（整理版）平面解析几何初步总结

平面解析几何初步总结1定义：把直线中的系数叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线的斜率不存在轴正向与直线向上的方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角经过两点、的直线的斜率2斜率与倾斜角的关系：时，；时，且随的增大而增大；不存在时，；时，且随的增大而增大名称方程常数的几何意义适用条件点斜式是直线上的一个定点，是斜率直线不垂直于轴斜截式是斜率，是直线在轴上的截距直线不垂直于轴两点式，是直线上的两个定点直线不垂直于轴和轴截距式，分别是直线在轴，轴上的非零截距直线不垂直于轴和轴，且不过原点一般式，不同时为0，为系数任何情况特殊直线轴：垂直于轴且过点斜率不存在轴：垂直于轴且过点斜率3.辨析两条直线相交、平行、重合、垂直的两种条件直线方程：，：，：，相交的等价条件与相交与相交平行的等价条件 且 且重合的等价条件与重合且与重合且垂直的等价条件说明：两直线的交点坐标即为对应方程组成的方程组的解方程组有一组解，那么两直线有一个交点；方程组无解，那么两直线平行1与直线平行的直线方程可设为为参数，且；与直线垂直的直线方程可设为为参数2与直线平行的直线方程可设为；与直线垂直的直线方程可设为3过直线与的交点的直线方程可设为为参数注意此方程中不包括直线，在解题时要验证该直线是否符合题意特别地，直线过定点问题，一般将直线方程整理为的形式，将定点转化为直线与的交点5.记忆重要公式，重视坐标法思想1四个距离公式和中点坐标公式类型条件公式中点坐标，数轴上的点，两点间的距离，点到直线的距离，：两平行直线的距离：，：，不同时为零2坐标法思想：即根据图形特点，建立适当的直角坐标系，用坐标表示相关量，利用坐标间的代数计算解决几何问题6.明确圆的两种方程，掌握待定系数法1圆的标准方程：，其中，圆心是，半径是圆的一般方程：其中圆心是，半径是注意：二元二次方程表示圆的条件是和项的系数相等且不为零；没有项2圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量或，求圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的值即可1点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外，可通过点到圆心的距离与半径的大小关系来判断2直线与圆的位置关系直线 圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解得个数来判断、几何法由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断3圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法根据两圆方程联立的方程组解的情况判断、几何法根据两圆的圆心距与两圆半径，之间的关系判断8.牢记圆的切线求法，细解弦长问题1圆的切线求法：设切线斜率，得到切线方程，与圆联立化为一元二次方程，依据判别式为0求解；设切线斜率，得到切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求解解题时，注意切线斜率不存在的情况2当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形3求相交两圆的公共弦长时，可通过两圆方程相减求出两圆公共先所在的直线方程，进而求出其中一圆心到直线的距离及该圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，从而求得弦长9.明晰空间直角坐标系的建立法那么，直击距离公式1建林的空间直角坐标系要遵循右手法那么2空间中，之间的距离专题归纳探究专题一 巧设直线方程解题在本章中，经常要用直线方程解决问题，但很多时候直线方程并非，而是要设出方程进而解决问题，这时，如何选择方程形式将决定解题过程中的优劣简繁典例1 直线过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程研析 由题意知，直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0方法一 设直线的方程为或当直线的方程为时，点在上，解得，直线的方程为；当直线的方程为时，点在上，解得，直线的方程为综上所述，所求直线的方程为或方法二 设直线的方程为令，得；令，得由题意，得，当时，直线的方程为，点在上，直线的方程为，即；当时，直线的方程为，点在上，直线的方程为综上所述，所求直线的方程为或方法探究 凡涉及直线与坐标轴所围成三角形的面积或周长等与截距有关的问题，用截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为零典例2 直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程研析 设直线的方程为，即由点到直线的距离公式可得，解得或故直线的方程为或方法探究 设直线方程为，防止了漏掉斜率不存在的情况斜率不存在即典例3 圆，求过点的圆的切线方程研析 设所求切线的方程为，即圆的圆心坐标为，半径由题意可知，解得或，故所求直线方程为或方法探究 过圆上一点求圆的切线方程，都可能存在切线斜率不存在的情形为了防止讨论斜率和判断点与圆的位置关系，可直接设切线方程为专题二 探讨两类圆方程的求解方法解此类问题的方法是：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，根据点在圆上及其他条件求圆的方程典例1 求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程研析 解方程组得或即直线与圆交于点和点设所求圆的方程为，分别将，的坐标代入，得方程组解得所求圆的方程为求过两圆交点的圆的方程，一般先求出两圆的交点坐标，在利用圆的几何性质确定所求圆的圆心坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组求参即可典例2 求圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程研析 方法一 由解得或故两圆和的交点分别为，线段的垂直平分线的方程为，由解得所求圆的圆心坐标为，半径为，所求圆的方程为方法二 同方法一求得，设所求圆的方程为，由解得所求圆的方程为接下来介绍利用过两圆交点的曲线方程来解决上述问题的方法这里谈的过两圆交点的曲线方程是指过两圆交点的圆的方程及它的特例直线的方程经过两点的圆有无数个，这些圆有一共同的性质：圆心都在两点连线的垂直平分线上，构成了一个圆的集合，记这个集合为我们把具有某一共同性质的所有的圆的集合成为圆系，它的方程叫做圆系方程1设圆过圆：与圆：的交点，那么与圆同心的圆系方程为 ，其中为参数且该圆系方程不包括圆方程的特例：当时，方程变为 ,假设圆与圆相切，这时点，重合为一点，那么方程表示两圆公切线的方程切点为2假设直线：与圆：相交于不同的两点，那么过，两点的圆系方程为为参数典例3 求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程研析 设所求圆的方程为，即，可知圆心坐标为因为圆心在直线上，所以，解得将代入所设方程并化简，可得所求圆的方程为