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4.2.2 圆与圆的位置关系疱丁巧解牛知识巧学一、判断圆与圆的位置关系 设两圆分别为圆O1、圆O2，试利用两圆的方程研究两圆的位置关系.1.代数法：代数方法的实质仍是通过方程组解的个数得到交点个数，从而决定位置关系.可以建立适当坐标系，设两圆的方程，联立方程组研究其公共解的组数来解决.但过程烦琐，位置关系还得借助图形(例如方程组只有唯一一组解，这时两圆是内切还是外切呢)，因此说利用代数方法研究圆的位置并不方便，不是理想的方法.2.几何法：设两圆圆心距为d，两圆半径分别为r1、r2，则dr1+r2，两圆外离；d=r1+r2，两圆外切；r1-r2dr1+r2，两圆相交；d=r1-r2，两圆内切；dr1-r2，两圆内含.方法归纳 判断两个圆的位置关系有两种，第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较为烦琐，故使用较少，在研究两圆的位置关系时，显然几何法是比较实用、比较直观、比较简单的方法. 具体如下：设两圆圆心距为d，两圆半径分别为r1、r2， 圆与圆的位置关系可分为相离、相切、相交、内含，其判断方法是几何法.设圆O1的圆心为O1，半径为r1，圆O2的圆心为O2，半径为r2. 两圆相交|r1-r2|O1O2|r1+r2; 两圆相切 两圆相离|O1O2|r1+r2; 两圆内含|O1O2|r1-r2|.二、圆系方程 我们知道两圆相交(相切)有两个(或一个)交点，经过这些交点可作无穷多个圆，这无穷多个圆可组成一个圆系.常见圆系方程有如下几种：(1)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+=0；(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0；(3)过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1), 此圆系不含圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0.联想发散 对过两已知圆的圆系方程，当=-1时，得到（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0，此为两圆公共弦所在直线方程.因此，如果两圆相交，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在直线的方程. 由此可推广：经过两曲线f(x,y)=0,g(x,y)=0交点的曲线系方程为f(x,y)+g(x,y)=0.问题探究问题1 以已知线段AB为弦作出两个不同的圆，这时两个圆的方程是否能确定？反过来，如果已知两个确定的圆相交于两点C、D，那么CD所在的直线的方程能否确定呢？探究:由于以线段AB为弦的圆有无数多个，所以随机作出的两个不同的圆的方程不能确定.而当两圆确定时，如果它们相交，则有且只有两个交点，这两个交点就确定了两个圆的公共弦所在直线的方程，故CD所在直线的方程是确定的.问题2 向平静的池塘水面随便抛掷两颗石子，则落水后它们各自发出了以石子落下水的点为圆心，半径在不断扩大的圆，你能想象出抛掷后在同一时刻它们所发出的两个圆的位置关系吗？探究:由于抛掷的前后时间不同，抛掷的地点不同，容易想象，抛掷后同一时刻两颗石子发出的圆可能有外离、外切、相交、内切、内含等各种情况.典题热题例1 实数k为何值时，两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交、相切、相离？思路解析：利用两圆的圆心距与半径的和与差的关系判断.解：将两圆的一般方程化为标准方程，C1:(x+2)2+(y-3)2=1，C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心为C1(-2,3)，半径r1=1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2=(当k50时). 从而|C1C2|= 当，即k=34时，两圆外切. 当|=5,即,k=14时，两圆内切. 当14k34时，则，即r2-r1|C1C2|r2+r1，此时，两圆相交. 当k14或34k50时，两圆相离.深化升华 给出两圆的方程判断两个圆的位置关系，一般情况下，先把圆的方程配方为标准方程后，求得圆心和半径，利用几何法去判断两圆的位置关系.例2 (2020江苏高考)如图4-2-1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM=，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.图4-2-1思路解析：建立适当的直角坐标系，而题中的等量关系是同一点出发的两切线的长间的关系，由直线与圆相切，由勾股定理得出切线长，构成方程化简即可.解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1(-2，0)，O2(2，0)， 由已知PM=，得PM2=2PN2. 因为两圆的半径均为1，所以. 设P(x,y)，则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即(x-6)2+y2=33. 所以所求轨迹方程为(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0).方法归纳 求动点的轨迹方程时，先要观察原题中是否已有坐标系，没有的话要先建立适当的直角坐标系.设轨迹上任一点坐标(x，y)，由题中条件列出关系式求解，常用的方法有直接法、代入法和定义法等.并且要注意对最后得到的结果进行检验，看是否有多余的解或漏掉的解.例3 已知两个圆C1：x2+y2=4，C2：x2+y2-2x-4y+4=0，直线l：x+2y=0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程.思路解析：所求圆经过C1、C2的交点，故可用圆系方程求解.圆与直线相切的问题可利用圆心到切线的距离等于半径.求经过两圆交点的圆可考虑圆系，但要考虑-1，另外由于圆系中不包括圆x2+y2=4，因此应检验圆x2+y2=4是否也满足条件.解：设所求圆的方程为x2+y2+4-2x-4y+(x2+y2-4)=0， 即(1+)x2+(1+)y2-2x-4y+4(1-)=0. 所以圆心为()， 半径为， 即. 解之，得=1，舍去=-1， 故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.深化升华 过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1),要注意此圆系不能表示圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0.
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