导数在不等式中应用

导数在不等式中的应用【例1 1】 已知函数f(x) = 1lnx, g(x) =a?+1一bx,若曲线y = f(x)与曲线y=g(x)的一 xe x个公共点是 A(1 , 1),且在点A处的切线互相垂直.(1)求a, b的值；.,2(2)证明：当 xl 时，f (x) +g(x) -.x角度2适当放缩构造函数证明不等式【例12】 已知函数f(x) = aex ln x 1.(1)设x= 2是f (x)的极值点，求 a,并求f(x)的单调区间;.1 ,证明：当a时，f(x)0.e【训练1】(1)(角度1)已知函数f (x) = ln x.求函数g(x) =f (x1) x+2的最大值;已知0a2a (b a)a2+b2-raln x(2)(角度2)已知函数f (x) = ln x- x2 .若a=1,求f(x)的单调区间；2 1 f (x)右 a=0, x G (0 , 1),证明：x xe7-考点二隔离分析最值法证明不等式【例2】 已知函数f(x)=eln x ax(a6R).(1)讨论函数f(x)的单调性；当 a=e 时，证明：xf (x) 0).(1)当a=1时，求函数f(x)在(0 , +8)上的最值；(2)求函数G(x)的最大值；. ., 一，12,、 证明：又t一切 x6(0, +8),都有 ln x + 1 e2x成立.考点三不等式恒成立或有解问题角度1不等式恒成立求参数【例31】 已知函数f (x) = aln x x+1(其中a0).讨论函数f(x)的极值； 对任意x0, f(x)0时，函数f(x)o恒成立，求实数 a的取值范围.角度2不等式能成立或有解求参数的取值(范围)【例 3 2】 已知函数 f (x) = axex( a6 R), g( x) = x x(1)求函数f(x)的单调区间;(2) ?x6(0, +00),使不等式 f(x)f (x)m(2) af(x)在 x D上能成立，则ag(x2)成立，则 f( x)max g(x)max；(2)任意*1 6A,存在x2C B,使 f ( x1) g( x2)成立，贝|J f ( x) min g( x) min.【训I练4】已知函数f(x)=mx1-2ln x( R), g(x)=-m,若至少存在一个xo61, e,xx使得f(xo)1+ ln x(x0),当且仅当x=1时，等号成立.(2)指数形式：exx+1(x6R),当且仅当x = 0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：exx+ 1x1 + ln x(x0,且x*1).1【例1】(1)已知函数f(x) = ( 八,则y=f(x)的图象大致为()、， in (x十 I) x x1 2(2)已知函数f(x)=e, x6R.证明：曲线 y = f(x)与曲线y = -x +x+ 1有唯一公共点【例2】 已知函数f(x) =x 1 aln x.若f (x) 0,求a的值；，111 证明：对于任意正整数n, 1 + 2 1 +亍 1+m 0恒成立，求a的最小值；一 x(2)证明：-bx+ln x 1 0.强化训练一、选择题1 .函数f (x) = ln x+ a的导数为f ( x),若方程f ( x) = f (x)的根xo小于1,则实数a的取值 范围为()A.(1 , +8)B.(0 , 1)C.(1 ,柩D.(1 , V3)2 .已知函数f(x)=a1 + ln x,若存在xoo,使得f (xo) 2B. a3C.a3x + a, 0 x1,若关于x的不等式f(x)0在x60, +8)上恒成立，则a的取值范围为()A.0 ,1B.0 , 2C.0 ， eD.1 ， e二、填空题4 .若对任意a, b满足0abt ,都有bln aaln b,则t的最大值为 .5 .函数f(x)=x2sin x,对任意的Xi,x2 0 ,n,恒有| f ( Xi) f(x2)|- 1 且 xw0,证明：g(x)1在x(0, 1上恒成立，求实数a的取值范围8 .设函数f(x)= excos x, g(x)为f (x)的导函数.求f (x)的单调区间；, 匹 人 一, 、一.一1人(2)当 x6 了，5 时，证明 f(x) +g(x) -2-x 0.sin x9 .已知函数 f(x) =(xw0).x4花、,判断函数f(x)在区间0, -2-上的单调性；花 .(2)若f(x)a在区间0, 2-上恒成立，求实数 a的最小值10.已知函数 f(x)=aln x + xHx(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设 g(x) = ex+ mx- 2e2 3,当 a= e2+ 1 时，对任意 xi 6 1 , +),存在 地 6 1 , +00),使 g(x2)l 时，f (x) + g(x) 2. x(1)解因为f(x) =1 xln x 1所以 f (x) = -2-, f (1) =- 1.x因为 g(x) =ae + 1bx， e xae1所以 g（x）=一彳一b.因为曲线y=f(x)与曲线y= g(x)的一个公共点是 A(1 , 1),且在点A处的切线互相垂直,所以 g(l) =1,且 f (1) g (1) =- 1.从而 g(1) =a+1 b=1,且 g (1) =- a - b- 1 = 1.解得 a=b = - 1.,e 1(2)证明 由(1)知，g( x)=-,+ -+x, e x则 f(x) +g(x)2? 1-nx-1-1+ x0. x x e x令 h( x) = 1 ln x|x-1+x(x1)5 e x，1 - In x e 1 In x e贝！J h(1)= 0 ,h( x)= - x21-ex + x2 +1 = x21- ex+1.In x e因为 x1,所以 h (*)=7 + 苫+10,所以h(x)在1 , +8)上单调递增，所以 h(x) h(1) =0,即 1x1-x0.x e x2故当 xl 时，f (x) + g(x) - x角度2适当放缩构造函数证明不等式【例12】 已知函数f(x) = aex ln x 1.(1)设x= 2是f (x)的极值点，求 a,并求f(x)的单调区间；.1 一证明：当a-时，f (x) 0.e 解 f(x)的定义域为(0, +8), f (x)=aex 1x由题设知，（2） = 0,所以a =白. 2e,1 xf(x)=2?ee e从而 f(x)=2ex ln x1, 2e当 0x2 时，f ( x)2 时，f (x)0.所以f（x）在（0, 2）上单调递减，在（2, +8）上单调递增.、一一 .1 一，ex(2)证明当 ae时, f(x)ein x1(x0).、吐ex，ex 1设 g(x)=1ln x1(x0),则 g (x) =e x(x0).当 0X1 时，g，( X)1 时，g，(X)0.所以X=1是g(x)的最小值点.故当 x0 时，g(x) g(1) =0.因此，当al时，f (x)0.e规律方法 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构.常用的两种构造方法有:造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明 直接构造法：证明不等式f(X)g(X)( f (X)0( f (X)g(X)0),进而构造辅助函数h(x) =f(x) -g(x) ； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如In xx+ 1 ； In xx0),x- 1)等.【训练1】(1)(角度1)已知函数f(X)= ln X.求函数g(X)=f (x1) X+2的最大值;、2a (b a)已知 0a a/2解 因为 g(X) = f (X- 1) -x + 2 = ln( X- 1) -x+ 2( x1).1所以 g,(x)= x 12 x1=xn,当 X6(1, 2)时，g (X)0;当 X6(2, +8)时，g (x)a2+b2=b.1+022贝ij ln - ab一一1 a 再 ab .又因为0a1,构造函数则 F ( X)2 (x22x1)x4+2x32x2 2x+1(x21) 2+2x (x2 1)(1 + X2) 2x (1 + x2) 2x (1+x2) 20,L,、，2(X1),F(x)=ln x12 (x1),1 -I- X所以F(x)在(1 , +8)上单调递增，有F(x)F(1) =0.所以有 f ( b) - f (a) 2a 0b、) a + b(2)(角度2)已知函数f (X) = lnaln xx - X2-若a=i,求f(x)的单调区间；.c 1 f (x)若 a=0, x6(0, 1),证明：x3 x当 x6(0, 1)时，f (x)0,.f (x)在(0 , 1)上单调递减，在(1 , +8)上单调递增.21f (x) ln x 2 1证明 当 a=0, x6(0, 1)时，x -xex-等价于ex +xx0,一ln x -x 一 In x,e.只需要证In x + x2 - -， 则函数 g(x)在(0 , 1)上单倜递增，于是g( x) - ln 1 +1-1 = 0, .当 x6(0, 1)时，xf (x)x-.e考点二隔离分析最值法证明不等式【例2】 已知函数f (x) = eln x- ax(a6R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当 a=e 时，证明：xf (x) 0), x若a0 , f (x)在(0 , +)上单调递增;e右 a0,贝I 当 0x0 ； ae .当 x-时，f (x)0. a故f(x)在0, e上单调递增，在 e, +00上单调递减 aax0,所以只需证f(x)0)，贝1J g (x) x所以当0x1时，g ( x)1时，g (x)0, g(x)单调递增，所以 g( x) min=g(1) =- e.x综上，当 x0 时，f(x)g(x),即 f (x) - - 2e.x故不等式xf (x) ex - 2ex得证.规律方法1.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.本例中同时含ln x与ex,不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明2.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min=f (x)max恒成立.从而f ( x) 0).(1)当a=1时，求函数f(x)在(0, +8)上的最值；(2)求函数G(x)的最大值；12 . 证明：又t一切 x6(0, +00),都有ln x + 1err *成立.(1)解 函数f(x) =xln xax的定义域为(0, + 0).当 a=1 时，f (x) = xln x+x, f ( x) = In x+2.由 f ( x) = 0,得 x=4.e当 x6 0, L 时,f (x)0. ee一，1一，一所以f(x)在x=F处取得极小值，也是最小值 e一. .11故 f(x)min=fe2=显然当x- + 8时，f(x)-+8, f (x)没有最大值(2)解易知G ( x)=x 2e e x e21 -xx+ 1 . e.当 0x0;当 x1 时，G (x)0时，ln x+ 1e等价于x(ln由(1)知a = 1时，f(x)=xln x + x的最小值是一11了，当且仅当*=3时取等号,1又由(2)知 G(x)max= G(1) =一-2, e因此 f (x) G(x),故 1+ln xexm考点三不等式恒成立或有解问题角度1不等式恒成立求参数【例31 (2020 西安模拟改编)已知函数f(x)aln x x+ 1(其中 a0).(1)讨论函数f(x)的极值; 对任意x0, f(x)0，令 f ( x) = 0,得 x = a,在(0 , a)上，f ( x)0 , f(x)是增函数;在(a, 十 )上，f (x)0),要使得又t任意 x0, f (x) 1(a21)成立,即 aln a a+ 1 1( a2- 1),则 aln a+|a2a20),所以 u (a)=ln a+ 1 - 1 - a= In aa,令 k( a) = u ( a) =ln a a,1k(a) = - a=0,得 a= 1,在(0 , 1)上,k(a)0,k(a)= u( a)是增函数，在(1 , 十)上，k(a)0,k(a)u，( a)是减函数,所以当a=1时,k( a) = u ( a)取得极大值也是最大值, U (a)max=W(1) =- 10,在(0 , +8)上,u (a)0, u( a)是减函数，又 u(1) = 0所以要使得u(a) 1,所以实数a的取值范围为1 , + ).规律方法1.破解此类题需“一形一分类，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如af (x)(或a 0时，函数f(x)0恒成立，求实数 a的取值范围.解(1)若 a= 1,则 f (x) =xex- 2(2 x- 1) , f (x) =xex+ ex4,则 f (0) = 3, f (0) =2, 所以所求切线方程为 y = - 3x + 2. 若a0对x0不恒成立.a2x 1.右a1时，f (x) 0对任息x0恒成立，转化为 -对任息x0恒成立.a+ 1xe _2x 1设函数 F( x)= (x0), xe则 F (x)=(2x+ 1) ( x 1)当 0x0 ；当 x1 时，F (x)0 ,所以函数F(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减,1所以 F( x) max= F(1)= 一, e于是1e 1故实数a的取值范围是+00e 1角度2不等式能成立或有解求参数的取值(范围)【例 3 2】 已知函数 f (x) = axex( a6 R), g( x) = ln-x x 求函数f(x)的单调区间；(2) ?x6(0, +00),使不等式 f(x) g(x) ex成立，求a的取值范围解(1)因为 f (x) = a ex, x R.当a0时，f (x)0 时，令 f (x) = 0,得 x = In a.由f ( x)0 ,得f (x)的单调递增区间为(一00, In a)；由f ( x)0 ,得f(x)的单调递减区间为(ln a, +.综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(一00, ln a),单调递减区间为(ln a, +00) 因为？x 6(0, +00),使不等式 f(x) g(x) -ex,ln x In x贝 1 axx,即 a.ln x In x设h(x)=-x_,贝Ui可题车化为 a xL.1 2ln x由 h ( x) =x,令 h (x) =0,得 x = qe.由上表可知,当x在区间(0 , +8)内变化时，h (x), h(x)随x变化的变化情况如下表：x(0,(水，+8)h (x)十0一h(x)-1极大值 2e1.1当 x = W时，函数h(x)有极大值，即取大值为 右，所以af (x)m(2) a f (x)在 x6 D上能成立，则 ag(x2)成立，则f ( x) max g(x)max；(2)任意*1 6A,存在x2C B,使 f ( x1) g( x2)成立，贝|J f ( x) min g( x) min.【训I练4】已知函数f(x)=mx： 2ln x( m R),g(x)=m,若至少存在一个x61, e,xx使得f(xo)g(x。)成立，求实数 m的取值范围.解 依题意，不等式 f(x)g(x)在1 , e上有解，mx=2ln x在区间1 , e上有解，即 m0, h(x)在1 , e上是增函数,.h(x)的最大值为 h(e)=-e由题意m1,即m2时，f (x)1+ ln x(x0),当且仅当X=1时，等号成立.(2)指数形式：eXx+1(x6R),当且仅当x = 0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：exx+ 1x1 + ln x( x0 ,且x*1).1，乙，一，【例1】(1)已知函数f(x)=：-则y=f(x)的图象大致为()ln (x + 1) x 3即x|x1,且xw。,所以排除选项 D.当x0时，由经典不等式x1 + ln x(x0),以 x+ 1 代替 x,得 xln( x+ 1)( x- 1,且 x*0)所以 ln( x+1) x1,且 x*0),即 x0 或1x0 时均有 f (x)x+ 1恒成立可知，g (x)0恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0) =0.所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点【例2】 已知函数f(x) =x 1 aln x.若f(x)0,求a的值；111 证明：对于任意正整数 n, 1 + 2 1 + 221+了 e. 解f(x)的定义域为(0, +8),一， 11r 若a0,因为f 2 =2+aln 20,由(x)，x=丁知,当 x6 (0 , a)时，f ( x)0 ；所以f(x)在(0 , a)单调递减，在(a, +8)单调递增，故x=a是f(x)在(0, +8)的唯一最小值点因为f(l) =0,所以当且仅当 a = l时,f(x)0,故 a=l.(2)证明 由知当 x6 (1 , +8)时，x-1-ln x0.人111令 x= 1 + 25 倚 ln 1 + 了 2.从而 ln 1 + ： + ln 1 + i +-+ ln 1+:1+-+ g=1!1. 2222 2221故1+2111 + 亍1 + 2 0恒成立，求a的最小值；-x(2)证明：+x+ln x 1 0. x解由题意知x0,所以 f (x) R0 等价于 a ln-x-1.x人in x+1 ，-in x令 g(x) =,贝 1 g (x) =2-,xx所以当 x6(0, 1)时,g (x)0,当 x6 (1 , +8)时，g (x) 1,所以a的最小值为1. 证明 当a= 1时，由(1)得xin x+ 1 ,即t 1+ in t.X“e 一令 一=t ,则一x in x= in t ,故 t 1+ ( x in x),x一x一 x所以x in x+1,即+x+in x 1 0.xx强化训练一、选择题1.函数f (x)= inx+ a的导数为f( x),若方程f (x) = f (x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为()A.(1 , +8)B.(0 , 1)C.(1 ,亦)D.(1 ,小) ，一一一,1,1解析由函数f(x) = ln x+a可彳导f (x) = -, x,X0使 f (x)=f(x)成立,1=In x0+ a, x0又 0xo1, ln xo1.x。xo答案 A2.已知函数f(x)=a1 + ln x,若存在x00,使得f (xo) 2B. a3C.a3解析 函数f(x)的定义域是(0 , +00),不等式-1 + ln x0有解，即ax xln x在(0 , 十 x)上有解.令 h( x) = x xln x,则 h ( x) = - In x.由 h ( x) =0,得 x= 1.当 0x0，当 x1 时，h (x)0.故当x= 1时，函数h(x)=x xln x取得最大值1,所以要使不等式 ax xln x在(0 , 十)上有解，只要a小于或等于h(x)的最大值即可，即 a1.答案 Cx2+a, 0 x0x aln x, x1,在x0, +8)上恒成立，则 a的取值范围为()A.0 ,1B.0 , 2C.0 , eD.1 , e解析当 0xa,由f (x) 0恒成立，则a0,(x)=ln x- 1-2.(ln x)当x1时，由f(x)=x aln x0恒成立,一x一设 g(x) =；：( x1),则 g ln x且当 1xe 时，g ( x)e 时，g ( x)0 , 所以 g(x)min = g(e) =e,所以 ae.综上，a的取值范围是0 , e.答案 C二、填空题4.若对任意a, b满足0abt ,都有bln aaln b,则t的最大值为 解析0abt, bln aaln b,ln_a0,解得 0xe,x故t的最大值是e.答案 e 5.函数f(x)=x2sin x,对任意的xi, x2 0 ,n,恒有| f (xi) f (x2)| M则M的最小值为解析f (x) = x- 2sin x,(x)=12cos x,花， 、，. 当0x小寸,f (x)0, f (x)单调递增；-TT -、一 一-.当x=y时，f(x)有极小值，也是最小值,71即 f ( x) min= f -3又 f (0) =0, f(Tt) = Tt, 在 x 0 ,冗1，f(x)max=Tt.由题意得 | f(xi) f(x2)| - 1 且 x /0,证明：g( x)0, f(x)单调递增；当 x6(0, +8)时，f (x)0时，f(x)0, g(x)01.当1x0 时，g(x)x.设 h(x) = f(x) x,贝U h (x) = xex1.当 x6( 1, 0)时，0 x1, 0ex1 ,则 0 xex1,从而当 x6(1, 0)时，h (x)0, h(x)在(1, 0)上单调递减.当一1x h(0) =0,即 g(x)1且x/0时总有g(x) 1在x(0, 1上恒成立，求实数 a的取值范围.a 1 x a斛 (1) 7E义域为(0, +0), f (、)=- 1 + x= *2，当 a0, 1- x- a0,. f (x)0,.f (x)在定义域(0, +8)上单调递增；当a0时，若xa,则f (x)0,f(x)单调递增；若 0xa,贝ij f ( x)0 , f (x)单调递减.综上可知：当 a0时，f (x)在区间(0, a)上是减函数，在区间 (a, +.)上是增函数.(2) f(x) 1 ? a+ In xl? a- In x+ 1? a- xln x+x 对任意 x6(0, 1恒成立. xx令 g(x) =- xln x + x, x6(0, 1.则 g (x)=ln xx1+1 = ln x0, x 6 (0 , 1, x.g(x)在(0 , 1上单调递增，g( x) max= g(1) =1,a1,故a的取值范围为1 , + 8).B级能力提升8. (2019 天津卷节选)设函数f(x)=excos x, g(x)为f (x)的导函数.求f(x)的单调区间； 冗 冗冗 当 x 了，万 时，证明 f(x) + g(x) y-x 0.(1)解 由已知，有 f (x)=ex(cos xsin x).因此，当 x 2k Tt + y, 2kjt +T(k6Z)时，有 sin xcos x,得 f (x)0,则 f (x)单调递减；,3 冗Tt. 一当 x6 2k 冗4-, 2kn + 彳(k 6 Z)时，有 sin x0 ,则f (x)单调递增.3 TtTt所以f(x)的单调递增区间为2kTt - -, 2kTt + y (k6Z),f(x)的单调递减区间为2kTt + -4, 2kTt + 5(k6Z).、.一、一Tt证明记 h(x) =f(x)+g(x) -x .依题意及(1),有 g( x) =ex(cos x- sin x),从而 g ( x) = - 2exsin x.Tt Tt当 x6 , 2时，g ( x)0 ,Tt故 h (x) = f (x) + g(x) y-x +g(x)( - 1)Tt=g (x)工-x h = f = 0.717t.Tt所以当 x 了，2-时，f(x)+g(x) -x 0.sin x9 .已知函数 f (x) =(xw0).x氏 、,(1)判断函数f(x)在区间0, -2-上的单调性;71(2)若f(x)a在区间0, *上恒成立，求实数 a的最小值 xcos x- sin x(1) f ( x) =2,x令 g(x) = xcos x-sin x, x G 0, -2，贝 1 g (x)=xsin x,g(0)人,、冗、，显然，当x6 0，万 时，g (x) = xsin x0,即函数g(x)在区间0,万 上单调递减,=0.Tt从而g(x)在区间0, 上恒小于零，冗所以f (x)在区间0, -2-上恒小于零，.一.、Tt 所以函数f(x)在区间0,三 上单调递减.冗 不等式f(x)a, x 0,万恒成立，即sin xaxl时，在区间 0,5上4 (x)0 ,即函数()(x)单倜递减,所以 4 (x) 4 (0) =0,故 sin x- ax0 恒成立.Tt当0a0，故 (Hx)在区间(0 , xc)上单调递增，且 (j)(0) = 0, 从而()(x)在区间(0 , x)上大于零，这与 sin xax当a0 ,即函数()(x)单调递增，且 4 (0) = 0,得sin x ax0恒成立，这与 sin xax0恒成立相矛盾 故实数a的最小值为1.10 .已知函数 f (x) = aln x + x+(1)讨论函数f(x)的单调性；设 g(x) = ex+ mx- 2e2 3,当 a= e2+ 1 时，对任意 x1 6 1 , +8),存在 x2 6 1, +o),使 g(x2)f(x,求实数 m的取值范围.a- 1(x 1) ( x a+ 1)解(1)由题意知f(x)的定义域为(0, +8),，一 af (x) = + 1 + x令 f (x)=0,得*= 1或*=2-1.当 al 时，a-10,由 f (x)0 得 0x0 得 x1,所以函数f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增.当 1a2 时，0a 11,由 f ( x)0，得 a 1x0 得 0x1,所以函数f(x)在(a- 1, 1)上单调递减，在(0, a1)和(1, +8)上单调递增当 a= 2 时，a- 1 = 1,可得 f ( x) 0,此时函数f (x)在(0 , +8)上单调递增.当 a2 时，a 11,由 f ( x)0 得 1x0 得 0xa 1,所以函数f(x)在(1 , a1)上单调递减，在(0, 1)和(a 1, +8)上单调递增(2)当a=e2+ 1时，由(1)得函数f(x)在(1 , e2)上单调递减，在(0,1)和(e2,十)上单调递 增，从而f (x)在1 , +00)上的最小值为 f(e2) = e23.对任意 X16 1 , +8),存在 X2C1,+8),使 g(X2)f(X1),即存在 地61 , +8),使g(X2)的函数值不超过 f (x)在区间1 , +8)上的最小值一e23.r x2-2-2ztr x22e - e由 e+mx 2e30一 e - 3 得 e + mx0 , p (x)e Xx2ex0, p (x)0,故P( X)在区间1 , +00)上单调递减,得 P( X) max= p(1) =ee,从而m的取值范围为（00, e2 e.