2022年高三数学不等式、方程中恒成立和有解问题

2022年高三数学不等式、方程中恒成立和有解问题一 填空1关于的不等式恒成立，则实数的取值范围 2已知函数和在的图象如下所示：给出下列四个命题： 方程有且仅有6个根 方程有且仅有3个根 方程有且仅有5个根 方程有且仅有4个根其中正确的命题是（将所有正确的命题序号填在横线上）. 3若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是 4函数在上恒有，则的取值范围是 5在三角形中，角、的对边的边长分别为、，已知：，若对任意的三角形，都有，则实数的取值范围是 6.已知关于的方程有一个负根，但没有正根，则实数的取值范围是 二解答题 1、（1）设，其中，如果当时有意义，求的取值范围。（2）设，其中，且2，如果当时有意义，求的取值范围。2、已知是定义在上的奇函数，且，若、，有；（1）、判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （2）、若对所有的、恒成立，求实数的取值范围。3、（1）若对于满足的所有恒成立，求实数的取值范围。（2）设，恒成立，求实数的取值范围。4若不等式在时恒成立，试求实数的取值范围。5已知定义域在上的减函数，使对 恒成立，求实数的取值范围。6、设函数，其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围7. 已知函数（）当时，求函数的单调区间；（）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？（）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数p的取值范围8设函数（），(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”设，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由参考答案一、1、解法（一）：令，则变为不等式在上恒成立， 则或，得：。 解法（二）：令，则变为不等式在上恒成立， 则在上恒成立， 则大于在上的最大值，得：。2、答案 3、4、依题意，恒成立恒成立， 则且。5、依题意， 由于对任意的三角形，都有，则：恒成立，则小于的最小值，大于的最大值，则。6、答案 a1二、1、解：1）、依题意，对恒成立， ； （2）、对恒成立， 对恒成立， 由于 则。（主要应用了函数的单调性）2、（1）、依题意，令，且、，则 ，则函数在上的单调增。 （2）、依题意，在上的最大值为1，则对恒成 立，对恒成立， 或或。3、（1）依题意，对恒成立， 。（2）、4、 5、。6、解：（）当时，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数（）解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须恒成立，即有解此不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是（）解：由条件可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当 即在上恒成立所以，因此满足条件的的取值范围是20.解：（）由（）由， 解得所以当 （）当使得 当 故只要，解得所以的取值范围是 解：（1）因为，所以，令得：，此时，2分则点到直线的距离为，即，解之得4分（2）解法一：不等式的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故，6分令，由且， 所以函数的一个零点在区间，则另一个零点一定在区间，8分故解之得10分解法二：恰有三个整数解，故，即，6分，所以，又因为，8分所以，解之得10分（3）设，则所以当时，；当时，因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点12分设与存在 “分界线”，方程为，即，由在恒成立，则在恒成立 所以成立，因此14分下面证明恒成立 设，则 所以当时，；当时，因此时取得最大值，则成立故所求“分界线”方程为：