离散型随机变量的分布列超几何分布

-离散型随机变量及其分布列超几何分布解读省于都县第二中学才兴 ：342300一、学习目标1理解离散型随机变量的概念，掌握离散型随机变量的两个性质，会求离散型随机变量的的分布列； 2知道超几何分布，会利用超几何分布求离散型随机变量的分布列.二、知识梳理1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，则这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量假设是随机变量，=a+b，其中a、b是常数，则也是随机变量.3.连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取*一区间的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.离散型随机变量的分布列: *1*2*iPP1P2Pi6.离散型随机变量分布列的两个性质：pi0(i=1，2，)；P1+P2+=1.7.超几何分布列在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有*件次品，则事件*k发生的概率为：P(*k) (k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、NN*，则称分布列*01mP来源:学+科+网Z+*+*+K为超几何分布列.三、热点例析题型一：离散型随机变量的概念离散型随机变量的考察主要以客观题形式出现，主要考察对概念的理解，对概念的理解一是看结果是否可以有限，即是否可以一一列举，能够按一次次序列举出来的是离散型随机变量，二是随机事件的结果能否用变量来表示.例1以下随机变量:10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数*;一位射击手对目标进展射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用*表示该射击手在一次射击中的得分;翔在一次110米跨栏比赛中的成绩*;在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的数*.其中*是离散型随机变量的是()A.B.C.D.分析：此题在于考察离散型随机变量的概念.解析：中*的值可在*一区间取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.答案：C评析：随机主量本质上讲就是以随机试验的每一个结果为自变量的一个函数，它与函数有所不同，函数f(*)的自变量是实数*，而随机变量概念中，随机变量的自变量是试验结果即样本点.练习 1投掷两枚硬币，不是随机变量的为()A掷硬币的个数 B正面向上的个数C反面向上的个数 D正面向上和反面向上的个数之差的绝对值2.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,假设取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,假设抽取的次数为*,则表示放回5个球的事件为()A.*=4 B.*=5 C.*=6 D.*4题型二求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列的步骤是：首先求出离散型随机变量*的每一个取值，其次是求每个一取值的概率，最后是列表求得分布列.例2设离散型随机变量*的分布列为*01234P0.20.10.10.3m求：(1)2*1的分布列；(2)|*1|的分布列分析：首先利用离散型随机变量的性质求出m，分别求出2*+1，|*1|的取值，再根据取值的概念求得各次的分布列.解：由分布列的性质知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表为：*012342*113579|*1|10123(1)2*1的分布列：2*113579P0.20.10.10.30.3(2)|*1|的分布列：|*1|0123P0.10.30.30.3点评：在求离散型随机变量的分布列时要明确随机变量所取的每一个值表示的意义是关键，练习 3.2021质检 随机变量*的概率分布规律为P(*k)，k1，2，3，4，其中c是常数，则P的值为()A. B. C. D.4随机变量*的分布列如下：*101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|*|1)_.题型三超几何分布的应用超几何分布作为常见的一种分布列，它是新课标高考的高频考点之一，它主要应用于一件事下的两类不同的形态中，即红球与白球，正品与次品等.例32021模拟 袋子中装有大小、形状完全一样的m个红球和n个白球，其中m，n满足mn2且mn10(m，nN)，假设从中取出2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率(1)求m，n的值；(2)从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为*，求*的分布列分析：根据题设条件与组合数性质，求出m，n的值，要注意mn2，mn10这个条件.解：(1)依题意得，即(mn)2mn，则mn是完全平方数又mn2，mn10，mn9，mn3，m6，n3.(2)*的取值为0，1，2，3，P(*0)；P(*1)；P(*2)；P(*3).*的分布列为*0123P评析：超几何分布重点是记模型，而不是死记公式，它的数学模型是：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有*件次品，则事件*k发生的概率为：P(*k) (k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、NN*.练习5.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数*是一个随机变量，则P(*4)的值为 ()A. B. C. D.6一袋中装有10个大小一样的黑球和白球从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为*，求随机变量*的分布列练习参考答案 1A提示：掷硬币的个数为2，不是随机变量；正面向上的个数为0，1，2，是随机变量；反面向上的个数为0，1，2，是随机变量；正面向上和反面向上的个数之差的绝对值为0，2，是随机变量，应选A.2C提示：第一次取到黑球,则放回1个球,第二次取到黑球,则放回2个球共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故*=63D提示：由题意，得1，即c，于是P*0，称P(B|A)= ，为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.2.相互独立事件(1)概念：如果两个事件A与B满足等式P(AB)P(A)P(B)，称事件A与B是相互独立的，简称A与B，即：假设A的发生与B的发生互不影响，则称A、B相互独立(2)性质：假设A与B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)(3) 假设A与B相互独立，则与B，A与，与也都相互独立3. 二项分布如果在一次试验中*事件发生的概率是p，则在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(*k)Cpkqnk，其中k0，1，2，3，n，q1p.于是得到随机变量*的概率分布如下：*01knPCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0由于Cpkqnk恰好是二项展开式(pq)nCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0中的第k1项(k0，1，2，n)中的值，故称随机变量*为二项分布，记作*B(n，p)4. 互斥与相互独立的区别与联系一样点不同点都是描绘两个事件间的关系互斥强调不可能同时发生，相互独立强调一个事件的发生与否对另一事件发生没有影响互斥的两个事件可以独立，独立的两个事件也可互斥独立事件的公式：P(AB)=P(A)P(B)互斥事件的公式：P(A+B)=P(A)+P(B)三、热点例析题型一条件概率的应用条件概率公式提醒了条件概率P(B|A)与事件P(A)，P(AB)之间的关系，为了方便也常将公式变形为乘法公式：P(AB)= P(B|A) P(A)，另条件概率主要有两种求法，一种是列举筛选法，二是公式法例1甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件则以下结论中正确的选项是()P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；A BCD【分析】由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中*一个事件发生所决定的，故错误；P(B|A1)，故正确；由互斥事件的定义知正确，故正确的结论的编号是.【答案】A【点评】此题考察了条件概率、互斥事件与独立事件等概念，其中条件概率的计算采用了公式法【练习】1. (2021聊城模拟)*种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率是，两次闭合都出现红灯的概率为.在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为_2从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A取到的2个数之和为偶数，事件B取到的2个数均为偶数，则P(B|A)()A. B. C. D.题型二利用独立事件概率公式解决实际问题应用相互独立事件同时发生的概率公式的解题步骤为：确定各事件是相互独立的；确定各事件会同时发生；先求每个事件发生概率，再求其积或和.例2.有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n1，2，3)关时，需要抛掷n次骰子，当n次骰子面朝下的点数之和大于n2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停顿闯关每次抛掷骰子相互独立(1) 求仅闯过第一关的概率；(2) 记成功闯过的关数为，求的分布列【分析】每次抛掷骰子都是相互独立的，；因此应根据独立事件方法求解.【解】(1) 记仅闯过第一关的概率这一事件为A，则P(A).(2) 由题意得，的取值有0，1，2，3，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，即随机变量的概率分布列为0123P【点评】使用独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件各个事件是相互独立的，而且它们同时发生，另当遇到至少、 至多等词语时，常考虑其对立事件.【练习】3两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_4*人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的局部，第一、二、三局部面积之比为136.击中目标时，击中任何一局部的概率与其面积成正比(1)设*表示目标被击中的次数，求*的分布列；(2)假设目标被击中2次，A表示事件第一局部至少被击中1次或第二局部被击中2次，求P(A)题型三二项分布的应用 二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布解决实际问题关键在于在实际问题中建立二项分布模型.例3*商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一抽奖券，每抽奖券可以从一个装有大小一样的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖(1) 求一次抽奖中奖的概率；(2) 假设每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和*(元)的概率分布【分析】(1)是超几何分布问题，(2)是二项分布，这两问极易混淆，解题时要十分注意.【解】(1) 设一次抽奖中奖为事件A，则P(A).(2) *可取0，10，20，P(*0)(0.2)20.04，P(*10)C0.80.20.32，P(*20)(0.8)20.64.*的概率分布列为*01020P0.040.320.64【点评】利用二项分布概率公式时要看他是否满足三个条件：1在一次实验中事件A发生的概率是一个常数p；2n次实验不仅是在完全一样的情况下进展的重复试验，而且各次结果是相互独立的；3公式P(*k)Cpkqnk表示n次试验中事件A恰好发生k次的概率.【练习】5设随机变量B(2，p)，B(4，p)，假设P(1)，则P(2)的值为()A. B.C.D.6学校游园活动有这样一个游戏工程：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全一样每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，假设摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏完毕后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，()摸出3个白球的概率；()获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数*的分布列【配套练习参考答案】1提示：第一次闭合后出现红灯记为事件A，第二次闭合后出现红灯记为事件B，则P(A)，P(AB).P (B|A).2B提示：P(A)，P(AB).由条件概率计算公式，得P(B|A).3提示：设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)，P(B)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)(1)(1).4解析 (1)依题意*的分布列为*01234P(2)设Ai表示事件第一次击中目标时，击中第i局部，i1，2.Bi表示事件第二次击中目标时，击中第i局部，i1,2.依题意知P(A1)P(B1)0.1，P(A2)P(B2)0.3， AA1B1A1B1A2B2，所求的概率为P(A)P(A1)P(B1)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P()P()P(B1)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)0.10.90.90.10.10.10.30.30.28.5B提示：因为随机变量B(2，p)，B(4，p)，又P(1)1P(0)1(1p)2，解得p，所以B(4，)，则P(2)1P(0)P(1)1(1)4C(1)3().6解：(1)()设在1次游戏中摸出i个白球为事件Ai(i0,1,2,3)，则P(A3).()设在1次游戏中获奖为事件B，则BA2A3.又P(A2)，且A2，A3互斥，所以P(B)P(A2)P(A3).(2)由题意可知*的所有可能取值为0,1,2.由于*服从二项分布，即*B.P(*0)2，P(*1)C，P(*2)2.所以*的分布列是*012P. z.