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1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点_个解析：当f(x)0时，f(x)单调递增，f(x)0时，f(x)单调递减极小值点应有先减后增的特点，即f(x)0.由图象可知只有1个极小值点答案：12关于函数的极值，下列说法正确的是_导数为零的点一定是函数的极值点函数的极小值一定小于它的极大值f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案：3函数f(x)x3ax2bxa2，在x1时有极值10，则a、b的值为_解析：f(x)3x22axb，因在x1处f(x)有极值，所以f(1)0，32ab0.又f(x)极值10，f(1)1aba210，即a2ab90.由得a2a120.a3，或a4.或但当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，f(x)在R上单调递增，不存在极值，舍去故a4，b11.答案：4,114函数f(x)x36xa的极大值为_，极小值为_解析：f(x)3x263(x)(x)令f(x)0得x1，x2.当x0；当x时，f(x)时，f(x)0.f(x)的极值为f(x)极大值f()4a.f(x)极小值f()4a.答案：4a4a一、填空题1已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_解析：f(x)3x22axa6，依题意得0即4a243(a6)0，解得a6或a6或a0，则x0.因此在区间，上，当x，0时，函数为增函数；当x0，时，函数为减函数根据极值定义，函数在区间，上的极大值点为x0. 答案：04直线ya与函数yx33x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是_解析：易求当x1时有y极大值2，当x1时有y极小值2，由函数yx33x的图象可知，若直线与函数图象有三个不同交点，则y极小值ay极大值，所以2a0)，01，0b.答案：0b7若函数f(x)x2x在x0处有极小值，则x0等于_解析：yx2x，y2xx2xln22x(1xln2)令y0可得：x.当x时，y0.x为极小值点答案：8已知函数f(x)x3x22xm的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是_解析：由于f(x)x2x2，令f(x)0，得x2或x1.当x0，f(x)是增函数；当2x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)是增函数，f(x)在x2时取得极大值，且f(2)m；f(x)在x1时取得极小值，且f(1)m，因此要使函数f(x)的图象不经过第四象限，应使其极小值不小于零，即m0，m，故m的取值范围是m.答案：m二、解答题9设函数f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，求实数a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(，)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：(1)f(x)18x26(a2)x2a，令f(x)0，由题意知，18x26(a2)x2a0的两根为x1，x2，x1x21，a9.(2)由f(x)18x26(a2)x2a，开口向上，36(a2)2818a36(a24)0恒成立，18x26(a2)x2a0有两个不等根故不存在a使f(x)单调10已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解：(1)f(x)3x23a3(x2a)当a0，当a0时，由f(x)0解得x，由f(x)0解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，f(x)的单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0.a1.f(x)x33x1，f(x)3x23.由f(x)0解得x11，x21，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(3,1)11设函数yx3ax2bxc的图象如图所示，且与y0在原点相切，若函数的极小值为4.(1)求a、b、c的值；(2)求函数的递减区间解：(1)因为函数的图象经过点(0,0)，易得c0.又图象与x轴相切于点(0,0)，且y3x22axb.故03022a0b，解得b0.所以yx3ax2，则y3x22ax.令y0，解得x0或xa，即x0和xa是极值点由图象知函数在x0时取极大值，故在xa时取极小值当xa时，函数有极小值4，所以3a24，整理得a327，解得a3.故a3，b0，c0.(2)由(1)得yx33x2，则y3x26x，令y0，即y3x26x0，解得0x2，所以，函数的递减区间是(0,2)
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