关于a，b的方程，研究此方程求出满足条件的参数的值再求体积即可【题文】7在中，(cos ,sin ), (2cos ,2cos)则面积为A. B. C. D. 【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案】B【解析】|AB|= =1, |BC|= =2, cosABC= =2sin45/2=ABC=45， 面积为。【思路点拨】先求出向量的模，再根据面积公式求出。【题文】8设f(x)= ,若f（x）f(0)则a的取值范围为A.-1,2 B.-1,0 C.1,2 D.0,2【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】D【解析】当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，f（0）=a2，由题意得：a2x+a，解不等式：a2-a-20，得-1a2，0a2，【思路点拨】当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，解不等式：a2-a-20，得-1a2，问题解决【题文】9.从集合A=-1，1，2中随机选取一个数记为k，从集合中B=-2，1，2随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第二象限的概率为A. B. C. D. 【知识点】古典概型K2【答案】B【解析】题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件kA=-1，1，2，bB=-2，1，2得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（-1，-2）；（-1，1）；（-1，2）；（1，-2）；（1，1）；（1，2）；（2，-2）；（2，1）；（2，2）共9种结果而当时，直线不经过第二象限，符合条件的（k，b）有2种结果，直线不过第四象限的概率P=【思路点拨】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第二象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果【题文】10.已知函数f(x)=2f(),当时，f(x)=lnx,若在内，函数g(x)=f(x)-ax有三个零点，那么实数a的取值范围是A. B. C. D【知识点】导数的应用B12【答案】A【解析】在区间，3内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，a0若x1，3时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x0）g（x）=-a=，若g（x）0，可得x，g（x）为减函数，若g（x）0，可得x，g（x）为增函数，此时g（x）必须在1，3上有两个交点，解得a设 x1，可得13，f（x）=2f（ ）=2ln，此时g（x）=-2lnx-ax，g（x）=-，若g（x）0，可得x-0，g（x）为增函数若g（x）0，可得x-，g（x）为减函数，在，1上有一个交点，则 ，解得0a6ln3综上可得a；若a0，对于x1，3时，g（x）=lnx-ax0，没有零点，不满足在区间，3内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，a=0，显然只有一解，舍去.综上：a.【思路点拨】可以根据函数f（x）满足f（x）=2f( ），求出x在 ，1上的解析式，已知在区间，3内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围【题文】第II卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。【题文】11计算=【知识点】对数与对数函数B7【答案】-20【解析】=-20【思路点拨】根据对数的运算性质求结果。【题文】12已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点F，且双曲线的右顶点A到点F的距离为1，则p m = 。【知识点】双曲线及抛物线几何性质H7 H6【答案】1【解析】双曲线的右顶点A到点F的距离为1，c-4=1，c=5，m=9,抛物线y2=2px（p0）的焦点是双曲线的右焦点F，=5，p=10，p m =1.【思路点拨】利用双曲线的右顶点A到点F的距离为1，求出c，再利用抛物线y2=2px（p0）的焦点是双曲线的右焦点F，求出p,m的值【题文】13已知实数x,y满足，z=2x+y的最大值为 。【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】8【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，2），此时z=23+2=8，【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论【题文】14已知的周长是且sinA+sinB=sinC，则cosC= 【知识点】解三角形C8【答案】【解析】由ABC的周长为，可得AB+BC+AC=；根据sinA+sinB=sinC，利用正弦定理可得BC+AC=AB，两式相减，求得AB=1由ABC的面积为sinC，可得BCACsinC=sinC，可得BCAC=而BC+AC=，由余弦定理得cosC=【思路点拨】由条件求得AB=1，根据ABC的面积为sinC，求得BCAC=，再结合BC+AC=，利用余弦定理求得cosC的值.【题文】15a=2sinax在上是增函数a,函数f(x)=是定义在R上的奇函数，则下列命题中正确的是 （填出所有正确命题的序号）（1）(2) (3)D=(4)n=0,m(5)如果f(x)在D上没有最小值，那么m的取值范围是（，+ ）【知识点】函数的单调性与最值函数与方程B9 B3【答案】(3) (5)【解析】：M=a|函数y=2sinax在-,上是增函数，可得且a0，即，解得a，故M=a|aN=b|方程3-|x-1|-b+1=0有实数解，所以可得N=b|1b2D=MN=（1，f(x)= 是定义在R上的奇函数f（0）=0可得n=0f（x）=，又f(x)= 在D内没有最小值f（x）=，若m0，可得函数f（x）在D上是减函数，函数在右端点处取到最小值，不合题意若m0，令h（x）=x+，则f(x)= 在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究：由于h（x）=1-，令h（x）0，可解得x，令h（x）0，可解得x，由此知，函数h（x）在（0，）是减函数，在（，+）上是增函数，当时，即m时，函数h（x）在D上是减函数，不存在最大值，符合题意当1时，即m1时，函数h（x）在D上是增函数，存在最大值h（），不符合题意,当1时，即1m时，函数h（x）在（1，）是减函数，在（，）上是增函数，必有h（1）h（）成立，才能满足函数h（x）在D上没有最大值，即有1+m+，解得m.【思路点拨】先确定出集合MN的范围，求出集合D的范围再根据f(x)=在D内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间D的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为f（x）=，构造新函数h（x）=x+，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围三、解答题：本大题共6个小题，共75分。【题文】16已知向量（，），（），且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足= ，求数列的前n项和【知识点】数列求和D4【答案】（1）（2）【解析】（1）（，），（），若0与矛盾，所以即数列是首项为1，公比为2的等比数列所以（2）=n, =1-=【思路点拨】根据等比数列求出通项公式，利用裂项求和求出结果。【题文】17已知函数f(x)=2sinxcosx,过两点A（t，f（t）,B(t+1,f(t+1)的直线的斜率记为g(t).（1）求g(t)的解析式及其单增区间。（2）若g()=,且，求g（+1）的值。【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】（1）g(t)=cos(+)，单调递增区间6k-,6k-,k（2）【解析】（1）f(x)=2sinxcosx=sing(t)=f(t+1)+f(t)=sin(+)-sin=cos.- sin. =cos(+)单调递增区间6k-,6k-,k（2）g()=cos(+)=,则g(+1)=cos(+)+=cos(+)-sin(+)由，所以+，sin(+)=所以g(+1)=- =【思路点拨】化简求出解析式根据三角函数的单调性求出最值。【题文】18为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望。【知识点】离散型随机变量及其分布列K6【答案】（）y=0.004, x=0.030（）【解析】（）由题意可知，样本容量n=50，y=0.004，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030；（）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人， 分数在90，100内的学生有2人，共7人。抽取的3名学生中得分在80，90）的人数X的可能取值为1,2,3P(X=1)=, P(X=2)= =, P(X=3)=所以X的分布列X123P所以EX=1+2+3=【思路点拨】（）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人，分数在90，100内的学生有2人，列分布列求出结果。 【题文】19.已知二次函数f(x)=a+bx+c(c0)的导函数的图像如图所示（1）求a,b的值。（2）令g(x)=,求y=g(x)在上的最大值。【知识点】导数的应用B12【答案】（1）（2）g(x)max=【解析】（1）因为f（x）=2ax+b，由图可知，f（x）=2x+1，由，解得，（2）g（x）=x+1，则g（x）=1-=，若1，即0c1时，g（x）0，g（x）在1，2上递增，故g（x）max=g（2）=c+3；若12，即1c4，当1x时，g（x）0，此时g（x）单调递减；当x2时，g（x）0，此时g（x）单调递增；又g（1）=c+2，g（2）=c+3，所以当1c2时，g（1）g（2），即g（x）max=g（2）=c+3；当2x4时，g（1）g（2），即g（x）max=g（1）=c+2；若2，即c4时，g（x）0，g（x）在1，2上单调递减，故g（x）max=g（1）=c+2；综上所述，g(x)max=【思路点拨】（1）先求出f（x）=2ax+b，根据图象可得f（x）=2x+1，由此可得a，b的方程组；（2）由（1）先求出g（x），从而可得g（x）=，分 1，12，2三种情况进行讨论，根据导数符号与单调性的关系可得最大值；【题文】20已知数列满足， ,p为常数成等差数列。（1）求P的值及数列的通项公式；（2）设数列满足=，求数列的最大项。【知识点】单元综合D5【答案】（）an=3n+n（）【解析】（）解：因为a1=4，an+1=an+p3n+1，所以a2=a1+p31+1=3p+5；a3=a2+p32+1=12p+6因为a1，a2+6，a3成等差数列，所以2（a2+6）=a1+a3，即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2依题意，an+1=an+23n+1，所以当n2时，a2-a1=231+1，a3-a2=232+1，an-1-an-2=23n-2+1，an-an-1=23n-1+1相加得an-a1=2(3n-1+3n-2+32+3)+n-1，所以an-a1=2+(n-1)，所以an=3n+n当n=1时，a1=31+1=4成立，所以an=3n+n（）证明：因为an=3n+n，所以bn=因为bn+1-bn=-=，（nN*）若-2n2+2n+10，则n，即n2时，bn+1bn又因为b1=，b2=，所以bn【思路点拨】（）根据a1=4，an+1=an+p3n+1，可得数列的前3项，利用a1，a2+6，a3成等差数列，确定p的值，再利用叠加法，可求数列an的通项公式；（）确定以bn=，进而可知n2时bn+1bn，结合b1=，b2=，可证结论【题文】21已知函数f(x)=x-1-lnx （1）求曲线y=f(x)在点（2，f（2）处的切线方程； （2）求函数f(x)的极值。 （3）对,f(x) 恒成立，求实数b的取值范围；【知识点】导数的应用B12【答案】（）x-2y-2ln2=0（）极小值为f（1）=0（）b1-【解析】（）函数的定义域为（0，+），f(x)=1-，则f(2)= ，f（2）=1-ln2，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-(1-ln2)= (x-2)，即x-2y-2ln2=0；（）f(x)=1-，令f（x）0，得x1，列表：x（0，1）1（1，+）f（x）-0+f（x）0函数y=f（x）的极小值为f（1）=0；（）依题意对x（0，+），f（x）bx-2恒成立等价于x-1-lnxbx-2在（0，+）上恒成立,可得b1+-在（0，+）上恒成立，令g（x）=1+-，g(x)=令g（x）=0，得x=e2列表：x（0，e2）e2（e2，+）g（x）-0+g（x）1-函数y=g（x）的最小值为g(e2)=1-，根据题意，b1-【思路点拨】（）求出f（2），再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（）令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可（）由于f（x）bx-2恒成立，得到b1+-在（0，+）上恒成立，构造函数g（x）=1+-，bg（x）min即可