2019-2020学年高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 4 不等式的证明 第2课时 综合法与分析法学案 北师大版选修4-5

第2课时综合法与分析法学习目标：1.了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点(易混点)2.会利用综合法和分析法证明一些简单的不等式(重点、难点)教材整理分析法与综合法阅读教材P17P18，完成下列问题1分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法2综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，这种证明不等式的方法称为综合法其思路是“由因寻果”，即从“已知”推导出已知的“性质”，从而逐步推向“未知”判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)分析法与综合法都是直接证明命题的方法.()(2)分析法是由结论推向已知的过程.()(3)综合法的特点是“由因寻果”.()解析根据分析法与综合法的特点知(1)正确，(2)中，分析法是从结论入手，寻找使它成立的充分条件，而不是由结论推向已知，故错误(3)正确答案(1)(2)(3)用综合法证明不等式【例1】已知a，b，c是正数，求证：abc.精彩点拨由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2c2a2a2b2abc(abc)，利用x2y22xy可证或将原不等式变形为abc后，再进行证明自主解答法一：a，b，c是正数，b2c2c2a22abc2，b2c2a2b22ab2c，c2a2a2b22a2bc.2(b2c2c2a2a2b2)2(abc2ab2ca2bc)，即b2c2c2a2a2b2abc(abc)又abc0，abc.法二：a，b，c是正数，22c.同理2a，2b，22(abc)又a0，b0，c0，b2c2a2c2a2b2abc(abc)故abc.1运用不等式的性质或已证明的不等式时，要注意它们各自成立的条件，正确推理2综合法证明不等式，常将不等式的两端进行合理的等价变形，如恰当的组合、拆项、匹配等，便于应用某些重要的不等式1已知a0，b0，c0，且abc2.求证：(1a)(1b)(1c)8.证明a0，b0，c0，1a2，当且仅当a1时，取等号；1b2，当且仅当b1时，取等号；1c2，当且仅当c1时，取等号abc2，a，b，c不能同时取1，“”不同时成立(1a)(1b)(1c)88，即(1a)(1b)(1c)8.分析法证明不等式【例2】设abc，且abc0，求证：(1)b2ac0；(2)bc且abc0，a0，c0，ac0.(2)欲证a，只需证b2ac3a2.因为c(ab)，只要证明b2a(ab)0，即证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0成立从而a成立1此题证明的关键是在两边非负的条件下乘方去根号2分析法是寻找结论成立的充分条件，对于含有无理不等式等问题的证明，采用分析法是常用方法2已知a，b，c均为正数，且abbcca1，求证：abc.证明a，b，c均为正数，且abbcca1.要证明abc，只需证明(abc)23，即a2b2c22(abbcca)3，只要证明a2b2c21，(*)又a2b2c2abbcca1，因此(*)成立，故原不等式abc成立.分析综合法证明不等式探究问题1分析法和综合法的逻辑关系是怎样的？提示综合法：AB1B2BnB，(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)分析法：BBnBn1B1A，(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)2在证明不等式的过程中，分析法、综合法常常是不能分离的，那么往往在什么情况下使用？如何证明？提示如果使用综合法证明不等式难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律有时问题的证明难度较大，常使用分析综合法，实现从两头往中间靠以达到证题目的【例3】设实数x，y满足yx20，且0a1，求证：loga(axay)loga2.精彩点拨借助分析法探路，然后利用综合法证明，若盲目用综合法推进，容易受阻自主解答0a1，欲证loga(axay)2a.yx20,0a2a成立故原不等式loga(axay)0，1，求证：.证明要证明，只需证1，即(1a)(1b)1，只要证abab0成立a0，1，a0，b0，0，abab0成立故成立1已知a0，1babab2Bab2abaCabaab2Dabab2a解析1bb20b.又aab2a.答案D2设a0，b0，且ab(ab)1，则()Aab2(1)Bab1Cab(1)2Dab2(1)解析，ab(ab)2.(ab)2(ab)ab(ab)1，(ab)24(ab)40，a0，b0，ab22成立(当且仅当ab1时取等号)答案A3已知a，b(0，)，P，Q，则P，Q的大小关系是_解析ab，.答案PQ4下列不等式：a222a；a2b22(ab1)；(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中恒成立的有_个解析在中，a222a(a1)2110，a222a成立在中，a2b22(ab1)a2b22a2b2(a1)2(b1)20，当且仅当a1且b1时，取等号在中，(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2b2c2a2d2b2d2a2c22abcdb2d2b2c2a2d22abcd(bcad)20.故只有恒成立答案15若a0，b0，则lg_lg(1a)lg(1b)解析lg(1a)lg(1b)lg(1a)(1b)lg(1a)(1b).又lglg，且a0，b0.a10，b10，(a1)(1b)，lglg(1a)(1b).即lglg(1a)lg(1b)答案- 7 -