数列二轮专用

word数列第一轮【题型与归纳】【备考要点】1.使用等比数列的求和公式，要考虑公比与两种情况，切忌直接用与的关系：求解，注意对首项的验证。3.数列求解通项公式的方法：A.等差等比（求解连续项的差或商，比例出现字母的注意讨论）B. 利用与的关系：D.可以转化为等差和等比的数列（一般大多题有提示，会变成证明题）（1）；令；（2）；“”（两边除以）或“.（3）；（4）. 令E. 应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：；，取倒数，数列的倒数有可能构成等差数列（对于分式形式的递推关系）G给定的，形式的，可以结合，写成关于的关系式，也可以写成关于的关系式，关键就是那个关系式比较容易的求解出结果来公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.或转化为等差数列和等比数列利用公式求解；求解参数的式子中有结构的，注意对n是偶数与奇数的讨论，往往分开奇数与偶数，式子将会变的简单5.不等式证明： （1）证明数列，可以利用函数的单调性，或是放缩（2）证明连续和，若是有，形式的，每一项放缩成可以裂项相削形式（）或者（）或者是（）（注意证明式子与对应项的大小关系）；或者是变形成等差或是等比数列求和（3）证明连续积，若有，的形式，每一项适当的放缩，变形成迭乘相削形式，或者错位相乘（）或者（）（4）利用函数的单调性，函数赋值的方法构造（5）最后就是：若是上述形式失败，用数学归纳法（6）比较法（7）放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式（8）对于证明存在问题、唯一问题、大小问题等有时可以尝试反证法在数学复习中，要合理安排本学科所需要的容，即不能一味地做难题，又不能只背一些公式、掌握一些技巧，在后段复习中要特别注意做好知识点的疏通与清理。（1）清理考点。对考试说明提出的数学概念、公式和方法等考点要逐一疏通，特别是自己平时掌握有一些困难的，要有计划地查漏补缺，形成合理的知识结构。（2）清理“错题”。考前要有计划地推敲“错题集”，即整理近期自己做错的题目，看看现在再做时能否顺利解决，纠正错误，尤其是分清错误类型（如知识缺陷型、解题策略型、不良习惯、心理型等），增强防意识。（3）清理题型。考前一段时间要对各种基本题型进行归纳回顾，领悟其基本思路，有针对性地分类突破。（4）清理方法。首先要通过各类题型熟练掌握具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、比较法、归纳法、分离参数法及分析法、综合法、反证法；其次要花大力气领悟几种重要的数学思想，如数形结合、分类讨论、化归与转化、函数与方程等，因为高考已由知识测量型转化为能力检测型，并把重点放在数学思想方法的应用上，如分类讨论用于协调、缓和“矛盾”，达到运用知识合理解题的思想，要回顾和领悟的有：为什么要讨论？何时讨论？如何讨论？常见的讨论类型有哪些？通过典型试题的整理和反思，相信会有所收获。【原题】数列an前n项和为Sn，数列bn前n项和为Tn，bn为等差数列且各项均为正数，1=1,an+1=2Sn+1(nN*),T3=15 (1)求证：数列an是等比数列； (2)若a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn .【解析】(1)a2=2S1+1=3=3a1 a2时,an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2anan+1=3an，即an是公比为3的等比数列.(2)由(1)得：an=3n-1，设bn公差为d(d0)，=15，b2=5 依题意：(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3) 64=(5-d+1)(5+d+9) d2-8d-20=0 d=2或d=-10(舍) Tn=3n+=n2+2n【试题出处】一中2011届高三年级第四次月考数学试卷（文）【原题】（本小题满分12分）已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和。【解析】（1）由已知，得 当2时， 所以5分由已知，设等比数列的公比为，由得，所以 所以（2）设数列的前项和为，则，两式相减得12分所以【试题出处】泰宁一中2011届高三年级第二次月考数学试题（文）【原题】（本小题满分13分）在数列。 （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设【试题出处】皖南八校2011届高三第一次联考数学试题（文科）【原题】（满分12分）已知正项数列的前项和满足：；设，求数列的前项和的最大值。【解析】当时，所以，即，；1分当时，由，得，两式相减，得当时，取最大值，但，11分当时最大，最大值为。12分【试题出处】正定中学2010-2011学年第一学期高三第3次考试数学（文）【原题】（12分）已知数列的前n项和为（1）求出数列的通项公式；（2）若的通项公式。【解析】（1）当由-得，又数列是首项为1，公比为的等比数列，（为正整数） （2）由叠加可得由（）知故【试题出处】南开中学2010-2011学年度第一学期高三年级模拟考试数学试题（文科）【原题】（本小题满分12分） 设的前n项和，对，都有（1）求数列的通项公式；（2）设的前n项和，求证：【试题出处】一中2011届高三年级第三次月考数学试题（理科）【原题】(本题满分12分）对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线另一点。（1）试证：（2）取并为抛物线上分别为与为切点的两条切线的交点，求证【解析】（1）证明：焦点（0，1）设直线AnBn方程为： 消去y得 【试题出处】正定中学2010-2011学年第一学期高三第3次考试数学试题（理科）【原题】已知是等差数列，公差成等比数列，的前n项和。（1）求证：成等比数列； （2）设数列是否存在正整数m，使得恒成立？ 若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由。【解析】（1）由已知得，由此，命题得证。 （2）假设存在正整数m满足条件，即使得当解得对于正整数时，均满足题目条件，故m的最小值为100。【试题出处】济阳中学2010-2011学年度第一学期高三年级模拟考试数学试题（文）【原题】设数列an的前n项和Sn=2an-2n(nN+). (1)求a2、a3的值；(2)证明是等比数列； (3)求Sn关于n的表达式.【解析】：(1)由Sn=2an-2n，S1=2a1-2，a1=2，a1+a2=2a2-4，a2=6，a1+a2+a3=2a3-8，a3=16，a2=6，a3=16. (2)Sn=2an-2n，即. 成等比数列，首项a2-2a1=2，公比为2. (3)记，由，t1=1，于是即=n(nN+).【试题出处】省中学20102011学年度第一学期高三数学期中考试试卷【原题】已知数列的前项和是，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求适合方程的的值.【解析】（1） 当时，得当时，当时，也满足7分（2），9分12分解方程，得14分【试题出处】2010学年第一学期十校联合体高三期中联考数学（文科）试卷【原题】已知数列满足，且，求数列的前三项，；求证：数列为等差数列；求数列的前项和【解析】由，且得 由 ，得同理，得，4分对于，且，来源:是与无关的常数，即数列为等差数列由知，等差数列的公差为1， ，得， 记，则有， 两式相减，得 ， 故 【试题出处】省高级中学20102011学年第一学期每三次测试高三数学（文科）【原题】已知为递减的等比数列，且（）求数列的通项公式；（）当时，求证：+【解析】（）是递减数列，1分 又-4，-3，-2，0，1，2，3，4，3分5分（）解当时，6分当时，7分 即+=+12分【试题出处】省市2011届上学期高三11月教学质量检测考试（数学文）【原题】已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且公差，. (1)求数列的通项公式； （2）若成等比数列，求数列的前项和.【解析】（1）由，得（2分）相减得： ，即，则（4分）当时，（5分）数列是等比数列，（6分） （2），（7分）由题意，而 设，得或（舍去）（10分）故(12分)【试题出处】六中2011届高三期中考试【原题】已知数列中，.（1）写出的值（只写结果），并求出数列的通项公式；（2）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，数的取值围。恒成立，则须使，即， 实数的取值围为2分另解： 数列是单调递减数列，【试题出处】六中2011届高三期中考试【原题】数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0（nN*）1）求数列an的通项公式（2）设bn=（nN*），Sn=b1+b2+bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有Sn总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由【解析】（1）an+22an+1+an=0，an+2an+1=an+1an（nN*）an是等差数列设公差为d，又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2，d=2an=2n+104分（2）bn=（），6分Sn=b1+b2+bn=（1）+（）+（）=（1）=9分假设存在整数m满足Sn总成立又Sn+1Sn=0，12分数列Sn是单调递增的S1=为Sn的最小值，故，即m8又mN*，适合条件的m的最大值为714分【试题出处】省沭阳县庙头中学2011届高三期中考试【原题】已知数列满足=-1，数列满足（1）求数列的通项公式（2）设数列的前项和为，求证：当时，（3）求证：当时，【解析】（1）由题意，即4分（2） 当时，平方则叠加得8分（3）当时，即时命题成立假设时命题成立，即 当时，= 即时命题也成立综上，对于任意，12分【试题出处】省一中2011届高三期中考试【原题】在数列中，（）（I）求的值；（II）设，求证：数列是等比数列；（III）设 （），如果对任意，都有，求正整数的最小值.【解析】（I）由已知可得 ，得.1分，得.2分，得.3分（II）由已知可得：时，时，.4分 得.5分时，.6分即时，.7分 数列是等比数列，且首项为，公比为.8分 （III）由（II）可得，.9分.10分.11分有最大值.12分对任意，都有，当且仅当，.13分即，故正整数的最小值是4. 14分【试题出处】海淀区2011届高三期中考试【原题】已知函数的图象上（1）求数列的通项公式；（2）令求数列（3）令证明：【解析】（1）1分 当；2分当，适合上式，3分 4分（2），5分， 6分由得：7分=， 8分（3）证明：由9分 10分又11分12分13分成立 14分【试题出处】区2010学年度第一学期高三期中质量检测文科数学试卷【原题】已知数列满足，.（1）若数列是等差数列，求的值；（2）当时，求数列的前项；（3）若对任意，都有成立，求的取值围.当为偶数时，由令当时，解得综上，的取值围是【试题出处】一中、宝安中学高三联考理科数学试题【原题】数列an是等差数列，其中，数列an前n项和存在最小值。（1）求通项公式an（2）若，求数列的前n项和【解析】2分又数列an是等差数列，（）+（）=解之得：4分当时，此时公差，当时，公差，此时数列an前n项和不存在最小值，故舍去。6分由知8分10分12分【试题出处】豫南九校20102011学年高三第二次联考理科数学试题【原题】已知曲线上有一点列，点在x轴上的射影是，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设四边形的面积是，求证：【解析】（1）由得 ， ， 故是公比为2的等比数列.6分（2） ，, 而 ，9分 四边形的面积为：,故.14分【试题出处】高级中学20102011学年第一学期高三第三次考试数学（理科）试题【原题】已知数列满足，(nN*).（I）设，求数列的通项公式；（II）若对任意给定的正整数m，使得不等式ant2m(nN*)成立的所有n中的最小值为m2，数t的取值围.【原题】已知数列满足：。 (1)求；(2)求数列的通项公式；(3)设，若对恒成立，数的取值围。【解析】(1)，(*)，又(2)由两边同减去1，得 对上式取倒数，得，又 则数列是以为首项，为公差的等差数列，即，(3)由(2)知，而 又，则有 又因对恒成立，则有即对恒成立。 设函数， 则 所以是单调递减，则当时，取得最大值为即 所以实数的取值围为。【试题出处】外国语学校高2011级12月月考数学试题(文科)【原题】已知数列中，对一切自然数，都有且求证：(1)； (2)若表示数列的前项之和，则【解析】(1)由已知得，又因为，所以,因此，即.6分(2)由结论(1)可知 ，即，于是，即14分【试题出处】省高级中学2010-2011学年第一学期第二次测试高三文科数学【原题】已知函数设数列 （1）求数列的通项公式； （2）已知数列，求证：对一切正整数都有【试题出处】济阳中学2010-2011学年度第一学期高三年级模拟考试数学试题（理）【原题】（本小题共16分）已知数列 和满足 ，的前项和为. （）当m=1时，求证：对于任意的实数一定不是等差数列；（） 当时，试判断是否为等比数列；（）在()条件下，若对任意的恒成立，数的围.【解析】(1) 2分5分（2）9分10分（3），不成立11分 当时 当为奇数时，当为偶数14分 从而求得16分【试题出处】省中学20102011学年度第一学期期中考试高三年级数学（理）试题【原题】（本小题满分14分）已知数列满足且（1）求；（2）数列满足，且时证明当时，；（3）在（2）的条件下，试比较与4的大小关系【解析】（1）设由当时，数列为等差数列（4分）（2）证：当时，由，得，即（6分）式减式，有，得证 （8分）（3）解：当时，；当时，由（2）知，当时，当时，上式， （14分）【试题出处】省黄冈中学二中2011届高三年级联考数学试题（理科）【原题】已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足=+（）.记数列前项和为，（1）求数列和的通项公式；（2）若对任意正整数n，当m1,1时，不等式t22mt+恒成立，数t的取值围(3)是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【解析】（1）,.又数列成等比数列， ，所以；又公比，所以 ；3分又,；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；6分（2）t或t2或t=0.10分(3)成等比数列,得,结合知,14分【试题出处】省学军中学2010-2011学年高三上学期期中考试数学理科试题【原题】设数列的前项和为，且对任意的，都有，（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：（3）证明1：由于，所以即令，则有即，即故证明2：要证，只需证，只需证，只需证 由于因此原不等式成立【试题出处】2010年市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）【原题】已知点列B1(1，b1)，B2(2，b2)，Bn(n，bn)，(nN)顺次为抛物线yx2上的点，过点Bn(n，bn)作抛物线yx2的切线交x轴于点An(an,0)，点(,0)在x轴上，且点An，Bn，构成以点Bn为顶点的等腰三角形.(1)求数列an，的通项公式；(2)是否存在n使等腰三角形AnBn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由.(3)设数列的前n项和为Sn，求证：Sn.【解析】(1)yx2，y， y|xn， 则点Bn(n，bn)作抛物线yx2的切线方程为：y(xn)，令y0，则x，即an；(3分)点An，Bn，构成以点Bn为顶点的等腰三角形，则：an2n，2nan (5分)(2)若等腰三角形AnBn为直角三角形，则|An|2bnnn2，存在n 2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形 (9分)(3)()(11分)Sn(1)(1)又1随n的增大而增大，当n 1时Sn的最小值为：(1)，Sn(13分)【试题出处】市一中2011届高三月考试卷 (文科)【原题】设函数的定义域为，当时，且对任意的实数，有（）求，判断并证明函数的单调性；（）数列满足，且求通项公式的表达式；令，试比较的大小，并加以证明要比较与的大小，只要比较和的大小，12分【试题出处】八中2011届高三上学期第三次月考数学试题（文）【原题】已知二次函数的图象过点，且（1）求的解析式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）对于（2）中的数列，求证： 前n项和。【解析】（1）由，解之得。即； 4分（2）由 由累加得；8分（3）()当时，显然成立； 当时，。12分【试题出处】万二中高2011级高三上期中期考试数学试卷(文科)【原题】在数列中，已知，（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求证：，【解析】（1）注意到，所以原式整理得：由，得对，从而由，两边取倒数得：2分，即，数列是首项为，公比为的等比数列故数列的通项公式是4分（2）证法1：，当时，8分+12分证法2：，当时，8分12分【试题出处】八中2011届高三上学期第三次月考数学试题（理）【原题】已知定义在上的函数，满足条件：，对非零实数，都有（1）求函数的解析式；（2）设函数，直线分别与函数，交于、两点，（其中），求；（3）设，为数列的前项和，求证：当时， 【解析】（1）当时，故 两式联立可得，又当时，有；。4分所以，。8分（3）由（2）知， ，当时，累加得: 又。12分【试题出处】万二中高2011级高三上期中期考试数学试卷(理科)【原题】已知是递增数列，其前项和为，且，（1）求数列的通项；（2）是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；（3）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值【解析】（1），得，解得，或由于，所以因为，所以.故，整理，得，即因为是递增数列，且，故，因此则数列是以2为首项，.（2）满足条件的正整数不存在，证明如下：假设存在，使得，则整理，得， 显然，左边为整数，所以式不成立故满足条件的正整数不存在 （3），来源:学*科*网不等式可转化为设，则 .所以，即当增大时，也增大要使不等式对于任意的恒成立，只需即可因为，所以，即.所以，正整数的最大值为8【试题出处】省二中2011届高三上学期第四次月考数学试卷（文）最后，题目总结。解题不是目的，我们是通过解题来检验我们的学习效果，发现学习中的不足的，以便改进和提高。因此，解题后的总结至关重要，这正是我们学习的大好机会。对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结：在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的。在方法方面：如何入手的，用到了哪些解题方法、技巧，自己是否能够熟练掌握和应用。能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤(比如用数学归纳法证明题目就有很明显的三个步骤)。能不能归纳出题目的类型，进而掌握这类题目的解题通法(我们反对老师把现成的题目类型给学生，让学生拿着题目套类型，但我们鼓励学生自己总结、归纳题目类型)30 / 30