椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程教学目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程.2.了解椭圆的标准方程的推导及简化过程.(难点)3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.(重点、易错点)教材整理1椭圆的定义阅读教材P32探究思考以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.课堂练习判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知F1(4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.()(2)到F1(4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆.()(3)到F1(4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.()【解析】(1).因为到两定点距离之和小于|F1F2|，动点的轨迹不存在，故(1)错.(2).由椭圆定义知，(2)对.(3).其动点轨迹是线段F1F2的中垂线，故(3)错.【答案】(1)(2)(3)教材整理2椭圆的标准方程阅读教材P32思考P34例1以上部分，完成下列问题.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系c2a2b2判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2b2c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.()(3)椭圆的特殊形式是圆.()(4)椭圆4x29y21的焦点在y轴上.()【答案】(1)(2)(3)(4)(1)椭圆1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为()A.5 B.6 C.4 D.10(2)椭圆1的焦点为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则ABF2的周长是()A.20 B.12 C.10 D.6【自主解答】(1)设P到另一焦点的距离为r，则r52a10，r5.(2)AB过F1，|AB|AF1|BF1|.由椭圆定义知，|AB|AF2|BF2|4a20.【答案】(1)A(2)A在椭圆中若遇到椭圆上的点到焦点的距离及动点到两定点的距离的和为定值的轨迹的判断问题，常常用椭圆的定义进行解决.再练一题1.(1)设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A.4B.5C.8D.10(2)已知F1(4,0)，F2(4,0)，则到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是_.【解析】(1)a5，|PF1|PF2|2a10.(2)由于动点到F1，F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.【答案】(1)D(2)线段F1F2根据下列条件，求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点；(3)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，10)，P到离它较近的一个焦点的距离等于2.【精彩点拨】本题考查椭圆标准方程的求法，求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a和b即可.【自主解答】(1)由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0). 2a10，a5.又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的方程为1.(2)法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0).椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，则所求椭圆的方程为y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设方程为1(ab0).椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，则与ab矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.法二设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn).椭圆过(2,0)和(0,1)两点，综上可知，所求椭圆方程为y21.(3)椭圆的焦点在y轴上，可设它的标准方程为1(ab0).P(0，10)在椭圆上，a10.又P到离它较近的一焦点的距离等于2，c(10)2，故c8.b2a2c236.所求椭圆的标准方程是1.1.求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a2、b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量.2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0).因为它包括焦点在x轴上(mn)和焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的.再练一题2.根据下列条件，求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)求经过两点(2，)，的椭圆的标准方程. 【解】(1)椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).2a10,2c8，a5，c4.b2a2c252429.故所求椭圆的标准方程为1.(2)法一若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).由已经条件得解得即a24，b28，则a2b2，与题设中ab0矛盾，舍去.综上，所求椭圆的标准方程为1.法二设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB).将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.探究轨迹和轨迹方程有什么不同？【提示】轨迹和轨迹方程是两个不同的概念.求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置，类型.求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.已知点M在椭圆1上，MP垂直于椭圆两焦点所在的直线，垂足为P，且M为线段PP的中点，求P点的轨迹方程.【精彩点拨】【自主解答】设P点的坐标为(x，y)，M(x0，y0)，P(x0，0).点M在椭圆上，1.又M是线段PP的中点，代入上式，得1，即x2y236.故P点的轨迹方程为x2y236.小结1.本题中由点P，M的关系，得到等式x0x，y0是关键.利用点M在椭圆上，将含x0，y0的式子代入椭圆方程便得到了动点P的轨迹方程，此法称为“代入法”，此类问题一般使用此法.2.求轨迹方程的主要方法(1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.用相关点法求轨迹方程的步骤：设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x，y)0上的动点Q(x，y).找出P，Q之间坐标的关系，并表示为将x，y代入f(x，y)0，即得所求轨迹方程.再练一题3.如图211，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.图211【解】设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|，所以xPx，且yPy.因为P在圆x2y225上，所以x2225，整理得1，即C的方程是1.练习1.已知椭圆1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()A.1 B.1 C.x21 D.1【解析】由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c2，由a2b2c2，得a2246，因此椭圆方程为1，故选D.【答案】D2.若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A.9m25 B.8m25 C.16m25 D.m8【解析】由题意知解得8m25，故选B.【答案】B3.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此随圆的标准方程为_.【解析】由题意知2a8，a4，2c2，c，b2a2c21，故此椭圆的标准方程为x21.【答案】x214.已知椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_.【解析】由题意可得解得|PF1|PF2|48.【答案】485.已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足6|.求动点P的轨迹C的方程. 【解】设P(x，y)，则(3,0)，(x4，y)，(x1，y)，由题可得3(x4)6，化简得3x24y212，即1，动点P的轨迹C的方程为1.