《空间中的垂直关系》专题训练

空间中的垂直关系专题训练1如图1所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EFGF。ABCDEA1B1C1OF2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。31如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD平面ACC1A1。2如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。I证明平面；II设证明平面。4如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中点1求证C1D 平面A1B ；2当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论。5如图，ABC 为正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中点，求证：1DE DA ；2平面BDM 平面ECA ；3平面DEA 平面ECA。6如下列图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBD=G。求证：平面B1EF平面BDD1B1；求点D1到平面B1EF的距离d；求三棱锥B1EFD1的体积V。71如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影2如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。试确定，使直线与平面所成角的正切值为；在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。8如图1所示，A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中点。1证明AB1DBC1；2假设AB1BC1，BC=2。求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。9是边长为的正三角形所在平面外一点，求异面直线与的距离。ABCDEFGH10如图，在空间四边形中，、分别是边、 、的中点，对角线且它们所成的角为。求证：，求四边形的面积。11如图1所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，那么四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图2的 要求：把可能的图的序号都填上图1图212、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线.给出四个论断：mn n m答案：m，n，mn或mn，m，n空间中的垂直关系答案1 证明：如图2，作GQB1C1于Q，连接FQ，那么GQ平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EFFQ，由三垂线定理得EFGF。2证明：设O为AC中点，连接EO，BO，那么EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，ABCDEA1B1C1OFEOBD为平行四边形，EDOB。ABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BO面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。3 证明：1ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，CC1平面ADCD, BDCC1ABCD是正方形BDAC又AC，CC1平面ACC1A1,且ACCC1=C, BD平面ACC1A1。2证明：I取CD中点M，连结OM。在矩形ABCD中，又那么连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。II连结FM。由I和条件，在等边中，且因此平行四边形EFOM为菱形，从而。平面EOM，从而而所以平面4 分析：1由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。2由1得C1D AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。1证明：如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90。又 D 是A1B1 的中点， C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。2解：作DE AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，那么AB1 平面C1DF ，点F 即为所求。事实上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 。5 证明：1如图，取EC 中点F ，连结DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，那么四边形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。2取AC 中点N ，连结MN 、NB ， M 是EA 的中点， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中点， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，那么平面ECA 平面BDM。3 DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。6 证法一：连接AC。正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形。ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1E，F分别为AB，BC的中点，故EFAC，EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1。证法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.平面B1EF平面BDD1B1。解：在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足为H，点D1到平面B1EF的距离d=D1H。解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H，D1B1=A1B1=4，sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4解法二：D1HBB1BG，d=D1H=。图解法三：如下列图，连接D1GB1GD1H=BB12。d=。d.7证明： 面， ， 为正方形， ， 与相交， 面，面， 由面，且面， ， ，面，面， ，即 为点在直线上的射影，同理可证得为点在直线上的射影。2解法1：连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，连结OG，因为PC平面，平面平面APCOG，故OGPC，所以OGPC。又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP与平面所成的角。在RtAOG中，tanAGO，即m。所以，当m时，直线AP与平面所成的角的正切值为。可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP。那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。8 证明：1如图2所示，A1B1C1ABC是正三棱柱，四边形B1BCC1是矩形。连结B1C，交BC1于E，那么BE=EC。连结DE，在AB1C中，AD=DC，DEAB1，又因为AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1。2作AFBC，垂足为F。因为面ABC面B1BCC1，AF平面B1BCC1。连结B1F，那么B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影。BC1AB1，BC1B1F。四边形B1BCC1是矩形，B1BF=BCC1=90，又FB1B=C1BC，B1BFBCC1，那么=。又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BFBC=12=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3，B1F=，即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为。9 FCABDEFCABDEFCABDE图图图解析：分别取、中点、，连结图。连结、图，为公共边， 点为中点 同理：图又，即为异面直线与的公垂线段如图，在中， 异面直线与的距离。点评：求异面直线的距离，必须先找到两条异面直线的公垂线段。10 ABCDEFGH解析：在中，、分别是边、的中点，在中，、分别是边、的中点， 且，同理：且，四边形为菱形，。， 或的补角即为异面直线与所成的角，由得：或，四边形的面积为：。11 图1图2答案：解析：面BFD1E面ADD1A1，所以四边形BFD1E在面ADD1A1上的射影是，同理，在面BCC1B1上的射影也是。过E、F分别作DD1和CC1的垂线，可得四边形BFD1E在面DCC1D1上的射影是，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是。212 答案：m，n，mn或mn，m，n