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第27讲数系的扩充与复数的引入考纲要求考情分析命题趋势1.理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2017全国卷，12017全国卷，22017山东卷，22017天津卷，92016全国卷，2复数的概念(如实部、虚部、纯虚数、共轭复数、复数的模)及复数的四则运算(特别是除法运算)是高考考查的主要内容，复数的几何意义常与解析几何知识交汇命题.分值：5分1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的_实部_和_虚部_.若_b0_，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若_a0，且b0_，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdi_ac且bd_(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭_ac且bd_(a，b，c，dR)(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面_x轴_叫做实轴，_y轴除去原点_叫做虚轴实轴上的点都表示_实数_；除原点外，虚轴上的点都表示_纯虚数_；各象限内的点都表示_非纯虚数_.复数集用C表示(5)复数的模：向量的模r做复数zabi的模，记作_|z|_或_|abi|_，即|z|abi|_.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi_平面向量_(a，bR)3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则：加法：z1z2(abi)(cdi)_(ac)(bd)i_；减法：z1z2 (abi)(cdi)_(ac)(bd)i_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_(acbd)(adbc)i_；除法：_(cdi0)(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2_z2z1_，(z1z2)z3_z1(z2z3)_.4i乘方的周期性in 其中kZ.5共轭复数与模的关系zz|z|2|2.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若aC，则a20.()(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小()(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数()(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模()解析 (1)错误若ai，则a210，b0)，则z的共轭复数abi.它对应的点为(a，b)，是第三象限的点，即图中的B点(3)由已知得A(1,2)，B(1，1)，C(3，2)，xy，(3，2)x(1,2)y(1，1)(xy,2xy)，解得故xy5.三复数的代数形式运算(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式【例3】 (1)(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|(B)A1BCD2(2)(2016全国卷)若z12i，则(C)A1B1CiDi(3)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a(B)A1B0C1D2解析 (1)x，yR，(1i)x1yi，xxi1yi，|xyi|1i|.故选B(2)z(12i)(12i)5，i.故选C(3)(2ai)(a2i)4i，即4a(a24)i4i，解得a0.1(2017北京卷)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(B)A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)解析 因为z(1i)(ai)a1(1a)i，所以它在复平面内对应的点为(a1,1a)，又此点在第二象限，所以解得a0，解得m5.【跟踪训练1】 使不等式(m24m3)i10m2(m23m)i成立的实数m_3_.解析 (m24m3)i10m2(m23m)i，解得m3.课时达标第27讲解密考纲复数的计算以选择题或填空题的形式出现，主要考查复数的概念和复数代数形式的四则运算一、选择题1(2017全国卷)(D)A12iB12iC2iD2i解析 2i，故选D2(2017全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则|z|(C)ABCD2解析 zi(1i)1i，所以|z|.3i是虚数单位，若abi(a，bR)，则lg(ab)的值是(C)A2B1C0D解析 iabi，lg(ab)lg 10，故选C4(2018甘肃兰州模拟)已知复数z(a21)(a1)i(aR)是纯虚数，则a(C)A0B1C1D1解析 由题意得解得a1.5满足i(i为虚数单位)的复数z(B)AiBiCiDi解析 去掉分母，得zizi，所以(1i)zi，解得zi，故选B6已知复数z1ai(aR)(i是虚数单位)，i，则a(B)A2B2C2D解析 由题意可得i，即i，a2，故选B二、填空题7(2017浙江卷)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_5_，ab_2_.解析 (abi)2a2b22abi34i，或a2b25，ab2.8在复平面上，复数对应的点到原点的距离为_.解析 由题意可知.9若复数z满足(12i)z|34i|(i为虚数单位)，则复数z_12i_.解析 (12i)z|34i|5，z12i.三、解答题10计算：(1)；(2)；(3)；(4).解析 (1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.11已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解析 设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i.由于(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，解得2a6.实数a的取值范围是(2,6)12复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解析 1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.a50，a5，故a3.9
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