高中物理 第三章 磁场 第6节 带电粒子在匀强磁场中的运动学案 新人教版选修3-1

6带电粒子在匀强磁场中的运动答案：(1）匀速直线(2）匀速圆周(3）(4）(5）金属盒(6）交变电源(7）qU(8）qvB(9）比荷(10）质量(11）磁感应强度(12）同位素1带电粒子在匀强磁场中的运动(1）带电粒子速度为零v00，f洛0，处于静止状态。(2）带电粒子的运动方向与磁场方向平行带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动。(3）带电粒子的运动方向与磁场方向垂直洛伦兹力使带电粒子做匀速圆周运动运动性质：洛伦兹力不改变速度大小，但是不停地改变速度方向，因此粒子在垂直于磁场方向的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力，如图所示。半径公式：粒子做匀速圆周运动所需的向心力是由粒子所受的洛伦兹力提供的，所以根据牛顿第二定律有qvBm，得r。周期公式：将半径r代入公式T中，得到周期公式T。谈重点 (1）在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，它的轨道半径跟粒子的运动速率成正比。(2）带电粒子在匀强磁场中的转动周期T与带电粒子的质量和电荷量有关，与磁场的磁感应强度有关，而与轨道半径和运动速率无关。(3）动能公式Ekmv2。(4）带电粒子的运动方向与磁场方向成角把带电粒子的速度分解为垂直于B的分量v1和平行于B的分量v2，因为v1和B垂直，受到洛伦兹力为qv1B，此力使粒子q在垂直于B的平面内做匀速圆周运动，v2和B平行，不受洛伦兹力，故粒子在沿B方向上做匀速曲线运动，可见粒子的运动是一等距螺旋运动。带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动形式有什么不同呢？带电粒子在匀强电场中可能做变速直线运动，也可能做变速曲线运动，但不可能做匀速直线运动；在匀强磁场中，带电粒子可以做匀速直线运动，也可以做变速曲线运动，但不可能做变速直线运动。【例1】一带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场。粒子的一段运动径迹如图所示，径迹上的每小段都可近似看成圆弧。由于带电粒子使沿途空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电荷量不变），从图示情况可以确定(）A粒子从a到b运动，带正电B粒子从a到b运动，带负电C粒子从b到a运动，带正电D粒子从b到a运动，带负电解析：垂直于磁场方向射入匀强磁场的带电粒子受洛伦兹力作用，使粒子做匀速圆周运动，半径r。由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量减小，磁感应强度B与带电荷量不变，又据Ekmv2知，v在减小，故r减小，可判定粒子从b向a运动；另据左手定则，可判定粒子带正电。答案：C2质谱仪(1）结构：质谱仪由静电加速电极、速度选择器、偏转磁场、显示屏等组成。(如图）(2）原理：粒子源及加速电场：使带电粒子获得速度v进入速度选择器，v。速度选择器：只有做匀速直线运动的粒子才能通过，即qEqvB1,所以v。偏转磁场及成像显示装置：粒子源产生的粒子在进入加速电场时的速度很小，可以认为等于零，则加速后有qUmv2，所以v。在偏转磁场中，有qvB2m，故轨道半径r所以粒子质量m。若粒子电荷量q也未知，通过质谱仪可求出该粒子的比荷。(3）质谱仪的应用质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的，他用质谱仪首先发现了氖20和氖22的质谱线，证实了同位素的存在。后来经过多次改进，质谱仪已经成了一种十分精密的测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。【例2】质谱仪原理如图所示，a为粒子加速器，电压为U1；b为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距离为d；c为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、电荷量为e的正电子(不计重力），经加速后，该粒子恰能竖直通过速度选择器，粒子进入分离器后做半径为R的匀速圆周运动。求：(1）粒子的速度v为多少？(2）速度选择器的电压U2为多少？(3）粒子在磁场B2中做匀速圆周运动的半径R为多大？解析：(1）在a中，电子被加速，由动能定理有eU1mv2，得v；(2）在b中，电子所受电场力和洛伦兹力的大小相等，即eevB1，代入v值得U2B1d；(3）在c中，电子受洛伦兹力作用而做圆周运动，旋转半径R，代入v值得R。答案：(1）(2）B1d(3）3回旋加速器(1）直线加速器(多级加速器）如图所示，电荷量为q的粒子经过n级加速后，根据动能定理获得的动能可以达到Ekq(U1U2U3Un）。这种多级加速器通常叫做“直线加速器”。(2）回旋加速器基本用途：利用电场对电荷的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用，在较小的范围内来获得高能粒子的装置。回旋加速器的核心回旋加速器的核心部分是两个D形的金属扁盒，这两个D形盒就像是沿着直径把一个圆形的金属扁盒切成两半，两个D形金属盒之间留一个窄缝，在中心附近放有粒子源。D形盒装在真空容器中，整个装置放在巨大电磁铁的两极之间，磁场方向垂直于D形盒的底面，把两个D形盒分别接在高频电源的两极上。工作原理如图所示，放在A0处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率v0垂直进入匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动，经过半个周期，当它沿着半圆弧A0A1到达A1时，在A1A1处加一个向上的电场，使这个带电粒子在A1A1处受到一次电场的加速，速率由v0增加到v1，然后粒子以速率v1在磁场中做匀速圆周运动。我们知道，粒子的轨道半径跟它的速率成正比，因而粒子将沿着半径增大了的圆周运动，又经过半个周期，当它沿着半圆弧A1A2到达A2时，在A2A2处加一个向下的电场，使粒子又一次受到电场的加速，速率增加到v2，如此继续下去，每当粒子运动到A1A1、A3A3等处时都使它受到向上电场的加速，每当粒子运动到A2A2、A4A4等处时都使它受到向下电场的加速，粒子将沿着图示的A0A1A1A2A2回旋下去，速率将一步一步地增大。(3）回旋加速器中各部分的作用磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场中，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，且粒子每次进入D形金属盒都运动相等的时间(半个周期）后平行电场方向进入电场中被加速。电场的作用：回旋加速器的两个D形金属盒之间的窄缝区域存在周期性变化的、并垂直于两D形金属盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。交变电压：为了保证带电粒子每次经过窄缝时都被加速，使之能量不断提高，需在窄缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压，周期T。D形金属扁盒的主要作用是静电屏蔽，使得盒内空间的电场极弱，这样就可以使运动的粒子只受洛伦兹力的作用做匀速圆周运动。在加速区域中也有磁场，但由于加速区间距离很小，磁场对带电粒子的加速过程的影响很小，因此，可以忽略磁场的作用。(4）带电粒子的最终能量由于D形金属盒的大小一定，所以不管粒子的大小及带电荷量如何，粒子最终从加速器内射出时应具有相同的旋转半径。由牛顿第二定律得qvnBm粒子可能获得的最大动能Eknmv。可见，粒子获得的能量与回旋加速器的直径有关，直径越大，粒子获得的能量就越大，由于受D形盒半径R的限制，带电粒子在这种加速器中获得的能量也是有限的。【例3】回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示。设D形盒半径为R。若用回旋加速器加速质子时，匀强磁场的磁感应强度为B，高频交流电频率为f。则下列说法正确的是(）A质子被加速后的最大速度不可能超过2fRB质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小无关C只要R足够大，质子的速度可以被加速到任意值D不改变B和f，该回旋加速器也能用于加速粒子解析：由R和T解得质子被加速后达到的最大速度vmax2fR，与加速电场的电压无关，A、B正确；当粒子的速度接近光速时，根据狭义相对论，粒子的质量将发生变化，从而引起回旋周期变化，破坏了加速器的工作原理，故质子不能被加速到任意值，C错误；由f知回旋加速器不能加速不同比荷的粒子，故该回旋加速器不能用于加速粒子，D错误。答案：AB4“磁偏转”与“电偏转”的区别所谓“电偏转”与“磁偏转”是分别利用电场和磁场对电荷施加作用，从而控制其运动方向，但电场和磁场对电荷的作用特点不同，因此这两种偏转有明显的差别。磁偏转电偏转受力特征及运动规律若vB，则洛伦兹力FBqvB，使粒子做匀速圆周运动，v的方向变化，又导致FB的方向变化，其运动规律可由r和T进行描述FE为恒力，粒子做匀变速曲线运动类平抛运动，其运动规律可由vxv0，xv0t，vyt，yt2进行描述偏转情况粒子的运动方向能够偏转的角度不受限制，bttt，且相等时间内偏转的角度相等粒子运动方向所能偏转的角度E/2，且相等时间内偏转的角度不同动能的变化由于FB始终不做功，所以其动能保持不变由于FE与粒子速度的夹角越来越小，所以其动能不断增大，并且增大得越来越快【例41】如图所示，带电粒子在没有电场和磁场空间以v0从坐标原点O沿x轴方向做匀速直线运动，若空间只存在垂直于xOy平面的匀强磁场时，粒子通过P点时的动能为Ek；当空间只存在平行于y轴的匀强电场时，则粒子通过P点时的动能为(）AEk B2Ek C4Ek D5Ek解析：只有电场时，粒子做类平抛运动，vtqEt2/2m，则运动时间t2mv/qE，故电场力做功WqEvt2mv24Ek，因此粒子通过P点时的动能为EkEk0W5Ek，选项D正确。答案：D【例42】如图所示，某一真空区域内充满匀强电场和匀强磁场，此区域的宽度d=8 cm，电场强度为E，方向竖直向下，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，一电子以一定的速度沿水平方向射入此区域。若电场与磁场共存，电子穿越此区域时恰好不发生偏转；若射入时撤去磁场，电子穿越电场区域时，沿电场方向偏移量y=3.2 cm；若射入时撤去电场，电子穿越磁场区域时也发生了偏转。不计重力作用，求：(1）电子射入时的初速度的表达式；(注：表达式不必代入具体数值，只保留字母符号）(2）电子比荷的表达式；(3）画出电子穿越磁场区域时(撤去电场时）的轨迹并标出射出磁场时的偏转角；(4）电子穿越磁场区域后(撤去电场时）的偏转角。(sin 370.6，cos 370.8）解析：(1）电子在复合场中不发生偏转，所受电场力和洛伦兹力平衡：qEqvB，得初速度的表达式v。(2）电子垂直进入匀强电场，向上做类平抛运动有dvt，yat2，加速度a，可解得电子比荷。(3）电子穿越磁场区域时的轨迹如图所示。(4）电子垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，qvB=m代入比荷的表达式得r=10 cm=0.1 m由几何知识得sin 0.8所以偏转角53。答案：(1）v(2）(3）见解析图(4）535带电粒子在匀强磁场中运动的解题方法圆心位置的确定在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有两种方法：(1）如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心O甲(2）如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点，已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作它的中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心O乙半径的计算一般利用几何知识解直角三角形运动时间的确定如图丙所示，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，不论沿顺时针方向还是逆时针方向，从A点运动到B点，粒子速度偏向角(）等于圆心角(回旋角）并等于AB弦与切线的夹角(弦切角）的2倍。即2t丙利用圆心角(回旋角）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360计算出圆心角的大小，由公式tT可求出粒子在磁场中的运动时间圆周运动中的有关对称规律【例51】如图所示，在真空中半径为r3.0102 m的圆形区域内，有磁感应强度B0.2 T、方向如图所示的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v01.0106 m/s从直径ab的一端a向着各个方向射入磁场，且初速度方向都与磁场方向垂直，该批粒子的比荷1.0108 C/kg，不计粒子重力。求：(1）粒子在磁场中运动的最长时间；(2）若射入磁场的速度改为v03.0105 m/s，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域。(sin 370.6，cos 370.8）解析：(1）由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半径。因qv0B=，R=5.0102 mr，所以要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长应最长，从图中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆弧对应粒子运动的最长时间。因，故运动时间tm=T=。又sin =，故tm6.4108 s。(2）R=1.5102 m，故粒子在磁场中可能出现的区域如图所示(以aO为直径的半圆加上以a为圆心、aO为半径所作的圆与磁场相交的部分）。答案：(1）6.4108 s(2）如图所示点评：处理带电粒子在磁场中的运动问题通常要按以下三步进行：(1）画轨迹：即确定圆心，通过几何方法求半径并画出轨迹；(2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动的时间与周期相联系；(3）用规律：运用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。【例52】(贵阳模拟）如图，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在的纸面向外。某时刻在xl0、y0处，一质子沿y轴的负方向进入磁场；同一时刻，在xl0、y0处，一个粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直。不考虑质子与粒子的相互作用，设质子的质量为m，电荷量为e。则：(1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？(2）如果粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，粒子的速度应为何值？方向如何？解析：(1）质子的运动轨迹如图甲所示，其圆心在xl0/2处，其半径r1l0/2。又r1mv1/eB，可得v1eBl0/2m。甲乙粒子的周期为T4m/eB，可得tT/4两粒子的运动轨迹如图所示由几何关系得rl0，又2evB，解得veBl0/4m，方向与x轴正方向的夹角为/4。答案：(1）eBl0/2m(2）eBl0/4m，方向与x轴正方向的夹角为/4。6带电粒子在复合场中的运动(1）复合场是指电场、磁场、重力场中三者或其中任意两者共存的场。在复合场中运动的电荷有时可不计重力，如电子、质子、粒子等微观粒子，也有重力不能忽略的宏观带电体，如小球、液滴、微粒等。(2）虽然电荷在复合场中的运动情况一般较为复杂，但是它作为一个力学问题，同样遵循联系力和运动的各条基本规律。在分析和解决具体问题时，要从力的观点(牛顿定律）、动量的观点、能量的观点入手，认真做好以下三点：第一，正确分析受力情况；第二，充分理解和掌握不同场对电荷作用的特点和差异；第三，认真分析运动的详细过程，充分发掘题目中的隐含条件，建立清晰的物理情景最终把物理模型转化为数学表达式。(3）电荷在复合场中的运动一般有两种情况直线运动和圆周运动。电荷在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下做直线运动时，一定是做匀速直线运动。电荷在上述复合场中如果做匀速圆周运动，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零才能实现。(4）根据带电粒子在复合场中的运动情况，正确地进行受力分析，并灵活运用几何知识求出运动半径，确定圆心及运动对应的圆心角，是解决带电粒子在复合场中运动问题的关键。(5）对于叠加场中的力学问题，可以根据力的独立作用原理分别研究每一种场力对物体的作用效果；也可以同时研究几种场力共同作用的效果，将叠加场等效为一个简单场，然后与重力场中的力学问题进行类比，利用力学的规律和方法进行分析与解答。【例6】如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方向的夹角为。不计空气阻力，重力加速度为g，求：(1）电场强度E的大小和方向。(2）小球从A点抛出时初速度v0的大小。(3）A点到x轴的高度h。解析：(1）小球在x轴下方的复合场中恰能做匀速圆周运动，静电力与重力平衡，Eqmg，得E，因小球带正电，故E的方向竖直向上。(2）小球的运动轨迹如图所示，设圆的半径为R，则由几何关系知R，设小球做圆周运动的速率为v，有qvB，得v，故小球抛出的初速度v0vcos 。(3）小球经M点时的竖直分速度vyvsin ，在x轴上方小球做平抛运动，故有vygt，hgt2，由上式综合解得h。答案：(1）竖直向上(2）(3）11