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21.2二阶矩阵与平面列向量的乘法1二阶矩阵与平面列向量的乘法规则(1)行矩阵与列矩阵的乘法规则： ；(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则： .一般地，前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算2二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义(1)一个列向量左乘一个22矩阵M后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P(x，y)，那么列向量左乘矩阵M后的列向量就对应平面上的一个新的点(2)对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个点(向量)(x，y)，则称T为一个变换，简记为：T：(x，y)(x，y)或T：.(3)一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为T： 的矩阵形式，反之亦然(a、b、c、dR)(4)由矩阵M确定的变换，通常记为TM，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在TM的作用下得到一个新的图形二阶矩阵与平面列向量相乘例1设A，Z，Y，求AZ和AY.思路点拨利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解精解详析AZ ，AY .若矩阵A，列向量为，则A ，其结果仍是一个列向量，同时应注意，给出点的坐标可写成列向量的形式1计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .2给定向量，矩阵A，B，C，D，计算A，B，C，D.解：根据矩阵与向量的乘法，得A ，B ，C ，D .坐标变换与矩阵乘法的互化例2(1)已知变换 ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换，试将它写成矩阵的乘法形式思路点拨直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定精解详析(1).故它表示的坐标变换为.(2) .对于 ，首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得 ，再由向量相等，得3已知，试将它写成二阶矩阵与平面向量相乘的形式解：因为所以即 .故 .4解下列用矩阵表达式表示的方程组(1) ；(2) .解：(1)由 ，得，即解得(2)由 ，得，即解得求变换矩阵例3已知变换T：平面上的点P(2，1)，Q(1,2)分别变换成点P1(3，4)，Q1(0,5)，求变换矩阵A.思路点拨由题意可知，变换矩阵A为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法，可列出方程组，解方程组即可求出二阶矩阵中的各元素精解详析设所求的变换矩阵A.依题意可得 ， ，即解得所以所求的变换矩阵A.求变换矩阵的常用方法是待定系数法，要正确利用条件，合理准确计算5若点A(1,1)在矩阵M对应变换的作用下得到的点为B(1,1)，求矩阵M.解：由M，得，所以即所以M.6设矩阵M对应的线性变换把点A(1,2)变成点A(2,3)，把点B(1,3)变成点B(2,1)，那么这个线性变换把点C(5,10)变成什么？解：设变换矩阵M，M .M .解得M.M .该线性变换把点C(5,10)变成了点C(6,1)1给定向量，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量分别变成了什么向量(1)；(2)；(3).解：(1) .(2) .(3) .2求点(x，y)在矩阵对应的变换作用下对应点的坐标解： ，所以点(x，y)在矩阵对应的变换作用下对应点的坐标为(x,2y)3(1)已知 ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知，试将它写成矩阵的乘法形式解：(1).(2) .4计算 ，并解释计算结果的几何意义解： .几何意义：表示点(3,1)在矩阵对应的变换作用下变成点(5，1)5已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，点A(1,2)变成了点A(7,10)，点B(2,0)变成了点B(2,4)，求矩阵M.解：设M，则 ， ，即解得所以M.6已知点(x，y)在矩阵对应的变换作用下变为点(1,1)，试求x，y的值解：由 ，得解得7已知矩阵T，O为坐标原点，点A(1,0)在矩阵T的变换下得到点P.设b0，当POA的面积为，POA时，求a，b的值解：由 ，得点P坐标为(a，b)又b0，所以SPOA1b.所以b2.又POA，所以a2.即a2，b2.8.已知图形F表示的四边形ABCD如图所示，若由二阶矩阵M确定的变换T，使F上点的纵坐标变为原来的一半而横坐标不变求矩阵M.解：图形F对应的矩阵为，变换后的图形F对应的矩阵为，设M，则有解得M.6
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