基本不等式之1地代换

word专题：均值不等式应用中“1的代换不等式是高中数学的重要内容之一，利用均值不等式求最值以与证明不等式是重中之重.纵观近几年全国各省的高考题与竞赛题，可以发现均值不等式中与“1有关的试题频频出现，好学教育教师对此总结如下，以供大家参考.【题引】【某某省皖江名校2016届高三12月联考数学理试题】实数满足，假如目标函数的最小值为2，如此的最小值为 【答案】【解析】 首先作出可行域，如如下图所示，把目标函数，变形可得，斜率为负数，当取得最小值时，联立求出交点A的坐标，当目标函数过点A时取最小值，代入得，即所以，当且仅当时，取最小值，应当选【考点】线性规划；根本不等式之1的代换.【点评】这道题目除了考查线性规划外，还考查了常数的代换，或称为“1的代换，更具体的说，其与一般代换还是不同的，它更像是在所求的式子后面乘以一个1，或者是一个常数，因此，我们把此类解题技巧定义为“1的代换.【使用情景】使用“1的代换解题的结构特征：都可转化为条件求最值问题，且是“和式，所求也是“和式，同时要求两和式是一整式，一分式或化为分式；“和式可变为常数“1；两个“和式都是齐次式或可变为齐次式。符合上述特征的题目，通过“1的代换轻松解决问题。【题型归纳】题型1 直接使用“1的代换题目1：1，(x0，y0)，如此xy的最小值为()A1 B2 C4 D8【答案】D【解析】x0，y0，xy(xy)4244，即xy4时取等号应当选D题目2：设a0，bab1，如此的最小值是()A2 B.C4 D8【答案】D【解析】由题意2224，当且仅当，即ab时，取等号，所以最小值为4.应当选D变式1：假如正数x，y满足x3y5xy，如此3x4y的最小值是 ()A.B. C5 D6审题：由于x3y5xy可变成1，符合“1的代换法解题指针。解：变式2：在4 +9 60的2个 中，分别填入2个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填和。审题：设所填2数分别为x、y，如此条件可变为1，符合“1的代换法解题指针。解：题型2 构造的“1的代换此类题目没有直接给出和式条件，所以需要从条件中找出和式条件，继而使用“1的代换进展求值.题目3：设假如的最小值为 A B1 C4 D8【答案】C【解析】试题分析：由等比中项得，当且仅当时等号成立，所以最小值为4，应当选C考点：均值不等式求最值题目4：正项等比数列满足：，假如存在两项使得，如此的最小值为( )A.B.C. D. 不存在【答案】A【解析】因为，所以，即，解得。假如存在两项，有，即，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.【点评】上面两道题目是关于求最值的题目，且是二元式子的最值，此类题目我们要做的是首先找两变量之间的关系.变式3：设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，假如的最大值为40，如此的最小值为 ABC1 D4【答案】B审 题：找出和式条件解：变式4：函数的图象恒过定点,假如点在直线上,其中,如此的最小值为【答案】8解：变式5：，且，如此的最小值为【答案】解：题型3 隐藏“1此类题目条件中没有给出含“1的等式，无法直接使用“1的代换法求解，但观察题目，发现其分母之和为常数，故可构造出“1的等式，即可使用“1的代换法求解.题目5：，求的最小值.【答案】【解析】试题分析：当且仅当，即时等号成立故【点评】此题条件中没有给出含有1的等式，无法直接使用“1的代换法求解，但观察待求函数易知其分母和为1，故可将代入所求函数解析式，即可用“1的代换求解.题目6：，求函数的最小值【答案】.【解析】试题分析：当且仅当，即时取等号所以函数的最小值为.变式6：，求的最小值解：变式7：求的最小值解：题型4 局部使用“1的代换 假如形如“，求的最小值，只需局部使用“1的代换，即题目7：设正实数 满足的最小值为【答案】1【解析】试题分析：，当且仅当即时取得等号题目8：【2013某某理】设a + b = 2, b0, 如此当a = 时, 取得最小值.【答案】【解析】试题分析：因为，所以所以当且仅当，即时取等号，当时，；当时，；所以的最小值为，此时又，所以，即变式8：设 满足，如此的最小值为解：题型5 非齐次使用“1的代换在使用“1的代换时，注意保持两和式是同次的.题目9：且，如此的最小值是.【答案】32【解析】试题分析：，当且仅当，即时取等号；，当且仅当，即时取等号；所以，当且仅当时取等号；所以的最小值为32【点评】在使用“1的代换时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次根本不等式时，注意两次等号成立的条件是否一致.变式9：且，如此的最小值是.解：好学教育名师榜X莉莉：原某辅导机构的教学部主任，主讲高中化学，多年从事高中化学与高考辅导教学，X教师教学经验丰富，强调化学的整体和细节，擅于将不同的题目归类，使得题型的讲解易懂化和形象化。课风严肃和有趣并存，X教师的化学课，最能激起学生学习的兴趣，能最大限度地表现学生的主体性。X 恒：原某辅导机构的数学部主管，主讲高中数学，多年从事高中数学与高考辅导教学，对高考考点和题型有着深刻的认识。授课沉稳又不失幽默，有着较强的亲和力，教学思路清晰，注重复杂知识的简单化，善于对试题进展总结，帮助学生举一反三，提高学习效率.孙明明：原某辅导机构的理综部主管，主讲高中物理，多年从事高中物理与高考辅导教学，孙教师课堂最大特色就是：互动教学，趣味教学；最大限度的让学生参与到课堂中，摒弃了填鸭式教学，引导学生主动思考；轻松、简练，会让复杂的物理变得简单有趣.X海涛:外国语大学高材生，英语专八高分得主，3年英语培训资历，主讲英语构词法、句法、语法，阅读之谜，强势攻破，从此高分高能不是梦！ 教学中重点突出，条理清晰，幽默风趣；注重引导学生充满激情，注重学生兴趣的培养；注重知识与实际生活的联系，注重能力的培养和思维的训练.好学教育开设课程1.个性化： 一对一教学 一对二教学2.精品班： 4-15人全科班 4-15人单科班 4-15人专项班 自 组 班数学答疑群QQ群：489561670 理综答疑群QQ群：152848764提分热线: 0558-3832323 187 5588 5640地 址：某某二中路口西德林大酒店西30米文峰路文峰派出所东50米12 / 12