北京市石景山区高三数学一模试题文含解析新人教A版

此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。2020年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）（2020石景山区一模）设集合M=x|x24），N=x|log2 x1，则MN等于（）A2，2B2C2，+）D2，+）考点：交集及其运算专题：计算题分析：求解二次不等式和对数不等式化简集合M，N，然后直接利用交集的运算求解解答：解：由M=x|x24=x|2x2，N=x|log2 x1=x|x2，则MN=x|2x2x|x2=2故选B点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式及对数不等式的解法，是基础的计算题2（5分）（2020石景山区一模）若复数（ai）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（）A1B1CD考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：利用复数的运算法则化为复数（ai）2=a212ai再根据在复平面内对应的点在y轴负半轴上的特点即可得出解答：解：aR，复数（ai）2=a212ai复数（ai）2在复平面内对应的点（a21，2a）在y轴负半轴上，解得a=1故选A点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义、在y轴负半轴上的点的特点是解题的关键3（5分）（2020石景山区一模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为（）ABCD考点：古典概型及其概率计算公式专题：平面向量及应用；概率与统计分析：利用古典概型的概率计算公式和向量共线定理即可得出解答：解：由题意可得：基本事件（m，n）（m，n=1，2，6）的个数=66=36若，则6m3n=0，得到n=2m满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件因此向量与共线的概率P=故选D点评：熟练掌握古典概型的概率计算公式和向量共线定理是解题的关键4（5分）（2020石景山区一模）执行右面的框图，输出的结果s的值为（）A3B2CD考点：程序框图专题：图表型分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论解答：解：第1次循环，S=3，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，第4次循环，S=2，i=5，第5次循环，S=3，i=6，框图的作用是求周期为4的数列，输出S的值，不满足20202020，退出循环，循环次数是2020次，即输出的结果为3，故选A点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题5（5分）（2020石景山区一模）设aR，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：直线与圆分析：利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案解答：解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y=0与l2：x+（a+1）y+4=0”化为l1：x+2y=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；如果“直线l1：ax+2y=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”必有a（a+1）=2，解得a=1或a=2，所以“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件故选A点评：本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键6（5分）（2020石景山区一模）函数y=2sin（）（0x）的最大值与最小值之和为（）A0B2C1Dl考点：正弦函数的定义域和值域专题：三角函数的图像与性质分析：由给出的x的范围求出的范围，则函数的最值可求，最大值与最小值的和可求解答：解：由0x，得，所以当时，函数y=2sin（）有最小值为当时，函数y=2sin（）有最大值为所以函数y=2sin（）（0x）的最大值与最小值之和为2故选B点评：本题考查了正弦函数定义域和值域的求法，考查了正弦函数的单调性，此题是易错题，往往误认为时取最大值是基础题7（5分）（2020石景山区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（）ABC5D考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可解答：解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为：=故选D点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断出侧棱的最长棱是解题大公鸡，考查计算能力8（5分）（2020石景山区一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法专题：压轴题；新定义分析：根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x0）交点个数即可解答：解：根据题意：当x0时，x0，则f（x）=（x）24（x）=x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x24x，则函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的函数是y=x24x由题意知，作出函数y=x24x（x0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x0）交点个数即可得到友好点对的个数如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2即f（x）的“友好点对”有：2个故答案选 C点评：本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）（2020石景山区一模）函数f（x）=（xa）（x+2）为偶函数，则实数a=2考点：函数奇偶性的判断专题：函数的性质及应用分析：由题意可得f（x）=f（x），即 x2+（a2）x2a=x2（a2）x2a对任意的实数x都成立，由此可得实数a的值解答：解：函数f（x）=（xa）（x+2）为偶函数，f（x）=f（x），即 （xa）（x+2）=（xa）（x+2），即 x2+（a2）x2a=x2（a2）x2a对任意的实数x都成立，a=2，故答案为2点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题10（5分）（2020石景山区一模）在ABC中，若，则C=考点：正弦定理专题：计算题；压轴题分析：利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数解答：解：b=a，根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，sinA=，又ab，得到AB=，A=，则C=故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键11（5分）（2020石景山区一模）在等差数列an中，a1=2020，其前n项和为Sn，若=2，则S2020的值等于2020考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则 =An+B若=2，则可得是以1为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得S2020的值解答：解：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则 =An+B，成等差数列若=2，则 =a1=2020，是以1为公差的等差数列=2020+20201=1，S2020的值等于2020，故答案为2020点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及构造法的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题12（5分）（2020石景山区一模）设抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若AQB=90，则直线l的方程为x=1考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由AQB=90得kAQkBQ=1，建立关系式并化简得y1y2=x1x2+（x1+x2）+1，再根据抛物线的性质将x1x2=1和y1y2=4代入计算，可得x1=x2=1，即可得到直线l的方程解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2）AQB=90，kAQkBQ=1，可得=1，即y1y2=（x1+1）（x2+1）整理可得y1y2=x1x2+（x1+x2）+1（*）直线AB经过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）根据抛物线的性质，可得x1x2=p2=1，y1y2=p2=4代入（*）得：4=1+（x1+x2）+1，可得x1+x2=2结合x1x2=1，可得x1=x2=1，即A、B两点的横坐标相等，直线AB的方程为x=1，即直线l的方程为x=1故答案为：x=1点评：本题给出抛物线的焦点弦AB的端点对点Q（1，0）的张角等于90度，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题13（5分）（2020江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是考点：平面向量数量积的运算专题：计算题分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果解答：解：，=|=，|=1，|=1，=（）（）=2+2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目14（5分）（2020甘肃三模）观察下列算式：l3=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2020”这个数，则n=45考点：类比推理专题：计算题分析：可得规律：第n行的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n行的第一个数为an，累加可得an，计算可得a45=1981，a46=2071，可知2020在第45行解答：解：由题意可得第n行的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n行的第一个数为an，则有a2a1=31=2，a3a2=73=4，anan1=2（n1），以上（n1）个式子相加可得ana1=，故an=n2n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2020在第45行，故答案为：45点评：本题考查类比推理，涉及累加法求数列的通项公式，属基础题三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）（2020石景山区一模）已知函数（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，a=2，求ABC的面积考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理专题：解三角形分析：（）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令 2k2x+2k+，kz，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间（）由已知，可得 sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由 S=absinC，运算求得结果解答：解：（）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x =sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）令 2k2x+2k+，kz，求得 kxk+，函数f（x）的单调递增区间为k，k+，kz（）由已知，可得 sin（2A+）=，因为A为ABC内角，由题意知0A，所以 2A+，因此，2A+=，解得A=由正弦定理 ，得b=，（10分）由A=，由B=，可得 sinC=，（12分）S=absinC=点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理以及根据三角函数的值求角，属于中档题16（13分）（2020石景山区一模）PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级：在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标石景山古城地区2020年2月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示（）计算这10天PM2.5数据的平均值并判断其是否超标：（）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率：（III）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率考点：茎叶图；古典概型及其概率计算公式专题：图表型；概率与统计分析：（I）由茎叶图知：这10天PM2.5数据：21，26，37，59，60，63，85，86，104，107计算出平均数为64.8由于64.8介于35和平力量5之间，属于二级指标，未超标（II）记“他刚好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，利用古典概型及其概率计算公式计算当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（III）由茎叶图知：PM2.5数据在035之间的有21，26PM2.5数据在3575之间的有37，59，60，63从6个数据中抽取2个的情况有：C=15，而这两天空气质量恰好有一天为一级有：24=8个，最后利用古典概型计算公式计算即可得到结论解答：解：（I）由茎叶图知：这10天PM2.5数据：21，26，37，59，60，63，85，86，104，107平均数为=64.864.8介于35和平力量5之间，属于二级指标，未超标（II）记“他刚好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，P（A）=；（III）由茎叶图知：PM2.5数据在035之间的有21，26PM2.5数据在3575之间的有37，59，60，63从6个数据中抽取2个的情况有：C=15，这两天空气质量恰好有一天为一级情况有：24=8个；这两天空气质量恰好有一天为一级的概率P=点评：本题考查茎叶图，等可能事件概率的求法，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题17（14分）（2020石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC=90，PD平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4（I）求证：BDPC；（II）设AC与BD相交于点O，在棱PC上是否存在点E，使得OE平面PAB？若存在，确定点E位置考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（I）利用勾股定理可得DB，利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得BDC=90，即BDDC，再利用线面垂直的性质定理可得PDBD，利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（II）存在点E，使得OE平面PAB，此时在PC上取点E使得，连接OE利用平行线分线段成比例定理可得，而，即可得到OEPA利用线面平行的判定定理即可证明解答：证明：（）在RtABD中，AD=1，AB=4，BD=2ABD=30，DBC=60在BCD中，由余弦定理得DC2=22+42224cos60=12，DB2+DC2=BC2，BDC=90BDDCPD平面ABCD，PDBD又PDDC=D，BD平面PDCBDPC（II）存在点E，使得OE平面PAB，此时证明如下：在PC上取点E使得，连接OE由ADBC，可得OEPA又PA平面PAB，OE平面PAB，OE平面PAB点评：本题综合考查了余弦定理和勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力和推理能力及计算能力18（14分）（2020石景山区一模）已知函数f（x）=ax1lnx，aR（）讨论函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在x=1处取得极值，对x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题专题：导数的综合应用分析：对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可解答：解：（）在区间（0，+）上，（1分）若a0，则f（x）0，f（x）是区间（0，+）上的减函数； （3分）若a0，令f（x）=0得x=在区间（0，）上，f（x）0，函数f（x）是减函数；在区间上，f（x）0，函数f（x）是增函数；综上所述，当a0时，f（x）的递减区间是（0，+），无递增区间；当a0时，f（x）的递增区间是，递减区间是（6分）（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f（1）=0解得a=1，经检验满足题意（7分）由已知f（x）bx2，则 （8分）令，则 （10分）易得g（x）在（0，e2上递减，在e2，+）上递增，（12分）所以g（x）min=，即 （13分）点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值掌握不等式恒成立时所取的条件19（13分）（2020石景山区一模）设椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，左焦点F1到直线l：的距离等于长半轴长（I）求椭圆C的方程；（II）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，O），求实数m的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）由离心率为得，所以F1（a，0），由F1到直线l的距离为a，所以解得a，从而得c，由b2=a2c2得b；（II）由（I）知F2（1，0），设直线l的方程为：y=k（x1），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，易知恒有0，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理及中点坐标公式可得MN中点的坐标，分情况讨论：当k=0时易求m值；当k0时写出MN中垂线方程，令y=0得m，变形后用基本函数的范围即可求得m的范围，综合两种情况即可求得m的取值范围；解答：解：（I）由已知，可得F1（a，0），由F1到直线l的距离为a，所以，解得a=2，所以c=1，b2=a2c2=3，得b=，所以所求椭圆C的方程为；（II）由（I）知F2（1，0），设直线l的方程为：y=k（x1），由消去y得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，因为l过点F2，所以0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x22）=，所以MN中点（，），当k=0时，MN为长轴，中点为原点，则m=0，当k0时MN中垂线方程为y+=，令y=0，得m=，因为，所以，可得0m，综上可知实数m的取值范围是0，）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分析解决问题的能力，解决该类题目常用的知识为韦达定理、判别式等，应熟练掌握20（13分）（2020石景山区一模）给定有限单调递增数列xn（nN*，n2）且xi0（1in），定义集合A=（xi，xj）|1i，jn，且i，jN*若对任意点A1A，存在点A2A使得OA1OA2（O为坐标原点），则称数列xn具有性质P（I）判断数列xn：2，2和数列yn：2，l，1，3是否具有性质P，简述理由（II）若数列xn具有性质P，求证：数列xn中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0：若x1=1，xn0且xn1，则x2=l考点：等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性专题：等差数列与等比数列分析：（）数列xn具有性质P，数列yn不具有性质P，利用新定义验证即可得到结论；（II）取A1（xk，xk），根据数列xn具有性质P，可得存在点A2（xi，xj）使得OA1OA2，即xkxi+xkxj=0，从而可得结论；由知，数列xn中一定存在两项xi，xj，使得xi+xj=0，根据数列是单调递增数列且x20，可得1为数列中的一项，利用反证法，即可得到结论解答：（）解：数列xn具有性质P，数列yn不具有性质P对于数列xn，若A1（2，2），则A2（2，2）；若A1（2，2），则A2（2，2），具有性质P；对于数列yn，当A1（2，3），若存在A2（x，y）满足OA1OA2，即2x+3y=0，=，数列yn中不存在这样的数x、y，不具有性质P（II）证明：取A1（xk，xk），数列xn具有性质P，存在点A2（xi，xj）使得OA1OA2，即xkxi+xkxj=0，xk0，xi+xj=0由知，数列xn中一定存在两项xi，xj，使得xi+xj=0又数列是单调递增数列且x20，1为数列中的一项，假设x21，则存在k（2kn，kN*），有xk=1，0x21， 此时取A1（x2，xn），数列xn具有性质P，存在点A2（xt，xs）使得OA1OA2，x2xt+xnxs=0所以xt=1时，x2=xnxsxsx2，矛盾；xs=1时，1，矛盾，所以x2=1点评：本题考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大