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摘 要在经济迅猛开展的今天，数学在经济上的应用越来越重要，数学越来越被人们关注并加以应用，并产生了事半功倍的效果.不敢预测也不可能断言，在未来的经济学理论研究中数学会占据统治地位，但是数学越来越渗透到经济学研究中并且发挥着越来越重要的作用已成为事实.而且还应当说，经济学不仅应用了数学，而且还会不断地应用着数学中最新的成果.因为数学家也在致力于解决能够描述复杂现象的数学.经济学家与数学家的合作，将会推动经济学与数学的共同开展.本文通过大量资料，采用研究总结与案例结合的方法，阐述了数学在经济方面的应用的应用历程以及数学在经济方面的重要应用与出现的问题；探讨了微分、积分、导数等方面在经济中的应用，并论证了数学在经济方面作用，得出了未来数学将在经济领域起到的作用会越来越大.关键词：微分；积分；导数；经济目 录引 言1第一章 数学在经济学中的应用历程及作用2数学在经济学中的应用历程2数学在经济方面重要的作用3早期数学在经济方面的重要作用31.2.2 近代数学在经济方面重要的应用4经济数学化下的走向6第二章 数学在经济方面的一些应用82.1 导数在经济中的应用82.1.1 导数的概念8导数在经济方面的应用82.2 微分在经济方面的一些应用10微分的概念102.2.2 微分在经济方面的一些应用10积分在经济方面的应用11积分的概念11积分在数学方面的应用12多元函数的应用20多元函数的定义20多元函数的实际应用21结 论27参考文献28谢 辞29引 言随着社会的开展，数学与经济学相互促进共同开展已被越来越多的人认识和接受.在现代信息社会，数学与经济的结合日益密切，数学对经济研究的开展、深化无论在过去、现在还是将来都起到不可无视的作用，滥用数学和盲目摒弃都不是可取之路，必须科学地、高水平地将数学应用于经济学中，才能促进经济学的长远开展.无数经济问题需要数学来解决，包括经济预测管理、决策优化、资源开发与环境保护、信息处理和质量控制、设计与制造和大型工程.在解决这些问题中，高等数学中的导数、微分、积分等数学知识起了重要作用.同时应用经济的开展又不断向数学提出新的挑战.不敢预测也不可能断言，在未来的经济学理论研究中数学会占据统治地位，但是数学越来越渗透到经济学研究中并且发挥着越来越重要的作用已成为事实.而且还应当说，经济学不仅应用了数学，而且还会不断地应用着数学中最新的成果.因为数学家也在致力于解决能够描述复杂现象的数学.经济学家与数学家的合作，将会推动经济学与数学的共同开展.我们数学人应努力投入到数学经济的研究中，为国家经济做奉献.第一章 数学在经济学中的应用历程及作用最早应用数学方法解决经济问题的，有资料证明可追溯到十七世纪后期，当时英国最著名的古典经济学创始人威廉配第(见图一，William.Petty， 16231687年)在?政治算术?中提到“通过引入算术、量化等手段对经济结构和政治事件进行分析，进而得出英国有可能成为世界贸易霸主的结论，这是经济学家首次在在经济中应用数学方法.图威廉配第之后，数学在经济学中的应用呈快速开展的趋势，尤其是在近代以来，从近年来诺贝尔经济学奖的获得者中可以看出这一结论.在获得诺贝尔经济学奖中的经济学家中，他们的论著中绝大多数都用到了数学工具，而一些获奖者他们本身就是出色的数学家，其它的也大多有着深厚的数学功底. 从威廉配第第一次将数学方法应用到经济学中开始至今，数学在经济学中的应用范围不断扩大，越来越触及更高层次的经济领域，从而促进经济的开展.这与人类认识这个世界，改造这个世界的进程是一致的.十七世纪末到十九世纪初，经济研究中引入了数学，经济学者开始一点一点尝试与数学结合，实现经济研究方法上的进一步开展.这一期间的应用一般以初级数学为主，经济学家开始用初等函数构建最普通、最根底的模型视图来解决、发现经济问题.此外，他们还通过曲线运动，表格，等式等形式来表达当时的经济变量.那时比拟典型的代表人物是弗朗斯瓦魁奈(Francois Quesnay16941774 ，李嘉图David Ricardo17721823和亚当斯密Adam Smith，17231790年.他们通过自己的努力开创了将数学应用到经济学中的先河，这段时间被认为是数学在经济学中应用的萌芽时期. 图 李嘉图 十九世纪二十年代到四十年代是数学在经济学中应用的形成时期.在这一阶段，经济学中开始广泛地应用高等数学，线性代数、概率论、微积分等.经济学通过数学解决了一些实际问题的同时，开拓了新的研究领域，为一些新的研究方法的诞生奠定了根底.二十世纪四十年代开始至今是数学在经济学中应用的广泛开展时期.各领域的数学思想应用到经济研究中，产生了大量新的研究理论，出现了巨量的成果，也因此衍生出其他很多学派.研究的问题从最初简单变为复杂，复杂贴近于现实.边际分析，回归分析，博弈论分析，均衡分析、经济增长模型等都广泛地被作为解释、研究经济问题的数学工具.早期数学在经济方面的重要作用数学被誉为科学的皇冠，对人类改善世界，创造创造，自然科学的开展都做出了重大奉献，同样，数学在经济学研究中也起了非常重要的作用.从某种意义上来说，是数学加快了经济学的开展，无论是从古典经济相信古典经济学的转变，还是从“边际革命到凯恩斯主义的转变，都与数学的应用有重要的关系.早期数学在经济学中的作用有着以下几点：1. 作为论证经济学理论的重要工具.一个经济理论的产生，通常提出后还要不断地通过论证才能证明其价值性.数学有很强的逻辑性和推理性，用数学可以对经济学理论进行推导，如果在数学上通不过，肯定其中存在一定的问题，就需要再重新思考理论.这时可以通过数学文字来进行论证，需要大量的篇幅，但仍然没有较强的说服力，如果借助数学方法，经过数学论证的理论，就更容易被接受.如凯恩斯John Maynard Keynes18831946的?就业、利息、货币通论?经过凯恩斯学派的开展成为IS-LM模型，间或了其中的推论过程，让结果更加直接、明显.用数学方法虽然不是万能的，但它可以至少保证经济理论在逻辑上不出现错误，有助于正确理论的产生.2作为简单明了的表达工具.数学最直观的特点就是简明扼要.如果用文字的表达方式，由于不同的学者所使用的语言，翻译时存在的障碍，表达上存在的歧义，理解上的偏差等等都致使对研究成果造成误解，曾经就有一些学者因为表达方式不当使得他们的研究成果发表很长一段时间后都得不到其他人的认可.而使用数学语言，可以简单明了的表达所要的思想.如宏观经济学上的国民收入可以简明的列为Y=C+I+G+(X-M),这样就可以用一个等式说明影响它的各个变量，继而研究各个变量的变化对总体的影响，通过这样的方法，可以简化研究时一些不必要的程序.3. 提供量化的工具.传统的经济研究，通过用思辨式的议论方法得出结论，这样定性的分析只能提供大概、总括的估计，其中存在着众多的不确定性，不利于让人信服，不利于政策的实施执行，不利于具体问题的解决.二通过量化这样的思路，可以将那些看似杂乱无章的资料整理加工起来，综合考察经济活动中的各个变量，进而研究经济现象，探索经济活动中存在的规律.例如在微观经济学中的边际、均衡等问题中，通过衡量就可以得出具体的数据，对时间有很大的指导意义.另外还可以看到数学在金融产品，衍生工具定价的问题中所起的重大作用，就是量化所提供的强大功能.1.2.2 近代数学在经济方面重要的应用 在现代信息社会，数学与经济的结合日益密切，无数经济问题需要数学来解决，经济的开展又不断向数学提出新的挑战.博弈论大师、著名数学教授约翰纳什提出的“纳什均衡及其后续理论不仅影响了数学界，而且改变着整个经济学乃至整个社会科学的面貌.1994年，约翰纳什JohnF Nash 1928教授因为对“非合作博弈均衡分析以及对博弈论的奉献，荣获诺贝尔经济学奖.世界经济体制在信息社会中正处于深刻的变革时期，数学已经迎来了无限光明的前途.近代数学在经济学中的作用有着以下几点：1应用于经济预测管理与决策优化 在经济和管理中，预测非常重要.是管理资金投放、商品产销、人员组织等方面的决策依据.经济的开展需要各种资源的优化组合，需要抉择目标和抉择经营管理方式，在多种策略中选取其一以获得最大利益.这要求数学的目标函数到达极大，目标函数也可代表损失，于是要求它到达极小.这类问题往往化为求目标函数的条件极值或者化为变分问题.优选法、线性规划、非线性规划、最优控制等都致力于开展优化问题. 2应用于资源开发与环境保护 通过数学理论和万法，可以分析人工地震的数据，以推断地质的构造，为探寻我国石油、天然气的储藏位置提供依据.运用数理统计、Fourier分析、时间序列分析等数学方法，我国成功地开发了具有先进水平的地震数据处理系统.近年来还用波动方程解的偏移叠加、逆散射等方法处理地震数据等.另外，建立了一套地下水资源评价的理论和方法，取得了实际效益，并在农田灌溉及理论开展上得到许多成果.数学工作者对江、湖、河口的污染扩散、土壤洗盐等问题成功地进行了分析和模拟；对于城市的交通、管理自然条件和社会的容纳力进行深入的开展预测和评价. 3应用于信息处理和质量控制 电子商务已经成为经济开展的重要平台，在信息通讯中运用数学由来已久，如传统的编译码、滤波、呼唤排队等.近年来，长途 网络系统、移动通讯系统、国际互联网系统中出现的数学问题更为可观.目前，我国应用数学原理，开展了计算机指纹自动识别，开展成功了新一代图像数据压缩技术，开展成功了计算机视觉，创造了从单幅图像定量恢复三维形态的代数方法、应用模式识别和信息论，在时间序列和信号分析的开展中取得新的进展.应用代数编码，使计算机本身具有误差检测能力，提高了计算机的可靠性.提高产品质量是国民经济中的一个关键问题，针对工业系统性能可靠性要求，产生了可靠性抽样检查、质量控制等新的数学方法，收到了良好的效果. 4应用于设计与制造和大型工程 数学在制造业中的应用进入了新阶段.数学设计技术和计算机技术密不可分，数学设计技术成果可应用于飞机、汽车、船体、机械模具、服装、首饰等设计.可以运用数学原理，对各项工程设计以周密的计算来提供精确的数据，大型工程尤其如此.我国数学家设计了一批工程计算专用程序，在国家重点工程建设中发挥了作用，如三峡水利工程是举世关注的超大型工程，其中一个严重的施工问题是大体积混凝土在凝结过程中化学反响产生的热，它使得坝体产生不均匀应力甚至形成裂缝，危害大坝平安.以往的方法是花大量财力进行事后修补.现在我国已研制成可以动态模拟混凝土施工过程中温度、应力和徐变的计算机软件.人们可用计算方法分析、比拟各种施工方案以实现工程最优化，还可用它来对大型工程建成后的运行进行监控和测算以保障平安. 5应用于农业经济 我国数学工作者在分析了我国传统的生态农业思想与人类开发关系等问题之后，提出了一个生态农业经济开展及整治的理论框架与行动措施，建立了许多数学模型.其中包括：一般水环境整治与扩建水电能源的投入产出与经济系统的优化、林业开发与土地资源开发等优化模型.同时，我国运用数学、生物、化学与经济开展交叉的开展成果，建立了平原农业资源配置的数学模型和资源配置规划.运用线性规划、对策论参数规划等数学工具，建立了多地区的种植业和畜牧业，制定最优的结构布局方案，采用模糊聚类分析方法，建立了水产业最优结构的模型，为农村剩余劳力提出了合理转移方案.数学被广泛地应用到经济研究中，使得经济学的领域不断扩大.经济理论更加成熟和丰富，其成果也更具有可操作性和现实性，然而同时我们也须看到它存在的缺乏和可能导致的不良现象，因此必须加以防范，促进经济学的开展.首先，要辩证地看待数学在经济学中的作用.既不要迷信它，也不要盲目地加以否认.俗话说：“知其然亦知其所以然，既要明白它的优越性，同时也要看到它的缺乏，真正地做到取长补短.其次，要给予经济思想足够的重视.经济思想决定经济研究大的原那么方向，对促进研究的正确持续顺利进行有着重大意义，如果迷失大的原那么方向，可能导致研究的最终失败.第三，简单、实用、科学原那么.在应用数学的过程中，应该明确它只是一个工具，而该工具的作用就是让经济研究变得简明、清晰、科学.能用简短文字表达的就使用文字表述清楚，需要借用数学形式的，要用简单科学的方式表达，而不是为了现实理论的深奥、追赶时髦而被动地应用，那样会起到画蛇添足的作用.第四，要善于学习先进的数学方法，并将其应用到实践当中.数学作为经济研究的重要工具，已经产生了巨大的成就，这显然是极大的生命力，而且也是可行的.所以要认真学习先进的数学方法，利用数学逻辑的严密性，数学符号的简明性，为解决经济问题，解释经济现象做好铺垫.第二章 数学在经济方面的一些应用 导数在经济中的应用 导数的概念在经济和管理中，预测非常重要.是管理资金投放、商品产销、人员组织等方面的决策依据.经济的开展需要各种资源的优化组合，需要抉择目标和抉择经营管理方式，在多种策略中选取其一以获得最大利益.这要求数学的目标函数到达极大，目标函数也可代表损失，于是要求它到达极小.这类问题往往化为求目标函数的条件极值或者化为变分问题.优选法、线性规划、非线性规划、最优控制等都致力于开展优化问题.定义 设函数 ，在附近有定义，对应于自变量的任一该变量，函数的该变量为 ，如果极限存在，那么此极限值就称作函数在点的导数也叫微商,记为，这时我们就说在点导数存在，或者说在点可导.函数 在 的导数 就是函数 在 的平均变化率的极限，即函数 在 的变化率， 刻画了当自变量在 有1个单位的改变时，函数 在 相应地有 个单位的改变.导数在很多实际中有应用，利用导数与经济学的联系，可以解决一些经济经济学中的实际问题.2导数在经济方面的应用如果某公司生产某种商品的总本钱函数为 ，其中 为该商品的生产量， 为生产 个单位该商品的总本钱，那么导数 表示当产量在 有1个单位的改变时，该公司的总本钱在 将会有 个单位的改变.如果某公司生产某种商品的平均本钱函数 ，其中 为该商品的生产量， 为生产 个单位该商品的平均本钱，那么导数 表示当产量在 有1个单位的改变时，该公司的平均本钱在 将会有 个单位的改变.如果某公司销售某种商品的总收入函数为 ，其中 为该商品的销售量， 为销售 个该商品的总收入，那么导数 表示当销售量在 有1个单位的改变时，该公司的总收入在 将会有 个单位的改变.例1 某公司某产品的日生产能力为500台，某日产品的总本钱C千元是日产量x台的函数： .求（1） 当产量为400台时的总本钱；（2） 当产量为400台时的平均本钱；（3） 当产量为400台时总本钱的变化率.解 1当产量为400台时，总本钱为 （2） 当产量为400台时，平均本钱为 3因为 ，所以当产量为400台时总本钱的变化率为 上式中， .例2 设某家具的需求函数为 ，其中 为家具的销价格，单位为元， 为该家具的需求量，单位为件.求当销售量分别为件时总收入的变化率，并解释所得到的结果. 解 由需求函数 ，得价格 总收入函数为 所以 上述计算说明：当家具的销售量为450件时，再多销售1件家具，那么总收入将增加100元；当家具的销售量为600件时，再多销售1件家具，那么总收入不会增加；当家具的销售量为750件时，再多销售1件家具，总收入反而减少100元. 微分在经济方面的一些应用2.微分的概念 微分是数学专业一门重要的分支，其解法和理论已经很完善，可以为分析和求得方程的解或数值解提供足够的方法，使得微分具有极大地普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵. 定义设函数在的邻域内有定义，及在此区间内.如果函数的增量可表示为其中A是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，且称作幻术在点相应于自变量增量的微分，记作，即当充分小时，.利用此关系可以简化运算，这是微分的近似计算.2 微分在经济方面的一些应用例1 某种载重卡车行驶500mile路程的总本钱美元是其平均速率的函数 试求当平均速率由55 mile/h增加到58 mile/h 时, 其总本钱改变量的近似值.解 所以 计算结果说明：当平均速率由55 mile/h增加到58 mile/h 时, 其总本钱将减少1.46美元.这可以局部解释许多独立行使的载重卡车的平均速率会超过55 mile/h最高限速的原因.例2.某公司的广告的支出千元与总销售额千元之间的函数关系为如果该公司的广告支出从100000元增加到105000元，试估计该公司销售额的改变量. 解 即求销售额的改变量的近似值，所以 销售额大约增加305000元.积分的概念 假设在某一区间上，那么在这个区间上，函数叫做函数的原函数. 我们把函数的原函数的一般表达式称为该函数的不定积分. 设是定义在上的有界函数，在中任意插入假设干个分点来划分区间，并在每一个局部区间中任取一点，作和式个区间，其中，设为中的最大数，即当时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖于的选择，也不依赖与对区间的分法，就称此极限值为在上的定积分，记作即 积分在数学方面的应用随着市场经济的不断开展，利用数学知识解决经济类问题显得越来越重要.在经济分析中，我们常用积分来求某经济总量及变动值，并通过对经济总量变动值的综合分析比照，对企业的经营决策及时做出正确的调整.本文结合几个经济分析中的实际问题，谈谈定积分在广告策略，消费者剩余和生产者剩余，国民收入分配及无穷积分在仓库供给的订货分析中的应用.一 需求函数和供给函数1设需求函数，其中是需求量，是价格，当时，需求量最大.设最大需求量为，即.假设边际需求函数为，那么总需求函数为 ，其中，积分常数可由条件确定.也可由定积分求得需求函数 .2设供给函数，其中是供给量，是价格当时，供给量为0.假设边际供给函数为，那么供给函数为 ，其中，积分常数可由条件确定.也可由定积分直接求出供给函数 例1某企业每月销售额是10000元，平均利润是销售额的10%.根据企业以往经验，广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线t以月为单位，企业现需决定是否举行一次类似的总本钱为1300元的广告活动.按惯例，对超过1000元的广告活动，假设新增销售额产生的利润超过广告投资的10%,那么决定做广告.试问该企业按惯例是否应该做此广告？解12个月后总销售额是当t=12时的定积分，即总销售额为元公司的利润是销售额的10%，故新增销售产生的利元由于1560元是花费了1300元的广告费而得到的，因此，广告所产生的实际利润是1560-1300=260元，这说明盈利大于广告本钱的10%，故企业应该做此广告.例2某产品总本钱关于产量的变化率为， ，求：（1） 总本钱函数；（2） 当产量从2百台增加到4百台时，本钱增加了多少？解 1由即代入上式得到，所以本钱函数 （3） 当产量从2百台增加到4百台时，本钱增加量为故本钱函数为，当产量从2百台增加到4百台，本钱增加了14万元.例3 某杂志目前的发行量为每周3000本，总编辑方案从现在开始，杂志周发行量的增长率为单位：本/周，求从现在起75周该杂志的发行量将是多少？解 设从现在起周该杂志的发行量为，由可得周发行量的增长率为 所以 ，将，代入上式得到 故从现在起周的发行量为 因此 所以，从现在起75周的发行量为8925本.例4 某商品需求量是价格的函数，最大需求量为100，边际需求为，求需求量与价格的函数关系.解 由求需求函数的不定积分公式可求得再由，代入上式，求得，所以需求量与价格的函数关系是或者 由求需求函数的定积分公式可直接求得例5某种名牌女士鞋价格元关于需求量百双的变化率为，如果销售量百双时，每双售价为500元，求这种名牌女士鞋的需求函数.解 由可求出价格和需求量的函数关系由时，代入上式，求得，得到需求函数为 显然，价格越低，需求量越大，这与我们日常生活想吻合的.例6假设上例中女士鞋单价元关于日供给量百双的变化率为：，如果每双的售价为50元时，供给量为200双/天，求这种名牌女士鞋的日供给函数.解 由可求出价格和供给量的函数关系当时，代入上式得，求得所以 整理得 二 总本钱函数设产量为时的边际本钱为，固定本钱为，那么产量为时的总本钱函数由前面的边际分析可得到 ，其中，积分常数可由条件确定.也可由定积分求出总本钱函数 其中，是固定本钱，为可变本钱.例7 如果某企业生产一种产品的边际本钱为，固定本钱，求总本钱函数.解 由定积分求总本钱的公式可得例8某跨国公司制造一种便捷式烤炉，生产这种烤炉的日边际本钱为，表示这种产品每天的生产量，生产这种产品的固定本钱为800美元/天.1求总本钱函数2该公司生产该产品为300台/天时，总本钱是多少？3日产量由200台变化到300台时，公司的生产本钱是多少？解1 1由不定积分有 由有固定本钱为，代入上式，得到，得总本钱函数为2由1求出的本钱函数得到3日产量从200台变到300台时，生产本钱为 解 2 1利用定积分有 2 所以有 3三 总收入函数设销量为时的边际收入，那么销量为的总收入函数可由 求得，其中积分常数由销量为0时总收入为0，即求出.也可由定积分的方法求得例9生产某产品单位时的边际收入为百元/单位，求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再生产20个单位时所增加的总收入.解 由定积分求总收入函数公式可得所以生产40个单位时的收入为，平均收入为 ，如果再增加生产20个单位，那么总收入增加为 可见，增加生产量，收入不一定会增加.如何安排生产，使收入最大化，是值得重视的问题.例 10 劳力士表公司的管理者证实，该公司每天销售旅游手表的边际收入函数为其中是销售量，1求出收入函数2求出需求函数旅游手表销售数量和销售单价的关系解 1由定积分有 2设销售单价为，那么有， 又由1有， 所以 ，故所求需求函数为 四 利润函数设某产品边际收入为，边际本钱为，那么边际利润 ，所以有利润 即有 ，其中，称为销售为时的毛利润，即没有计算固定本钱时的利润.例11 某产品的边际收入，边际本钱固定本钱为，求当时的毛利润和纯利润.解 由，得边际利润，由求销量为时毛利润的公式得到当产量时的毛利润为，又固定本钱为，所以纯利润为.五 边际经济函数，求该经济函数的增量边际经济函数，求其原经济函数当自变量从变化到时原函数相应的增量：由不定积分先求出原函数 ，那么增量 .由定积分可直接求得增量为 例12 设某产品的生产是连续生产的，总产量是时间的函数，如果总产量的变化率为单位：吨/日，求投产后从到这27天的总产量.解 例13某种产品的销售增长率服从，式中以年为单位，求前5年的总销售量.解 设销售量关于时间的函数为，由有所以 六 由边际函数求最优化问题根据求函数极值的方法，下面我们讨论经济中的一些最优化问题.例14某商品的边际本钱为万元/台，固定本钱为100万元，又该商品的销售收入函数为万元，求（1） 使利润最大的销售量和最大利润2在获得最大利润的销售量的根底上，再销售20台，利润将减少多少？解 1设利润函数为，由有，令求得唯一驻点所以当时，利润最大又故所以最大利润为万元例15 某精密机器公司在一个月的生产周期内生产全自动电子闪光灯，估计边际利润函数为：+20元/件，生产量是件，该公司生产和销售这些电子闪光灯的总本钱是16000元.问为何值时，该公司在一个月内的收入可到达最大？收入的最大值是多少？解 设利润函数为，由有所以边际收入函数 =-0.004x+20,由，得唯一驻点=5000.又，所以当x=5000件时，收入最大，最大收入为多元函数的应用多元函数的定义定义2.5 设为一个非空的 元有序数组的集合，为某一确定的对应规那么.假设对于每一个有序数组，通过对应规那么f，都有唯一确定的实数与之对应，那么称对应规那么为定义在上的元函数.记为 ，. 变量称为自变量；称为因变量.当时，为一元函数，记为;当时，为二元函数，记为，二元及以上的函数统称为多元函数.多元函数的实际应用多元函数条件机制在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和组成分析等问题上都有广泛的应用.到目前为止，我们所讨论的函数都是关于一个变量的函数，但在许多实际应用中，常常需要考虑两个或两个以上变量的函数.例如某公司生产销售A型、B型、C型三种不同的纪念品，销售一件相应纪念品的利润分别为6元、5元、4元，分别以、表示相应纪念品的销售量，那么利润函数为元就是三个变量的函数.在生产中，产量与投入的劳动力和资金之间有关系式，其中，、为常数.是两个变量、的函数，该函数称为柯布(C.W.Cobb)-道格拉斯(PaulH.Douglas)生产函数.某扩音器制造生产的扩音器系统既可以整套出售，也可以散件出售供消费者自己组装使用.假设扩音器系统整套、散件每周的需求量分别为套、套，零售价分别为元/套、元/套，每周的需求方程为，那么每周该公司的收入函数为就是两个变量的函数.购置大宗商品如住房、汽车等，一般需要向银行抵押贷款，按月归还.一笔总额元的贷款，年还清，年利率为，每月的还款额为元这里是三个变量、的函数.例如一笔90000元的住房贷款，30年还清，年利率，每月的还款额为元考虑柯布-道格拉斯生产函数假设资金保持不变，那么产量可以看作是劳动力的一元函数，由一元函数求导公式，可得 类似地，假设劳动力保持不变，那么产量可以看作是资金的一元函数，由一元函数求导公式，可得 这种由一个变量变化、而其余变量保持不变所得到的倒数，称为多元函数的偏导数.例1 第二次世界大战结束后，某个国家在经济恢复时期的生产函数为其中为同期投入的劳动力数量，为同期投入的资金数量.1试计算，；2当某时刻劳动力投入125单位、资金投入为27单位时，分别求关于劳动力、资金的边际产量.并解释所得到的结果.解 12当、时，其含义表示：当劳动力投入125单位、资金投入为27单位时，劳动力再增加投入一个单位，生产量将增加12个单位.其含义表示：当劳动力投入125单位、资金投入为27单位时，资金再增加投入一个单位，生产量将增加个单位.所以在战后恢复经济期间，增加资金的投入可以更快速有效地增加生产，恢复经济.例2 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售假设只在国内销售，销售价格元/件与月销量件的函数关系式为，本钱为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为元假设只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，本钱为a元/件为常数，当月销量为x件时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为w外元1当=1000时，= 元/件，w内= 元；2分别求出w内，w外与x间的函数关系式不必写x的取值范围；3当为何值时，在国内销售的月利润最大？假设在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；4如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？解1当时，23由2可知 所以当时，在国内销售的月利润最大. 当时，4当时，当时，可解得所以当时，国内和国外销售所获月利润相等；所以当时，国外销售所获月利润较大；所以当时，国内销售所获月利润较大.例3为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品甲商家用如下方法促销：假设购置路灯不超过100个，按原价付款；假设一次购置100个以上，且购置的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个乙店一律按原价的80销售现购置太阳能路灯个，如果全部在甲商家购置，那么所需金额为元；如果全部在乙商家购置，那么所需金额为元.1分别求出、与之间的函数关系式；2假设市政府投资140万元，最多能购置多少个太阳能路灯？解1由题意可得2假设市政府投资140万元，经计算可知在甲商家购置比拟实惠，最多能购置个.例4 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元设每个房间的房价每天增加元为10的整数倍1设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；2设宾馆一天的利润为w元，求w与的函数关系式；3一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解1由题意可得2 3由2可知所以当一天订住16个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是6440元.例5 某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.1假设每件商品降低元，商店每天销售这种小商品的利润是元，请你写出与的之间的函数关系式，并注明的取值范围；2每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？注：销售利润=销售收入购进本钱解1由题意可得 (2)由1可知 所以当每件小商品销售价是元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6400元.例6 由例五应用到实际中：今年6月16号是全国英语四级考试，到时呼和浩特市大学生将需要大量考试用的收音机，去年本公司收音机的销量为400台，价格为28元每台，本钱价18元每台，根据实际情况，销售单价每降低1元，平均可以多售出100台. 每台收音机销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？解 由题意可得 所以当每台收音机销售价为25元时，收音机销量将到达700台，销售的利润最大，最大利润是4900元.截止6月15号，实际的销售量为750台，出去广告费等，实际纯收入为4950元.结 论 本文通过对数学在经济方面的历程、作用以及走向的阐释与大量的例题论证数学在经济方面的重要作用，得出经济的开展离不开数学.目前为止，数学在经济学中应用的广泛开展时期.各领域的数学思想应用到经济研究中，产生了大量新的研究理论，出现了巨量的成果，也因此衍生出其他很多学派.研究的问题从最初简单变为复杂，复杂贴近于现实.边际分析，回归分析，博弈论分析，均衡分析、经济增长模型等都广泛地被作为解释、研究经济问题的数学工具.数学中导数，微积分等在经济发中得到了大量的应用，在企业生产，销售中，从之前的盲目生产到后来的以销定产，以需求定产，使得企业的生产产本与滞销率大大降低，为能源高效利用，节能减排做出重要奉献。在未来，数学在经济中的应用将不可估量，为人类文明开展做出巨大奉献.本人在从事商业活动中，也在应用数学解决一些实际的经济销售问题，例如4.4例六！其实数学不是枯燥乏味的，数学能给经济带来活力，能给从事经济用作的企业家提供判断和决策的依据，使得对产品销量的预判的准确度大大提高，降低了企业的风险与本钱.对于本次论文，由于末学学识浅薄，无能深入对其进行研究，但在撰写论文的这3个月时间里，学到了大量的知识，也将学的数学知识应用到了实际的销售当中去.在接下的人生里，我将继续对数学在经济方面的应用深入研究下去，为经济的发生做出一点微薄的奉献. 参考文献1 200723174 -1682陈传璋，金福临 数学分析下册. 高等教育出版社200723127页3 竺仕芳激发兴趣，走出误区综合高中数学教学探索J宁波教育学院学报，200344 杨培谊，于鸿高中数学解题方法与技巧M北京：北京学院出版社，19935 ?计算机教育应用与教育革新97全球华人计算机教育应用大会论 文集?李克东 何克抗 主编 北京师范大学出版社 1997 6?教育中的计算机? 全国中小学计算机教育研究中心北京部1998 7 林建详编：?CAI的理论与实践迎接21世纪的挑战? 全国CBE 学会8.9 高鸿业. 西方经济学 M .北京：中国人民大学出版社，200110 12ARSCOTT F M. Periodic Dierential Equations M. The Macmillan Co., New York, 1964.13 BAESCH A. On the explicit determination of certain solutions of periodic differential equations of higher order J. Results Math., 1996, 29(1-2): 4255.14 BAESCH A, STEINMETZ N. Exceptional solutions of nth order periodic linear differential equations J.Complex Variables Theory Appl., 1997, 34(1-2): 717.
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