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21.1矩阵的概念1矩阵在数学中，把形如，这样的矩形数字(或字母)阵列称作矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母A，B，或者(aij)来表示矩阵，其中i，j分别表示元素所在的行和列同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记为0.2行矩阵，列矩阵一般地，我们把像a11a12这样只有一行的矩阵称为行矩阵，而把像这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母，来表示平面上向量(x，y)的坐标和平面上的点P(x，y)都可以看做是行矩阵x，y，也可以看做是列矩阵.因此，我们又称xy为行向量，称为列向量，在本书中，我们把平面向量(x，y)的坐标写成的形式3矩阵相等对于两个矩阵A，B，只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A和B才相等，此时记作AB.用矩阵表示平面图形例1画出矩阵所表示的三角形，并求该三角形的面积思路点拨写出平面图形顶点的坐标即可精解详析矩阵所表示的三角形的三个顶点分别为(1,1)，(4，1)，(3,1)所求三角形的面积为4.1矩阵可以表示点A(1,1)，B(4，1)，C(3,1)或由它们构成的三角形；2表示同一个三角形的矩阵不唯一，如本例三角形，可用矩阵等表示；3空间图形也可以用矩阵表示，不过需注意空间中点的坐标是由3个实数构成的有序数组1在平面直角坐标系内，分别画出矩阵，所表示的以坐标原点为起点的向量解：矩阵，所表示的以坐标原点为起点的向量对应的坐标分别为(1,2)，(1,2)，(1，2)，(0，2)按要求画出相应向量即可2已知A(0,0)，B(2,3)，C(6,3)，D(4,0)，写出表示四边形ABCD的一个矩阵解：表示四边形ABCD的矩阵可以为或等矩阵在实际生活中的应用例2已知甲、乙、丙三人中，甲与乙相识，甲与丙不相识，乙与丙相识用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系(规定每个人和自己相识)思路点拨先列出一个表格表示他们之间的相识关系，然后利用表格再用矩阵表示即可精解详析将他们之间的相识关系列表如下：甲乙丙甲110乙111丙011故用矩阵表示为.用矩阵表示实际问题时，要注意元素的次序，矩阵中元素的次序不一样，表示的实际问题可能就不一样3某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A，B，C送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A，B，C送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨试用矩阵表示上述数据关系解：列表如下(单位：万吨)：企业A企业B企业C甲矿区100200150乙矿区150150300记M，则矩阵M就是上述数据关系的一个表示4两类药片有效成分如下表所示：成分药品阿司匹林(mg)小苏打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)176试用矩阵表示A、B两种药品每片中三种成分所含的质量解：表示A、B两种药品成分的矩阵为.矩阵相等例3已知矩阵A，B，若AB，试求a，b，c，d的值思路点拨我们说两个矩阵是相等的，是指两个矩阵的行数和列数相同，并且相应位置的元素也分别相等，本题考查对矩阵相等定义的理解精解详析因为AB，即，由矩阵相等的意义可知由此解得a2，b0，c1，d4.两个同行同列的矩阵，只要有一个对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：0,0和，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等这好比，现在有甲、乙两支球队进行足球比赛，前一个零矩阵可表示他们之间进行了一场比赛，比赛结果为00，而后者可表示他们之间进行了两场比赛，两场比赛的结果均为00.5已知A，B，若AB，求x与y的值解：AB，解得6已知A，B，且AB，求x，y，m，n的值解：由矩阵相等的充要条件得解得1设A为二阶矩阵，且规定元素aijij(i1,2，j1,2)，试求A.解：由题意可知a112，a123，a213，a224，A.2矩阵M表示平面中三角形ABC的顶点坐标，问三角形是什么三角形？解：由A(1,1)，B(1,3)，C(3,1)，画图可得ABC是等腰直角三角形3已知二元一次方程组的系数矩阵为，方程组右边的常数项矩阵为，试写出该方程组解：4营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡4 187 焦耳)、30 g、10 g；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20 g、19 g；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15 g、3 g，试将上述结果用矩阵表示出来解：每千克各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：能量(千卡)脂肪(g)蛋白质(g)红烧肉6493010青椒肉丝2582019韭菜豆芽131153所以可用矩阵M表示为M.5已知平面上正方形ABCD(顺时针)的四个顶点可以用矩阵表示为，求a，b，c，d的值及正方形ABCD的面积解：由题意知正方形ABCD的四个顶点的坐标依次为A(0,0)、B(a，c)、C(0,4)、D(b，d)，从而可求得a2，b2，cd2.|AB|2，正方形ABCD的面积为8.6已知A，B，若AB，试求x，y，m，n的值解：由于AB，则和解得x1，y2，m3，n4.7已知A，B，若AB，求、.解：由矩阵相等的充要条件得8设M是一个33的矩阵，且规定其元素aij2ij，i1，2,3，j1,2,3，试求M.解：由题意可知，a113，a124，a135，a215，a226，a237，a317，a328，a339.故矩阵M.6
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