正五边形的画法

、正五边形的画法圆内接正五边形的画法如下:1、任作一圆O2、任作圆O中互相垂直的两直径AB、CD3、作OD的垂直平分线交OD于E4、以E为圆心，EA长为半径作弧，交CD于F5、在圆O上顺序作弦AG=GH=HM=MN=NA=AF则得正五边形AGHMN已知边长作正五边形的近似画法如下:作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=2/3AB以 C为圆心,已知边长 AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.正多边形的尺规作图是大家感兴趣的.正三边形很好做;正四边形稍难一点;正六边形也很好做;正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法.确实，有的困难一些，有的容易一些.正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢?人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易;一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来?数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的.人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来.这个悬案一直悬而未决两千余年.17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi (i为右下角标)=22i(底数2指数2的i次幂)+1 的数.费马的一个著名猜想是，当 n3时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解.现在他又猜测Fi都是素数，对于i=0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数.F5=225+1是否素数呢?仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了!F5是两素数之积：F5=6416 700 417.当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年?何以需要欧拉这样的人来解决问题?更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道.至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数.由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i+1的素数只有有限个.但对此也未能加以证明.当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数.由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事.更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k(2的k次幂)或 2kp1p2ps，(1，2s为右下角标)其中，p1，p2，ps是费马素数.正7边形可否尺规作图呢?否!因为7是素数，但不是费马素数.倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形.根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形.就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连.正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看.高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案.高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5=F1);对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正 13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数;对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的;此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢?因为4=22，因为 6= 2 3而 3=F0.费马数费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 a, b 2是整数，则方程xn+yn=zn没有满足xyz0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家外尔斯证明了(1995年)，证明的过程相当艰深。 2.欧拉引入欧拉函数， 得到著名的欧拉定理费马小定理推广； 研究了连分数展开问题；用解析方法证明了素数无限；讨论平方和问题及哥德巴赫猜想加性数论内容。 3.高斯被誉为“数学王子” 。解决了正多边形尺规作图问题， 将它和费马数联系起来。高斯的著作算术研究提出了同余理论， 讨论了平方剩余问题，发现了二次互反律。 高斯提出了著名的素数定理（当时是猜想），研究了指标和估计问题表示论的雏形。素数定理定理定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 (x)x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近，(x) 和x/ln x的比趋近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对(x)更好的估计： (x)=Li (x) + O (x e(-(ln x)(1/2)/15)，当 x 趋近。 其中 Li(x) = (dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。 下表比较了(x)，x/ln x和Li(x)： x (x) (x) - x/ln(x) Li(x) - (x) x/(x)佩尔方程由费尔马提出，但后来欧拉误记为佩尔提出，并写入他的著作中。后人多称佩尔方程。沿续至今 设d是正整数，且d不含平方因子。 下面的不定方程称为佩尔（Pell）方程： x2-dy2=1 求正整数解(x,y). 这是初等数论中最经典的内容之一。 假设(x_0,y_0)是一个最小解， 那么所有的解可写为 x_n+y_n*(d)0.5=(x_0+y_0*(d)0.5)(n+1) 佩尔方程与连分数，二次型，代数数域等等都有密切联系。 在一般的函数域上，我们也有类似的佩尔方程， 它和向量丛的稳定性有着微妙的关系。 以上的公式就是Pell方程的一般形态. 对于 当n为完全平方数时无解； 1. 首先构造一个系数矩阵,显然为了构造这个矩阵，我们需要先得到 下面方程的一个最小特解(x,y0) 利用Euler的算法 1: p1 1; p2 0 2: q1 0; q2 1 3: a0 sqrt(n) 4: g1 0; h1 1 5: for i = 0 do 6: gi gi1 + aihi1 7: hi （ngi*gi） / hi-1 8: ai+1 floor( (gi+a0) / hi 9: pi aipi1 + pi2 10: qi aiqi1 + qi2 if( pi*pi-n*qi*qi=1 ) return (pi,qi); 假设我们得到了以上方程的最小特解: x0 y0 (x0,y00,并是最小的满足条件的解) C+程序求解佩尔方程：