2017-2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时速度与导数学案 新人教B版选修2-2

1.1.2瞬时速度与导数明目标、知重点1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数1瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是ss(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0t这段时间内的平均变化率，当t0时的极限，即v .2瞬时变化率一般地，函数yf(x)在x0处的瞬时变化率是 .3导数的概念一般地，函数yf(x)在x0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记为f(x0)，即f(x0) .4导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数yf(x)的导函数记为f(x)或y(或yx)导函数通常简称为导数探究点一瞬时速度思考1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.在某些时间段内如何粗略地描述其运动状态？平均速度能否精确反映它的运动状态？答用0t0.5和1t2的平均速度来粗略地描述其运动状态在0t0.5这段时间里，4.05(m/s)；在1t2这段时间里，8.2(m/s)平均速度不能精确反映其运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)4.9t26.5t10，易知h()h(0)，0，而运动员依然是运动状态思考2如何描述物体在某一时刻的运动状态？答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态如求t2时的瞬时速度，可考察在t2附近的一个间隔t，当t趋近于0时，看平均速度的变化趋势，用式子 表示，这就是物体在t2时的瞬时速度例1火箭竖直向上发射熄火时向上速度达到100 m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?解火箭的运动方程为h(t)100tgt2，火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)与重力引起的位移的合成在t附近的平均变化率为100gtgt.当t0时，上式趋近于100gt.可见t时刻的瞬时速度h(t)100gt.令h(t)100gt0，解得t10.2(s)所以火箭熄火后约10.2 s向上速度变为0.反思与感悟瞬时速度是平均速度在t0时的极限值要求瞬时速度，可以先求平均速度思考3火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？答火箭向上速度变为0，意味着火箭处于上升阶段的最高点处，即火箭达到了最大高度，由例1知火箭熄火后上升的时间为t，所以火箭熄火后上升的最大高度h100g2510.2(m)跟踪训练1质点M按规律s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)若质点M在t2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，4aat.在t2时，瞬时速度为 4a，即4a8，a2.探究点二导数的定义思考1从平均速度当t0时是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？答对函数yf(x)来说，f(x)在点xx0附近改变x时，平均变化率为.当x0时，如果平均变化率趋于一个常数l，则l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率思考2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度思考3导函数和函数在一点处的导数有什么关系？答若函数f(x)在区间(a，b)内可导，对(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，f(x)就叫函数yf(x)的导函数函数f(x)在点xx0处的导数是导函数yf(x)在xx0处的函数值例2利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数解由导数的定义知，函数在x2处的导数f(2)，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2)(x1)1.反思与感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0) .跟踪训练2利用导数的定义求下列函数的导数：(1)yx2axb在x0处的导数；(2)y在x2处的导数解(1)yf(0x)f(0)(0x)2a(0x)b02a0b(x)2a(x)，xa，y|x0 (xa)a.(2)y2，.f(2) .探究点三导数的实际应用例3一正方形铁板在0时，边长为10 cm，加热后铁板会膨胀当温度为t时，边长变为10(1at) cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率解设温度的增量为t，则铁板面积S的增量为S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2，因此200(aa2t)100a2t.令t0，得S200(aa2t)所以铁板对温度的膨胀率为200(aa2t)反思与感悟函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率，当x趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快跟踪训练3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第x h时，原油的温度(单位：)为yf(x)x27x15(0x8)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)根据导数的定义，x3，所以，f(2) (x3)3.同理可得，f(6)5.在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为3与5.它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 /h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 /h的速率上升1一物体的运动方程是sat2(a为常数)，则该物体在tt0时的瞬时速度是()Aat0 Bat0 C.at0 D2at0答案A解析atat0，li at0.2函数f(x)在x0处可导，则 ()A与x0、h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0、h均无关答案B3已知f(x)x210，则f(x)在x处的瞬时变化率是()A3 B3 C2 D2答案B解析x3，li 3.4已知函数f(x)，则f(1)_.答案解析f(1) .呈重点、现规律1瞬时速度是平均速度当t0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当x0时的极限值2利用导数定义求导数的步骤：(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限得导数f(x0) .6