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习题课 导数的应用学习目标会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递_f(x)0单调递_知识点二求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时，(1)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值知识点三函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法1求函数yf(x)在(a，b)上的极值2将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值类型一函数的单调性与导数例1(1)f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若a0.讨论f(x)的单调性反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集(4)求参数的范围时常用到分离参数法跟踪训练1(1)已知f(x)x3ax2a2x2.若a1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；若a0，求函数f(x)的单调区间(2)已知f(x)exax1.求f(x)的单调增区间；若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围类型二利用导数求函数的极值例2已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负跟踪训练2若函数f(x)x2ln x1在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内存在极值，则实数a的取值范围是_类型三利用导数求函数的最值例3已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值反思与感悟求函数的最值的方法步骤：(1)求f(x)在(a，b)上的极值(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在a，b上的最值跟踪训练3已知函数f(x)x3ax2b，且a，b为实数，1a1时，x2ln xx3是否恒成立，并说明理由反思与感悟利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解跟踪训练4证明：当x2,1时，x34x.1若函数yx3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_2设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b); f(x)g(a)f(a)g(x)；f(x)g(b)f(b)g(x); f(x)g(x)f(a)g(a)3已知函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为_4已知函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1,2，都有f(x)0f(x)0(2)f(x)0题型探究例1(1)解析令g(x)，则g(x)，xf(x)f(x)0，g(x)0.则g(x)在(0，)上单调递减若ag(b)，即，得bf(a)af(b)(2)解由题意知，f(x)的定义域是(0，)，f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0即0a0都有f(x)0，此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，仅对x，有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x10时，由f(x)0，得ax0，得x，此时f(x)的单调递减区间为(a，)，单调递增区间为(，a)和(，)当a0时，由f(x)0，得x0，得xa，此时f(x)的单调递减区间为(，a)，单调递增区间为(，)和(a，)综上，当a0时，f(x)的单调递减区间为(a，)，单调递增区间为(，a)，(，)；当a0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上所述：当a0时，f(x)的单调增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调增区间为ln a，)f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在R上单调递增，f(x)exa0恒成立，即aex，xR恒成立，xR时，ex(0，)，a0.例2解(1)由f(x)x1，得f(x)1，又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，xln a.x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，所以f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值跟踪训练21，)例3解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(2)当x1时，x2ln x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上递增，g(x)g(1)0，x3x2ln x0，即x2ln xx3在x(1，)上恒成立跟踪训练4证明令f(x)x34x，x2,1，则f(x)x24.因为x2,1，所以f(x)0，即函数f(x)在区间2,1上单调递减故函数f(x)在区间2,1上的最大值为f(2)，最小值为f(1).所以，当x2,1时，f(x)，即x34x成立达标检测1.2.3(，0)(，2)4.(7，)10
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