重点考点-一元二次方程的特殊解法举例

一元二次方程的特殊解法举例解一元二次方程并不是中考单独考查的重点，但它是解题的工具，许多题目都要用到它。熟练掌握解一元二次方程的方法，做到解题快速、准确，是提高成绩必不可少的。常规的公式法等这里不再赘述，只对有些特殊方程特殊解法做一些介绍。一、当方程含未知数的项与完全平方式相近并且系数较大时，常采用配方法解这个方程。例1 解方程x212x=9964。分析：此题常数项绝对值较大，因数较多，采用因式分解法、公式法都不简便，应考虑配方法。解：原方程即x212x36=10000，(x6)2=1002。两边开方，得x6=100，即x1=106，x2=94。二、若一元二次方程ax2bxc=0的系数满足abc=0时，x=1是方程的根，这时可先将方程左端分解出因式x=1。例2 解方程9406x28289x1117=0。分析：这个方程各项系数的绝对值都比较大，用公式法解计算量很大。仔细观察原方程，发现各项系数的和为零，故方程有一根为1。因此方程左边可分解为(x1)(9406x1117)，则另一根为x=。解：观察可知方程有一根为1，则。 x1=1，x2=。 三、当二次项系数比较复杂时，常将二次项系数化为1或化为完全平方数。例3 解方程169x239x2=0。分析：这个方程的二次项169x2=(13x)2，一次项39x=3(13x)，故可将13x整体解出。解：原方程即 (13x)23(13x)2=0。解得 13x=或13x=。 x1=，x2=。例4 解方程6x219x10=0。解：将原方程两边同乘以6，得到 (6x)219(6x)60=0。解得 6x=15或6x=4。 x1=，x2=。四、对于广义的“一元二次方程”，可采用换元法求解。例5 解方程=3。解：令=t，则原方程转化为t=3，即t23t2=0。解得t1=2，t2=1。当=2时，解得x1=，x2=；当=1时，解得x3=3，x4=2。经检验x1、x2、x3、x4都是原方程的根。例6 解方程(x1)(x2)(x3)(x4)=48。解：原方程即(x1)(x4)(x2)(x3)=48，即 (x25x4)( x25x6)=48。设x25x5=y，则原方程变为(y1)(y1)=48。解得y1=7，y2=7。当x25x5=7时，解得x1=，x2=。当x25x5=7时，=(5)24112=230，无实数解。原方程的根为x1=，x2=。说明：本题的换元法也称为平均值换元法，因为y= x25x5。另本题也可设y= x25x4或y= x25x6，同学们不妨试试看，并比较几种换元法的异同点。例7 解方程6x435x362x235x6=0。解：经验证x=0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得 6x235x62=0。即 6()35()62=0。 （）设y=，则=y22。方程（）变为 6(y22)35y62=0。解得 y1=，y2=。当=时，解得x1=3，x2=；当=时，解得x3=2，x4=。说明：换元法解分式方程，是中考命题的一重点，统计2003年全国中考试卷发现，大多数省市都有这一类试题。同学们一定要掌握这一，并能熟练运用。