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观察与归纳(B)年级 班 姓名 得分 一、填空题 1. 先观察前面三个算式,从中找出规律,并根据找出的规律,直接在( )内填上适当的数. (1)1234567899=1111111101,(2)12345678918=2222222202,(3)12345678927=3333333303,(4)12345678972=( ),(5)12345678963=( ),(6)666666660654=( ),(7)999999990981=( ),(8)5555555505123456789=( ).2. 将下列分数约成最简分数:=_.3. 在所有的两位数中,十位数字比个位数字大的两位数有_个.4. 大于1的整数加下图所示,排成8列,数1000将在第_列. 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 145. 将所有自然数如下图排列.15120这个数应在第_行第_个位置上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 11个数排成一列,相邻三个数之和等于20.已知第2个数是1,第13个数是9,第9个数是_.7. 一数列相邻四个数的和都是45,已知第6个数是11,第19个数是5,第44个数是24,那么第一个数是_.8. 数列1,1991,1990,1,1989,1988,1,从第三个数起,每个数是前两个数的差,这个数列中第一个零出现在第_项.9. 例6中第70个数被5除余_.10. 如下图,有一个六边形点阵,它的中心是个点,算作第一层;第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点,这个六边形点阵共有层,第层有_个点,这个点阵共有_个点. 二、解答题11. 现有如下一系列图形:当=1时,长方形分为2个直角三角形,总计数出5条边.当=2时,长方形分为8个直角三角形,总计数出16条边.当=3时,长方形分为18个直角三角形,总计数出33条边.按如上规律请你回答:当=100时,长方形应分为多少个直角三角形?总计数出多少条边?12. 下面的()、()、()、()为四个平面图.数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们分别围成了多少个区域?请将结果填入下表(按填好的样子做). 顶点数边数区域数()46 3()()()观察上表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?现已知某个平面图有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个图有多少条边.13. 全体奇数排成下图形式,十字框子框出5个数,要使这五个数之和等于,(1) 1989; (2) 1990; (3) 2005; (4) 2035,能否办到?若能办到,请你写出十字框中的五个数. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 4714. 有一列数1,3,4,7,11,18(从第三个数开始,每个数恰好是它前面相邻两个数的和).(1)第1991个数被6除余几?(2)把以上数列按下述方法分组(1),(3,4),(7,11,18)(第组含有个数),问第1991组的各数之和被6除余数是几?答 案 答 案:1. 8888888808, 7777777707, 123456789, 123456789, 45. 2. 因为,即分子分母添上相同个数的6,分数值不变,所以. 3. 十位数字是1时,这样的两位数只有10这1个;十位数字是2时,这样的两位数有20,21这2个;十位数字是3时,这样的两位数有30,31,32这3个;由此可以推知:“十位上的数字是几,符合条件的两位数就有几个.”所以,符合题目条件要求的两位数,共计有:1+2+3+8+9=45. 4. 所有8的倍数均在第三列中,数1000是8的倍数,所以它在第三列中. 5. 每一行的最末一个数正好为该行行数的平方,该行开头的数是前一行最末一个数加1.由于1222151201232,15120-1222=236,故15120在第123行的236号上. 6. 14个数是每三个数的循环排列,第二个数是1,那么第8个数也是1.第13个数是9,那么第10个数也是9,所以第9个数是20-1-9=10. 7. 数列每隔4项重复出现.第2个数是11,第3个数是5,第4个数是24,那么第一个数是45-(11+5+24)=5. 8. 除开1不看,数列是 1991,1990,1989,1988,第1992个是0,再加上前面的996个1,第一个0出现在第1992+996=2988项上. 9. 写出每个数被5除的余数: 0,1,3,3,1,0,4,2,2,4,0,1,3,可见每10个余数循环一次,7010=7,第70个数被5除余为0. 10. 观察点阵中各层点数的规律,然后归纳出点阵共有的点数.第一层有点数:1;第二层有点数:16;第三层有点数:26;第四层有点数:36;第层有点数:(-1)6.因此,这个点阵的第层有点(-1)6个, 层共有点数为 1+16+26+36+(-1)6=1+61+2+3+(-1)=1+6=1+3(-1). 11. =1时,直角三角形212个,边数=21(1+1)+12=5; =2时,直角三角形222个,边数=22(2+1)+22=16; =3时,直角三角形232个,边数=23(3+1)+32=33;对一般的,共分为22个直角三角形,总计数出2(+1)+2条边. 所以=100时,共分为21002=20000个直角三角形,总计数出2100(100+1)+1002=30200条边. 12. (1)填表如下: 顶点数边数区域数()463()8125()694()10156(2)由该表可以看出,所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系: 4+3-6=1 8+5-12=1 6+4-9=1 10+6-15=1所以,我们可以推断:任何平面图的顶点数、边数及区域数之间,都有下述关系: 顶点数+区域数-边数=1.(3)由上面所给的关系,可知所求平面图的边数. 边数=顶点数+区域数-1 =999+999-1 =1997注:本题第二问中的推断是正确的,也就是说任何平面图的顶点数、区域数及边数都能满足我们所推断的关系.当然,平面图有许许多多,且千变万化,然而不管怎么变化,顶点数加区域数再减边数,最后的结果永远等于1,这是不变的.因此, 顶点数+区域数-边数就称为平面图的不变量(有时也称为平面图的欧拉数以数学家欧拉的名字命名). 13. 十字框中5个数的和等于中间那个数的5倍,1989不是5的倍数,1990=5398是5的偶数倍,均不可能.20055=401,能办到的五个数是399,401,403,389,413. 20055=407,40712=3311,407在最右边一列上,故不可能. 14. 设表示数列中的等个数,=+(), =+(6)().容易列出下表: 被6除的余数 1 3 4 1 5 0 5 5 4 3 1 4 5 被6除的余数 3 2 5 1 0 1 1 2 3 5 2 1 3观察上表可知=(6), =(6),则=(6).就是说,数列中的数被6除所得的余数,每隔24个数重复出现. 由于1991=2482+23,因此=5(6),即数列中等1991个数被6除余数是5.按规定分组后,前1990组共有:1+2+3+1990=1981045(个)数,第1991组的各数之和为=+.据上表可知,数列中任意相邻的24个数之和被6除的余数就等于24个数分别被6除所得余数之和被6除所得的余数,即:+=(1+3+4+1+5+0+5+5+4+5+3+1+4+5+3+2+5+1+0+1+1+1+2+ 3+5+2)=66=0(6).由1991=2482+23得=+082(6).有+=+=0(6),1981045=2482543+13,=5(6),即被6除余数是5,故被6除所得的余数应是1.
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