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11.1函数的平均变化率明目标、知重点1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题1函数的平均变化率已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，商叫做函数yf(x)在x0到x0x(或x0x，x0)之间的平均变化率2函数yf(x)的平均变化率的几何意义表示函数yf(x)图象上过两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的割线的斜率情境导学某市2013年5月30日最高气温是33.4，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4和18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5和5月28日最高气温18.6进行比较，可以发现二者温差为15.1，甚至超过了14.8，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一函数的平均变化率思考1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化如用比值近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在xB，xC上的平均变化率思考2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答如果问题中的函数关系用yf(x)表示，那么问题中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢思考3平均变化率有什么几何意义？答设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率为割线AB的斜率x1，x2是定义域内不同的两点，因此x0，但x可正也可负；yf(x2)f(x1)是相应xx2x1的改变量，y的值可正可负，也可为零因此，平均变化率可正可负，也可为零例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率解从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1(千克/月)从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为0.4(千克/月)反思与感悟求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.跟踪训练1如图是函数yf(x)的图象，则：(1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；(2)函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_答案(1)(2)解析(1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为.(2)由函数f(x)的图象知，f(x).所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为.探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f(x)x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：(1)1,3；(2)1,2；(3)1,1.1；(4)1,1.001解(1)函数f(x)在1,3上的平均变化率为4；(2)函数f(x)在1,2上的平均变化率为3；(3)函数f(x)在1,1.1上的平均变化率为2.1；(4)函数f(x)在1,1.001上的平均变化率为2.001.反思与感悟函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量x取值越小，越能准确体现函数的变化情况跟踪训练2求函数yx2在x1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？解在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x；对任意x有，k1k2s2(0)，则，所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大反思与感悟平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解甲赚钱的平均速度为(万元/月)，乙赚钱的平均速度为(万元/月)因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数，所以乙的经营成果比甲的好1如果质点M按规律s3t2运动，则在一小段时间2，2.1中相应的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D3答案B解析4.1.2一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度为_答案23已知函数h(x)4.9x26.5x10.(1)计算从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1；0.1；0.01.(2)根据(1)中的计算，当|x|越来越小时，函数h(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)yh(1x)h(1)4.9(x)23.3x，4.9x3.3.当x2时，4.9x3.313.1；当x1时，4.9x3.38.2；当x0.1时，4.9x3.33.79；当x0.01时，4.9x3.33.349.(2)当|x|越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.呈重点、现规律1函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢2求函数f(x)的平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)；(2)再计算自变量的改变量xx2x1；(3)得平均变化率.5
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