高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

抛物线专题复习 知识点梳理 抛 物 线 0 2 pxy 0 2 pxy 0 2 pyx 0 2 pyx 定义 平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点Fl 叫做抛物线的焦点 直线 叫做抛物线的准线 Fl 点 M 到直线 的距离 l 范围 0 xyR 0 xyR 0 xy 0 xRy 对称性 关于 轴对称 关于 轴对称 0 2p 0 2p 0 2p 0 2p 焦点 焦点在对称轴上 顶点 0 O 离心率 1e2px 2px 2py 2py 准线 方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等 顶点到准 线的距离 焦点到准 线的距离 p 焦半径 1 Axy12pFx 12AFx 12pAFy 12pAFy x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 焦 点弦 长AB12 xp 12 xp 12 yp 12 yp 以 为直径的圆必与准线 相切ABl 若 的倾斜角为 则AB 2sinp 若 的倾斜角为 则AB 2cospAB 124x21yp 焦点弦 的几 条性质 1 xy2BAFBF 切线 方程 00 ypx 00 ypx 00 xpy 00 xpy 一 直线与抛物线的位置关系 直线 抛物线 消 y 得 1 当 k 0 时 直线 与抛物线的对称轴平行 有一个交点 l 2 当 k 0 时 0 直线 与抛物线相交 两个不同交点 0 直线 与抛物线相切 一个切点 l 0 直线 与抛物线相离 无公共点 3 若直线与抛物线只有一个公共点 则直线与抛物线必相切吗 不一定 二 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 抛物线 lbkxy 0 p 联立方程法 pxy2 0 22 bxp o x 2 yF y 1 A 设交点坐标为 则有 以及 还可进一步求出 1yxA 2B0 21 x bxkbky12121 2121121 bxkbky 在涉及弦长 中点 对称 面积等问题时 常用此法 比如 相交弦 AB 的弦长 2121221 4 xxkxkAB ak 2 或 2121221 yyy 2 抛物线练习 1 已知点 P 在抛物线 y2 4x 上 那么点 P 到点 Q 2 1 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小 值时 点 P 的坐标为 2 已知点 P 是抛物线 上的一个动点 则点 P 到点 0 2 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的x 最小值为 3 直线 与抛物线 交于 两点 过 两点向抛物线的准线作垂线 垂足分别为 3yx 24y AB PQ 则梯形 的面积为 AQB 4 设 是坐标原点 是抛物线 的焦点 是抛物线上的一点 与 轴正向的夹角为OF2 0 ypx AFA x 则 为 60 5 抛物线 的焦点为 准线为 经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点24yx lF3x 垂足为 则 的面积是 AKl AK 6 已知抛物线 的焦点为 准线与 轴的交点为 点 在 上且 则2 8CxKAC2KAF 的面积为 F 7 已知双曲线 则以双曲线中心为焦点 以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 2145xy 8 在平面直角坐标系 中 有一定点 若线段 的垂直平分线过抛物线 则该抛物o 21 AO2 0 ypx 线的方程是 9 在平面直角坐标系 中 已知抛物线关于 轴对称 顶点在原点 且过点P 2 4 则该抛物线的方xyx 程是 10 抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 2y 4380y 11 已知抛物线 y2 4x 过点 P 4 0 的直线与抛物线相交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 则 y12 y22 的最小值是 12 已知点 是抛物线 上的两个动点 是坐标原点 向量 1 Ax2 B12 x 2 0px OA 满足 设圆 的方程为 OB AOB C21212 0 xyxy 1 证明线段 是圆 的直径 2 当圆 C 的圆心到直线 x 2y 0 的距离的最小值为 时 求 p 的值 5 解 1 证明 22 OABOABO 22 整理得 1 0 12120 xy 以线段 AB 为直径的圆的方程为 22221111 4xyxy 展开并将 1 代入得 2220 x 故线段 是圆 的直径ABC 2 解 设圆 C 的圆心为 C x y 则 12xy 圆心 C 到直线 x 2y 0 的距离为 d 则 1212 5xyd 又因 2211 0 ypxp 214xp 12120 xy 1212xy 2114y 1212 0 xy 2124yp 21122 21121 8 545ypd p 21 45yp 当 时 d 有最小值 由题设得 12yp 13 已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 上 其中 为坐标原点 设圆 是 的内接圆OAB2yx OCOAB 点 为圆心 C 1 求圆 的方程 2 设圆 的方程为 过圆 上任意一点 分别作圆 的两条切线M22 47cos 7cos 1xy MP 切点为 求 的最大值和最小值 PEF E CF 1 解 设 两点坐标分别为 由题设知AB 1 xy 2 又因为 可得 即22xy 21y 2221xx 由 可知 故 两点关于 轴对称 所以圆心 在1212 0 x x 02AB C 轴上 设 点的坐标为 则 点坐标为 于是有 解得 所以xC r A3r 23rr 4 圆 的方程为 2 4 16xy 2 解 设 则 EFa 2 cos216s3cos16CEF AA 在 中 由圆的几何性质得RtPC 4cos xP 17M 8 176M 所以 由此可得 则 的最大值为 最小值为 2cos3 9CEF A CEF A169 8 14 如图 已知点 直线 为平面上的动点 0 F lxP 过 作直线 的垂线 垂足为点 且 PlQQ 1 求动点 的轨迹 的方程 C 2 过点 的直线交轨迹 于 两点 交直线 于点 已知 求FAB lM1AF 2MBF 的值 1 解 1 设点 则 由 得 Pxy 1 Qy PFQ A 化简得 0 22x AA 2 4Cyx 2 设直线 的方程为 B 0 xmy 设 又 1 xy 2 1M 联立方程组 消去 得 41xmy 故20y 2 0 O y x1 l F P BQ M FO A x y 124ym 由 得 1MAF 2B 整理得 12yy y 11m 221212my 12ym A4m A0