常微分方程及其应用

第5章 常微分方程及其应用习题5.21求下列各微分方程的通解：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）2求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1），； （2），；（3），； （4），；（5），； （6），5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入 求微分方程的通解解 两边积分，得两边再积分，得 所以，原方程的通解为，其中为任意常数5.3.1 可降阶微分方程1. 形如的微分方程特点：方程右端为已知函数解法：对连续积分次，即可得含有个任意常数的通解2. 形如的微分方程特点：方程右端不显含未知函数解法： 令，则于是，原方程可化为这是关于的一阶微分方程设其通解为，即两边积分，即可得原方程通解，其中为任意常数3. 形如的微分方程特点：方程右端不显含自变量解法：令，则于是，原方程可化为这是关于的一阶微分方程设其通解为，即分离变量，得然后两边积分，即可得原方程通解，其中为任意常数例5-7 求微分方程的通解解 两边积分，得两边再积分，得第三次积分，得所以，原方程的通解为，其中为常数例5-8 求微分方程的通解解 令，则原方程可化为，即这是关于的一阶线性齐次微分方程其通解为：，即两边积分，即得原方程通解，其中为任意常数例5-9 求微分方程的通解解 令，则于是，原方程可化为这是关于的一阶线性非齐次微分方程其通解为即两边积分，即得原方程通解 其中为任意常数例5-10 求微分方程的通解解 令，则于是，原方程可化为，即这是关于的一阶线性齐次微分方程其通解为，即所以原方程通解为，其中为任意常数5.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程定义5.4 形如 （5-5）的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程1. 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理5.1 如果函数和是方程（5-5）的两个解，那么 （5-6）也是方程（5-5）的解（证明略）定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性那么叠加起来的解就是通解吗？不一定例如，设函数是方程（5-5）的一个解，则函数也是方程（5-5）的一个解由定理5.1可知，是方程（5-5）的解但仍是一个任意常数，所以不是方程（5-5）的通解那么在什么条件下才能保证就是通解呢？定义5.5 设和是定义在某区间上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数和，使在区间上恒成立，则称函数与在区间上线性相关，否则称线性无关由定义5.5可知，判断函数与线性相关或线性无关的方法：当常数时，与线性相关当常数时，与线性无关定理5.2 如果函数和是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么 （5-6）是方程（5-5）的通解（证明略）2. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程（5-5）的两个线性无关的特解猜想方程（5-5）有形如的解，其中为待定常数将代入该方程，得，由于，所以只要满足方程 （5-7）即当是方程（5-7）的根时，函数就是方程（5-5）的解定义5.6 方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程特征方程的根称为特征根设为特征方程（5-7）的两个特征根根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）的通解有以下三种情况：（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根，则和是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为，其中为任意常数（2）若方程（5-7）有两个相等实根，则仅得到一个特解，利用常数变易法可得到与线性无关的另一个特解，故方程（5-5）的通解为，其中为任意常数（3）若方程（5-7）有一对共轭复根与，则和是方程（5-5）的两个复数特解为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上可找到两个线性无关的实数特解和故方程（5-5）的通解为，其中为任意常数由定理5.1可知，以上两个函数和均为方程（5-5）的解，且它们线性无关上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法，称为特征根法一般步骤：第一步 写出所给微分方程的特征方程；第二步 求出特征根；第三步 根据特征根的三种不同情形，写出通解（特征根与通解的关系参见表5-1）表5-1 特征根与通解的关系特征方程的两个根微分方程的通解一两个不相等实根二两个相等实根三一对共轭复根，例5-11 求微分方程的通解 解 该方程的特征方程的特征根为，（）所以，方程的通解为例5-12 求微分方程满足初始条件，的特解解 该方程的特征方程的特征根为所以方程的通解为上式对求导，得： 将，代入上两式，解得，因此，所求特解为例5-13 求微分方程的通解 解 该方程的特征方程的特征根为，所以，方程的通解为5.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程定义5.7 形如 （5-8）的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程1. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理5.3 如果函数是方程（5-8）的一个特解，是该方程所对应的线性齐次方程（5-5）的通解，那么 （5-9）是方程（5-8）的通解定理5.4 如果函数是方程的特解，函数是方程的特解，那么 （5-10）就是方程的特解2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，根据定理5.3，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解以下介绍当自由项为几类特殊函数时求特解的方法：（1），是的次多项式，是常数微分方程的特解可设为其中是与同次待定多项式（2）（或），是的次多项式，是常数微分方程的特解可设为其中和是与同次待定多项式（3）（或），与均为常数微分方程的特解可设为（4）当为上述任意两类函数之和时，根据定理5.4处理即可例5-14 求微分方程的通解解 方程的特征方程的特征根为，于是方程的通解为又因为，是单特征根，所以原方程的特解可设为代入原方程，解得，故原方程的通解为例5-15 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程的特征根为，非特征根，所以原方程的特解可设为代入原方程，解得故所求特解为例5-16 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程的特征根为，是单特征根，所以原方程的特解可设为代入原方程，解得，故所求特解为例5-17 求微分方程的通解解 方程的特征方程的特征根为，于是方程的通解为又因为，是特征根，所以原方程的特解可设为代入原方程，解得，故原方程的通解为例5-18 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程的特征根为，不是特征根，所以原方程的特解可设为代入原方程，解得，故所求特解为例5-19 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程的特征根为，不是特征根，所以原方程的特解可设为代入原方程，解得，故所求特解为例5-20 求微分方程的一个特解解 方程的特征方程的特征根为，是二重特征根，不是特征根，所以两个分解方程的特解可分别设为与分别代入两个分解方程，解得，故所求特解为习题5.31求下列各微分方程的通解：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）2求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1），；（2），3判断下列各函数组是线性相关还是线性无关：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与4求下列各微分方程的通解：（1）； （2）；（3）； （4）5求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1），；（2），6求下列各微分方程的一个特解：（1）； （2）；（3）； （4）7求下列各微分方程的通解：（1）； （2）；（3）； （4）8求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1），；（2），5.4 微分方程应用举例 微分方程在实践中有着广泛的应用在实际应用中，常常需要应用微分方程寻求实际问题中的未知函数而要建立微分方程，除了需要数学知识外，往往还需要许多专业方面的知识本节通过举例来介绍微分方程在几何学、电工学及力学方面的一些简单应用例5-21 曲线上点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分求曲线的方程解 如图5-2，设曲线的方程为先建立法线的方程设法线上的动点坐标为，由于法线的的斜率为，于是法线的方程为又因为线段被轴平分，从而与轴交点坐标为，代入上式，得，即用分离变量法解得，其中为任意正数 y y M（x ，y） L x N O x图52例5-22 设有一电路如图5-3所示，电阻，电容，电源电压，开关闭合前，电容电压，求开关闭合后电容电压随时间而变化的规律 K u C i R 图5-3解 设开关闭合后电路中的电流为，电容极板上的电荷为，则有，根据回路电压定律：电容电压与电阻电压之和等于电源电压，即，于是有将，代入，得又因为开关闭合前，电容电压，即从而问题转化为初值问题：用通解公式求得通解 将初始条件代入通解，求得所以，所求特解为此即为所求规律的表达式例5-23 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落的速度成正比（比例系数为常数），起跳时的速度为求跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系解 这是一个运动问题，可利用牛顿第二定律建立微分方程设跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系为，则加速度由于跳伞员在下落过程中所受外力只有重力和空气阻力，于是有，由牛顿第二定律可得速度应满足的微分方程为又因为起跳时的速度为，即其初始条件为所以，这个运动问题可化为初值问题：用分离变量法求出通解为将初始条件为代入通解，解得因此，所求特解为，（为降落伞着地时间），此即为所求函数关系例5-24 物体冷却过程将某高温物体置于空气中冷却，假定空气温度恒为，在时刻时，测得其温度为，分钟后测得温度为已知牛顿冷却定律：物体冷却速率与物体和介质的温差成正比求物体的温度与时间的函数关系，并计算分钟后该物体的温度解 设物体的温度与时间的函数关系为因为热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，从而物体随时间增加而逐渐冷却，所以冷却速率（温度的变化速度），而物体和空气的温差恒为正所以，根据牛顿冷却定律可得又因为在时刻时，测得其温度为，即有从而问题转化为初值问题：，其中为比例常数用分离变量法或通解公式解得将代入，求得故物体的温度与时间的函数关系为将代入，得例5-25 弹簧振动问题设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量为的物体当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹簧恢复力大小相等，方向相反设给物体一个初始位移，初速度，则物体便在其平衡位置附近上下振动已知阻力与其速度成正比，求振动过程中位移的变化规律O x图5-4解 建立坐标系如图5-4所示，平衡位置为原点位移是时间的函数物体在振动过程中受到弹簧恢复力与阻力的作用由虎克定律，有，其中为弹性系数，负号表示弹簧恢复力与位移方向相反；，其中为比例系数（或称阻尼系数），负号表示阻力与速度方向相反根据牛顿第二定律，可得又因为，记，所以上述弹簧振动问题化为初值问题：这是一个二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为，特征根为具体情况讨论如下：（1）大阻尼情形，即这时，特征根是两个不相等实根，所以方程的通解为（2）临界阻力情形，即这时，特征根，所以方程的通解为（3）大阻尼情形，即这时，特征根是一对共轭复根，所以方程的通解为上述三种情形中的任意常数均可由初始条件确定这类振动问题均会因阻尼的作用而停止，称为弹簧的阻尼自由振动习题5.41设过点的曲线上任意点处的切线分别与轴、轴交于点、，且线段被点平分求曲线的方程2在如图5-5所示的电路中，已知开关闭合前，电容上没有电荷，电容两端电压为零，电阻为，电容为，电源电压为把开关合上，电源对电容充电，电容电压逐渐升高求电容电压随时间变化的规律 S E C i R 图5-53将温度为的沸水注入杯中，放在室温为的环境中自然冷却，后测得温度为求水温与时间的函数关系，并计算水温自降至所需时间4设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量为的物体先将物体用手拉到离平衡位置处，然后放手，让物体自由振动若物体所受的阻力大小与运动速度成正比，方向相反，弹簧的弹性系数，阻尼系数求物体的运动规律知识拓展：马尔萨斯（Malthus）模型马尔萨斯（Malthus）模型是最简单的生态学模型给定一个种群，我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间发展变化的为此，我们作出如下假设：模型假设：1.初始种群规模已知，种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的；2.种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；3.种群的出生率和死亡率为常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等；4.环境资源是无限的确定变量和参数：为把问题转化为数学问题，我们首先确定建模中所需变量和参数：时间（自变量），：时刻的种群密度，：瞬时出生率，：瞬时死亡率模型的建立与求解：考察时间段（不失一般性，设），由物质平衡原理，在此时间段内种群的数量满足：时刻种群数量时刻种群数量内新出生个体数内死亡个体数，即亦即 令，可得满足初始条件的解为于是有时，即，则有，时，即，则有，时，即，则有马尔萨斯（Malthus）模型的积分曲线呈“”字型，因而种群的指数增长又称为“”型增长人也是一种生物种群，人口预测问题就是在马尔萨斯（Malthus）模型的基础上通过修改而得以解决。本章小结一、内容提要微分方程偏微分方程常微分方程一阶微分方程可降阶微分方程二阶常系数线性微分方程可分离变量微分方程一阶线性微分方程齐次方程非齐次方程二、学习重点1. 基本概念：微分方程的定义、阶、解、通解、特解、初始条件、初值问题；函数的线性相关与线性无关；二阶常系数线性微分方程解的结构特征；特征方程、特征根等2. 微分方程的解法：（1）一阶微分方程的解法：方程类型方程形式方程解法可分离变量方程分离变量法（分离变量，两边积分）一阶线性方程齐次方程分离变量法或用通解公式非齐次方程常数变易法或用通解公式（2）可降阶微分方程的解法：方程形式方程解法对连续积分次令，原方程化为设其通解为两边积分，即得原方程通解令，原方程化为设其通解为用分离变量法，即得原方程通解（3）二阶常系数线性齐次微分方程的解法(特征方程法)：特征方程的根的情况的通解有两个不相等实根有两个相等实根有一对共轭复根，（4）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法（待定系数法）：自由项的形式的通解为（或）（或）为上述任意两类函数之和，即三、学习难点1. 常数变易法2. 的解法3. 二阶常系数线性微分方程的解法同步练习五1选择题（1）微分方程的通解是（ ）A； B； C； D（2）微分方程满足初始条件，的特解是（ ）A； B； C； D（3）微分方程的一个特解具有形式（ ）A； B； C； D（4）微分方程的一个特解具有形式（ ）A； B； C； D（5）微分方程的一个特解具有形式（ ）A； B； C； D（6）若函数是微分方程的一个特解，则该方程的通解是（ ）A； B； C； D 2填空题（1）微分方程满足初始条件的特解是 （2）有一条过原点曲线在其任意点处的切线斜率为，则该曲线方程是 （3）在其定义区间内，函数与 ，与 （填“线性相关”或“线性无关”）（4）微分方程的通解是 3解微分方程（1）； （2），；（3）； （4） 4有一汽艇以的速度在静水中行进时关闭了发动机，经过后，汽艇的速度减至已知汽艇在静水中行进时受到水的阻力与速度成正比试确定发动机停止后汽艇的速度随时间变化的规律