近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)

近世代数课后习题参考答案第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 来作群的定义: . 至少存在一个右单位元,能让 对于的任何元都成立 . 对于的每一个元,在里至少存在一个右逆元能让 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由 得 因为由有元能使 所以 即 (2) 一个右恒等元一定也是一个左恒等元,意即 由 得 即 这样就得到群的第二定义. (3) 证 可解 取 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群的每一个元都适合方程,那么就是交换群.证 由条件知中的任一元等于它的逆元,因此对有.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证的阶是则的阶也是.若有 使 即 因而 这与的阶是矛盾.的阶等于的阶(2) 的阶大于, 则 若 这与的阶大于矛盾(3) 则 总起来可知阶大于的元与双双出现,因此有限群里阶大于的元的个数一定是偶数3. 假定是个数一个阶是偶数的有限群,在里阶等于的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群里的元大于的个数是偶数;因此阶的元的个数仍是偶数,但阶是的元只有单位元,所以阶的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 故 由于是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: 故 是整数,因而的阶不超过它.4 群的同态 假定在两个群和的一个同态映射之下,，和的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 对普通乘法都作成群,且(这里是的任意元,是的元)由 可知 但 的阶都是.而的阶是.5 变换群1. 假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元,使得?证 我们的回答是回有的: 11 1121 23 32 3443 45 显然是一个非一一变换但 2. 假定是所有实数作成的集合.证明.所有的可以写成是有理数,形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) 是有理数 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 则 (4) 而 所以构成变换群.又 : 故因而不是交换群. 3. 假定是一个集合的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号: 来说明一个变换.证明,我们可以用: 来规定一个的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是的单位元. 证 那么 显然也是的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律: 故 再证还是的单位元 4 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。 证 设是是变换群的单位元 ，是变换群，故是一一变换，因此对集合 的任意元，有的元， = 另证 根据习题知 5. 证明实数域上一切有逆的矩阵乘法来说，作成一个群。证 =实数域上一切有逆的矩阵 则是的逆从而 对矩阵乘法来说，当然适合结合律且（阶的单位阵） 是的单位元。故 作成群。 6 置换群 1. 找出所有的不能和交换的元. 证 不能和交换的元有 这是难验证的.2. 把的所有的元写成不相连的循环置换的乘积解: 的所有元用不相连的循环置换写出来是:(1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 证明: (1) 两个不相连的循环置换可以交换 (2) 证(1) = =( 又 )= =,故 (2) ,故.3. 证明一个K一循环置换的阶是K.证 设 设, 那么 证明的每一个元都可以写成这个循环置换中的若干个乘积。证根据定理。的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积 而我们又能证明 同时有, 这样就得到所要证明的结论。则 7 循环群1 证明 一个循环群一定是交换群。证 ，则2 假设群的元的阶是，证明的阶是这里是和的最大公因子证 因为 所以而 3.假设生成一个阶是的循环群。 证明也生成，假如(这就是说和互素) 证 生成一个阶是的循环群，可得生成元的阶是，这样利用上题即得所证，或者，由于有 即 故4 假定是循环群，并且与同态，证明也是循环群。证 有2。4。定理1知也是群，设 且(是同态满射) 则存在使 因而故 即 因而 即=（） 5假设是无限阶的循环群，是任何循环群，证明与同态。 证 ）设是无限阶的循环群， 令且所以）设而的阶是。令： 当且只当,易 知是到的一个满射 设则那么 8 子群1找出S3的所有子群 证S3=的子群一定包含单位元。 ）S3本身及只有单位元都是子群 ）包含和一个2一循环的集合一定是子群因=， =， =亦为三个子群）包含及两个3循环置换的集合是一个子群， =是子群，有以上6个子群，今证只有这6个子群，）包含及两个或三个2循环置换的集合不是子群因不属于此集合)若一集合中3循环置换只有一个出现一定不是子群因)一个集合若出现两个3循环置换及一个2循环置换不是子群 因）3循环置换及2循环置换都只有两个出现的集合不是子群 因若出现 则故有且只有6个子群。 2.证明；群的两个子群的交集也是的子群。证是的两个子群，显然非空 则 同时因是子群，故，同时所以故是的子群 3取的子集，生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？证 从而 群的两个不同的子集会生成相同的子群生成的子群为 生成的子群为 4证明，循环群的子群也是循环群。证 =（）是循环群，是的子群设，而时。任意 则 因而 因，所以是循环群. 5. 找出模12的剩余类加群的所有子群证 剩余类加群是循环群故其子群是循环群.=() () ()即() 即() 即() (6) 即有且只有以上6个 子群. 6.假定是群的一个非空子集,并且的每一个元的阶都有限,证明,作成子群的充要条件:推出 证 必要性 显然充分性推出,(*)所以只证推出即可. ,的阶有限 设为 即 所以由(*) 可知,因而这样作成的子群.9 子群的陪群1. 证明阶是素数的群一定是循环群证：设群的阶是素数,则可找到而, 则的阶,根据定理3知, 但是素数,故,那么是的个不同元,所以恰是的不同元,故.2. 证明阶是的群(是素数)一定包含一个阶是的子群.证：设阶是的群为, 是正整数, 可取, 而,根据定理3, 的阶是而, 进一步可得的阶为.是阶为的的子群.3. 假定和是一个群的两个元,并且,又假定的阶是，的阶是并且.证明:的阶是证 .设则故 故又 因此的阶是.4. 假定是一个群的元间的一个等价关系,并且对于的任意三个元来说,证明与的单位元等价的元所作成的集合为证 由于是等价关系,故有即,则因而由题设可得由对称律及推移律得再由题设得即 这就证明了是的一个子群.5. 我们直接下右陪集的定义如下:刚好包含的可以写成 的每一个元属于而且只属于一个右陪集. 证 任取则这就是说,的每一个元的确属于一个右陪集若则则,因而 故Ha=Hb这就证明了,的每一个元只属于一个右陪集.6. 若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是的群,它们都是交换群. 证 设是阶为的群.那么的元的阶只能是 1若有一个元的阶为,则为循环群; 2. 若有一个元的阶为,则除单位元外,其他二元的阶亦均未. 就同构的观点看阶为的群,只有两个; 由下表看出这样的群的确存在. 循环群 0 1 2 300 1 2 311 2 3 022 3 0 133 0 1 2 非循环群e a b cee a b caa e c bbb c e acc b a e 循环群是交换群，由乘法表看出是交换群10 不变子群、商群1. 假定群的不变子群的阶是,证明,的中心包含.证 设是不变子群,对于任意有 若 则 ， 矛盾 则 即是中心元.又 是中心元显然.故的中心包含.2. 证明,两个不变子群的交集还是不变子群令 证 ,则是的子群.及，故是不变子群.3. 证明:指数是的子群一定是不变子群.证 设群的指数是则的右陪集为的左陪集为 由 易知 因此不论是否属于均有4. 假定是的子群,是的不变子群,证明是的子群。 证 任取 至于HN非空是显然的!HN是G的子群.5. 列举证明,G的不变子群N的不变子群1未必是G的不变子群(取G=!) 证 取易知N是G的子群,是N的子群我们说N是G的不变子群,这是因为此即说明因为N是阶为4的群,所以为交换群,故其子群是不变子群.但却不是G的不变子群,原因是: 6. 一个群G的可以写成!形式的元叫做换位子.证明: i)所有的有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群; ii)G/C是交换群; iii)若N是G的一个不变子群,并且G/N是交换群,那么证 i)显然是有限个换位子的乘积; 故(有限个换位子的乘积)(有限个换位子的乘积)=有限个换位子的乘积,故C对G的乘法是闭的.由于1是换位子,故(有限个换位子的乘积)的逆仍为(有限个换位子的乘积)即有故C是子群;由 有即 所以C是不变子群.(ii) 、 就有故1因而即所以是交换子群;(iii)因G/N是交换子群就有 因此 又由于是子群,所以包含有限个换位子的乘积,即.11 同态与不变子群1 我们看一个集合到集合的满射,证明,若是的逆象,一定是的象;但若的的象,不一定是的逆象. 证 ) 在之下的象一定是;若有的元在之下的象,则有两个不同的象,故矛盾又的逆象是两者合起来,即得所证 )设 令在之下但的逆象是 2. 假定群与群同态,是的一个不变子群,是的逆象.证明:证 设是到的同态满射;是到的同态满射.规定则是到的同态满射.事实上,则 故这就是说,现在证明同态满射的核是 则 由于是的逆象 故 因而另一方面,若 则 (是的逆象) 根据 1定理2. 3 假定和是两个有限循环群,它们的阶各是和证明与同态,当而且只当的时候证 （） 令为同态满射的核心,的阶一定整除的阶但故 的阶一定整除的阶.即 （）设 令在下 而 即4 假定是一个循环群,是的一个子群,.证明,也是循环群. 证 设 则 另证 是循环群,由习题1知:G是交换群,又由!.例3知是是一个不变子群,由这一节定理1得 再由习题4知是循环群.