初中数学二次函数技巧试题答案超级全

初中数学二次函数做题技巧 I 定义与定义表达式 一般地 自变量 x和因变量 y之间存在如下关系 y ax 2 bx c a b c 为常数 a 0 且 a决定函数的开口方向 a 0 时 开口方向向上 a0 时 开 口方向向上 a 0 时 开口方向向下 IaI 还可以决定开口大小 IaI 越大开口就越小 IaI 越小开口就 越大 则称 y为 x的二次函数 二次函数表达式的右边通常为二次三项式 x 是自变量 y 是 x的 函数 二次函数的三种表达式 一般式 y ax 2 bx c a b c 为常数 a 0 顶点式 抛物线的顶点 P h k y a x h 2 k 交点式 仅限于与 x轴有交点 A x1 0 和 B x2 0 的抛物线 y a x x1 x x2 以上 3种形式可进行如下转化 一般式和顶点式的关系对于二次函数 y ax 2 bx c 其顶点坐标为 b 2a 4ac b 2 4a 即 h b 2a x1 x2 2 k 4ac b 2 4a 一般式和交点式的关系 x1 x2 b b 2 4ac 2a 即一元二次方程求根公式 初中数学二次函数做题技巧 2012 中考数学精选例题解析 一次函数 1 知识考点 掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律 会确定抛物线的顶点坐标 对称轴及最值等 精典例题 例 1 二次函数 的图像如图所示 那么 这四个代数cbxay 2 abc42 ba c 24 式中 值为正的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 解析 1abx2 0 答案 A 评注 由抛物线开口方向判定 的符号 由对称轴的位置判a 定 的符号 由抛物线与b 轴交点位置判定 的符号 由抛物线与 轴的交点个数判定 的符号 若 轴标出了 1 和 1 则结合函数ycxacb42 x 值可判定 的符号 ba 2cb 例 2 已知 0 把抛物线 向下平移 1 个单位 再向左平移 5 个单位所得到 axy 2 的新抛物线的顶点是 2 0 求原抛物线的解析式 分析 由 可知 原抛物线的图像经过点 1 0 新抛物线向右平移 5 个单位 再向上平移 1c 个单位即得原抛物线 解 可设新抛物线的解析式为 则原抛物线的解析式为 又易知原抛物线过2 xay 1 2 xay 点 1 0 解得1 52 a41 原抛物线的解析式为 3 2 xy 评注 解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系 以及所对应的解析式间的联系 并注意逆向思维 的应用 另外 还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动 常见的几种变动方式有 开口反向 或旋转 1800 此时顶 点坐标不变 只是 反号 两抛物线关于 轴对称 此时顶点关于 轴对称 反号 两抛物线关于 轴对称 axxay 此时顶点关于 轴对称 y 探索与创新 问题 已知 抛物线 是常数且不等于零 的顶点是 A 如图所示 抛物线2 1 tty at 的顶点是 B 12 xy 1 判断点 A 是否在抛物线 上 为什么 2xy 2 如果抛物线 经过点 B 求 1 ttxa 的值 这条抛物线与 轴ax的两个交点和它的顶点 A 能否构成直角三角形 若能 求出它 的值 若不能 请说明理由 解析 1 抛物线 的顶点2y A 而1 t2 当时 tx 22 1 xxy yx 例 1图 1 1O yx问 题 图 O B 初中数学二次函数做题技巧 所以点 A 在抛物线 上 2t 12 xy 2 顶点 B 1 0 设抛物线 与 轴0 2 tta t1 a2 1 ttxay x 的另一交点为 C B 1 0 C 0 由抛物线的对称性可知 ABC 为等腰直角三角形 过 A 作 AD 轴于 D 则 AD BD 当点 C 在点 B 的左边时 解得 或 舍 当点 C 在点 B 的右边x 12 ttt0t 时 解得 或 舍 故 2 t t 评注 若抛物线的顶点与 轴两交点构成的三角形是直角三角形时 它必是等腰直角三角形 常用其 斜边上的x 中线 高 等于斜边的一半 这一关系求解有关问题 跟踪训练 一 选择题 1 二次函数 的图像如图所示 OA OC 则下列结论 cbxay 2 0 bc 24 1 a cOBA 其中正确的有 024 b A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 2 二次函数 的图像向右平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 得到函数图像的解析式为cxy 2 则 与 分别等于 12 xb A 6 4 B 8 14 C 4 6 D 8 14 3 如图 已知 ABC 中 BC 8 BC 边上的高 D 为4 hBC 上一点 EF BC 交 AB 于 E 交 AC 于 F EF 不过 A B 设 E 到 BC 的距离为 DEF 的面积为 那么 关于 的函数图像大致是 xyx x y 第 3题 图 2 4 4 2 O x y 第 3题 图 2 4 4 2 O x y 第 3题 图 2 4 4 2 O x第 3题 图 2 4 4 2 O A B C D 4 若抛物线 与四条直线 围成的正方形有公共点 则 的取值范围是 2ay 1 1 y a A 1 B 2 C 1 D 2a2a41 5 如图 一次函数 与二次函数 的大致图像是 bkxy cbxy 第 1题 图 yx 2 1C BAO 第 3题 图 FE D CB A 初中数学二次函数做题技巧 x y 第 3题 图 O x y 第 3题 图 O x y 第 3题 图 O x y 第 3题 图 O A B C D 二 填空题 1 若抛物线 的最低点在 轴上 则 的值为 2 1 2 mxy xm 2 二次函数 当 时 随 的增大而减小 当 时 随 的增大而增大 则当54x y2 xyx 时 的值是 xy 3 已知二次函数的图像过点 0 3 图像向左平移 2 个单位后的对称轴是 轴 向下平移 1 个单位后与 轴只有一x 个交点 则此二次函数的解析式为 4 已知抛物线 的对称轴是 且它的最高点在直线 上 则它的顶点为 nmxy 4 2 x2 xy n 三 解答题 1 已知函数 的图像过点 1 15 设其图像与 轴交于点 A B 点 C 在图像上 且xxy 2 x 求点 C 的坐标 ABCS 2 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品 年初上市后 公司经历了从亏损到盈利的过程 下面的二次函数图 象 部分 刻画了该公司年初以来累积利润 S 万元 与销售时间 月 之间的关系 即前 个月的利润总和 S 与t t 之间的关系 根据图象提供的信息 解答下列问题 t 1 由已知图象上的三点坐标 求累积利润 S 万元 与时间 月 之间的函数关系式 2 求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元 3 求第 8 个月公司所获利润是多少万元 tS 3 4 5 6 1 2 3 O 4 32 1 12 xy 第 2题 图 x y 第 4题 图 O DC B A 3 抛物线 和直线 0 分别交于 A B 两点 已知 AOB 90 0 xy 2x a 1 求过原点 O 把 AOB 面积两等分的直线解析式 2 为使直线 与线段 AB 相交 那么 值应是怎样的范围才适合 b b 4 如图 抛物线 与 轴的一个交点为 A 1 0 taxy 42 1 求抛物线与 轴的另一个交点 B 的坐标 x 2 D 是抛物线与 轴的交点 C 是抛物线上的一点 且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9 求此抛物线 初中数学二次函数做题技巧 的解析式 3 E 是第二象限内到 轴 轴的距离的比为 5 2 的点 如果点 E 在 2 中的抛物线上 且它与点 A 在此xy 抛物线对称轴的同侧 问 在抛物线的对称轴上是否存在点 P 使 APE 的周长最小 若存在 求出点 P 的坐标 若 不存在 请说明理由 参考答案 一 选择题 BCDDC 二 填空题 1 2 2 7 3 4 2 2 1 22 xy 2 n 三 解答题 1 C 1 或 1 3 1 2 1 2 10 月 3 5 5 万元tS 3 1 2 3 0 xy4b 4 1 B 3 0 2 或 342 xy342 xy 3 在抛物线的对称轴上存在点 P 2 使 APE 的周长最小 1 初中数学二次函数做题技巧 2012 中考数学精选例题解析 函数与一元二次方程 知识考点 1 理解二次函数与一元二次方程之间的关系 2 会结合方程根的性质 一元二次方程根的判别式 判定抛物线与 轴的交点情况 x 3 会利用韦达定理解决有关二次函数的问题 精典例题 例 1 已抛物线 为实数 1 2 1 2 xmxy 1 为何值时 抛物线与 轴有两个交点 m 2 如果抛物线与 轴相交于 A B 两点 与 轴交于点 C 且 ABC 的面积为 2 求该抛物线的解析式 y 分析 抛物线与 轴有两个交点 则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根 将问题转化为求一元二次方程x 有两个不相等的实数根 应满足的条件 略解 1 由已知有 解得 且 012m 1m 2 由 得 C 0 1 x 又 aAB 21221 mOSABC 或34m5 或12 xy 1562 xy 例 2 已知抛物线 8 2 m 1 求证 不论 为任何实数 抛物线与 轴有两个不同的交点 且这两个点都在 轴的正半轴上 x 2 设抛物线与 轴交于点 A 与 轴交于 B C 两点 当 ABC 的面积为 48 平方单位时 求 的值 yx m 3 在 2 的条件下 以 BC 为直径作 M 问 M 是否经过抛物线的顶点 P 解析 1 由 可得证 0 4 2 m0821 0 6 21 mx 2 4222121 mxxxBC 6 2 mOA 又 48 BCS 48 2 1 解得 或 舍去 2 m1 初中数学二次函数做题技巧 3 顶点 5 9 1602 xy 6 BC 9 M 不经过抛物线的顶点 P 评注 二次函数与二次方程有着深刻的内在联系 因此 善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化 是 解相关问题的常用技巧 探索与创新 问题 如图 抛物线 其中 分别是 ABC 的 A B C 的对边 4 22cxbay abc 1 求证 该抛物线与 轴必有两个交点 x 2 设有直线 与抛物线交于点 E F 与 轴cay交于点 M 抛物线与 轴y交于点 N 若抛物线的对称轴为 MNE 与 MNF 的面 积之比为 5 1 求证 ABC 是等边三角形 2 当 时 设抛物线与 轴交于点 P Q 问3 ABCSx 是否存在过 P Q 两点且与轴相切的圆 若存在这样的圆 求出圆心的坐标 若不存在 y 请说明理由 解析 1 2cbacba 0 0 2 由 得 由 得 bcaxy4 22 0432 acx 设 E F 那么 12y321 acx 421 由 5 1 得 MNS 215x 或21x 2x 由 知 应舍去 0 1 由 解得 2153xa2 即c 40452 ca 或 舍去 a 0 b ABC 是等边三角形 3 即3 ABCS342 a x问 题 图 EQFP M O Nyx 问 题 图 E QFP M O N 初中数学二次函数做题技巧 或 舍去 2 a 此时抛物线 的对称轴是 与 轴的两交点坐标为 P 0 cb142 xy2 x 32 Q 0 3 设过 P Q 两点的圆与 轴的切点坐标为 0 由切割线定理有 yt OQPt 2 1 t 故所求圆的圆心坐标为 2 1 或 2 1 评注 本题 1 2 问与函数图像无关 而第 3 问需要用前两问的结论 解题时千万要认真分析前因后果 同时 如果后一问的解答需要前一问的结论时 尽管前一问没有解答出来 倘能会用前一题的结论来解答后一问题 也是得分的一种策略 跟踪训练 一 选择题 1 已知抛物线 与 轴两交点在 轴同侧 它们的距离的平方等于 则 的值为 mxy 1 52 y2549m A 2 B 12 C 24 D 2 或 24 2 已知二次函数 0 与一次函数 0 的图像交于点 A 2 4 cba21amkx 2 B 8 2 如图所示 则能使 成立的 的取值范围是 21y x A B C D 或 x8x8 2 8 xyx 第 2题 图 B A O x第 3题 图 E BA O yx 第 4题 图 BA O 3 如图 抛物线 与两坐标轴的交点分别是 A B E 且 ABE 是等腰直角三角形 AE BE 则cbay 2 下列关系 其中正确的有 0c1 a2cS A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 4 设函数 的图像如图所示 它与 轴交于 A B 两点 线段 OA 与 OB 的比为 1 3 则 1 2 mxxy x 的值为 m A 或 2 B C 1 D 2313 二 填空题 1 已知抛物线 与 轴交于两点 A 0 B 0 且 则 2 1 2 kxyx 172 k 2 抛物线 与 轴的两交点坐标分别是 A 0 B 0 且 则 的值为 mx 2 1x2x21xm 初中数学二次函数做题技巧 3 若抛物线 交 轴于 A B 两点 交 轴于点 C 且 ACB 90 0 则 121 mxy ym 4 已知二次函数 与 轴交点的横坐标为 则对于下列结论 当 时 kx1x2 21x 2 x 当 时 方程 0 有两个不相等的实数根 1y2x 0y 2 k 12x1 其中所有正确的结论是 只填写顺号 2 xk2124 三 解答题 1 已知二次函数 0 的图像过点 E 2 3 对称轴为 它的图像与 轴交于两点cbxay2a 1 xx A 0 B 0 且 x2x21 121 1 求这个二次函数的解析式 2 在 1 中抛物线上是否存在点 P 使 POA 的面积等于 EOB 的面积 若存在 求出点 P 的坐标 若不 存在 请说明理由 2 已知抛物线 与 轴交于点 A 0 B 0 两点 与 轴交于点 C 且42 2 mxxyx1x2xy 若点 A 关于 轴的对称点是点 D 1x 021 y 1 求过点 C B D 的抛物线解析式 2 若 P 是 1 中所求抛物线的顶点 H 是这条抛物线上异于点 C 的另一点 且 HBD 与 CBD 的面积相等 求直线 PH 的解析式 3 已知抛物线 交 轴于点 A 0 B 0 两点 交 轴于点 C 且mxy232 1x2xy 210 x 1 COBA 1 求抛物线的解析式 2 在 轴的下方是否存在着抛物线上的点 使 APB 为锐角 钝角 若存在 求出 P 点的横坐标的范围 若 不存在 请说明理由 参考答案 一 选择题 CDBD 二 填空题 1 2 2 3 3 4 三 解答题 1 1 2 存在 P 9 或 9 2 xy 13 13 2 1 2 860 xy 3 1 2 当 时 APB 为锐角 当 或 时 APB 为钝32xy P 0 Px43Px 角 初中数学二次函数做题技巧 中考数学知识点速记口诀 一 1 有理数的加法运算 同号相加一边倒 异号相加 大 减 小 符号跟着大的跑 绝对值相等 零 正好 注 大 减 小 是指绝对值的大小 2 合并同类项 合并同类项 法则不能忘 只求系数和 字母 指数不变样 3 去 添括号法则 去括号 添括号 关键看符号 括号前面是正号 去 添括号不变号 括号前面是负号 去 添括号都变号 4 一元一次方程 已知未知要分离 分离方法就是移 加减移项要变号 乘除移了要颠倒 5 恒等变换 两个数字来相减 互换位置最常见 正负只看其指数 奇数变号偶不变 a b 2n 1 b a 2n 1 a b 2n b a 2n 6 平方差公式 平方差公式有两项 符号相反切记牢 首加尾乘首减尾 莫与完全公式相混淆 7 完全平方 完全平方有三项 首尾符号是同乡 首平方 尾平方 首尾二倍放中央 首 尾括号带平方 尾项符号 随中央 8 因式分解 一提 公因式 二套 公式 三分组 细看几项不离谱 两项只用平方差 三项十字相乘法 阵法熟练 不马虎 四项仔细看清楚 若有三个平方数 项 就用一三来分组 否则二二去分组 五项 六项更多项 二三 三 三试分组 以上若都行不通 拆项 添项看清楚 9 代入 口决 挖去字母换上数 式 数字 字母都保留 换上分数或负数 给它带上小括弧 原括弧内出 现 括 弧 逐级向下变括弧 小 中 大 10 单项式运算 加 减 乘 除 乘 开 方 三级运算分得清 系数进行同级 运 算 指数运算降级 进 行 11 一元一次不等式解题的一般步骤 去分母 去括号 移项时候要变号 同类项 合并好 再把系数来除掉 两边除 以 负数时 不等号改向别忘了 中考数学知识点速记口诀 二 12 一元一次不等式组的解集 大大取较大 小小取较小 小大 大小取中间 大小 小大无处找 13 一元二次不等式 一元一次绝对值不等式的解集 大 鱼 于 吃 取两边 小 鱼 于 吃 取中间 14 分式混合运算法则 分式四则运算 顺序乘除加减 乘除同级运算 除法符号须变 乘 乘法进行化简 因式 分解在先 分子分母相约 然后再行运算 加减分母需同 分母化积关键 找出最简公分母 通分不是很难 变号必须两 处 结果要求最简 初中数学二次函数做题技巧 15 分式方程的解法步骤 同乘最简公分母 化成整式写清楚 求得解后须验根 原 根 留 增 根 舍别含糊 16 最简根式的条件 最简根式三条件 号内不把分母含 幂指 数 根指 数 要互质 幂指比根指小一点 17 特殊点坐标特征 坐标平面点 x y 横在前来纵在后 和 四个象限分前后 X 轴上 y 为 0 x 为 0 在 Y 轴 18 象限角的平分线 象限角的平分线 坐标特征有特点 一 三横纵都相等 二 四横纵确相反 19 平行某轴的直线 平行某轴的直线 点的坐标有讲究 直线平行 X 轴 纵坐标相等横不同 直线平行于 Y 轴 点的 横坐标仍照旧 20 对称点坐标 对称点坐标要记牢 相反数位置莫混淆 X 轴对称 y 相反 Y 轴对称 x 前面添负号 原点对称最好记 横纵坐标变符号 21 自变量的取值范围 分式分母不为零 偶次根下负不行 零次幂底数不为零 整式 奇次根全能行 2012 中考数学知识点速记 三 22 函数图像的移动规律 若把一次函数解析式写成 y k x 0 b 二次函数的解析式写成 y a x h 2 k 的形式 则用下 面后的口诀 左右平移在括号 上下平移在末稍 左正右负须牢记 上正下负错不了 23 一次函数图像与性质口诀 一次函数是直线 图像经过仨象限 正比例函数更简单 经过原点一直线 两个系数 k 与 b 作用之大莫小看 k 是斜率定夹角 b 与 Y 轴来相见 k 为正来右上斜 x 增减 y 增减 k 为负来左下展 变化规律正相反 k 的绝对值越大 线离横轴就越远 24 二次函数图像与性质口诀 二次函数抛物线 图象对称是关键 开口 顶点和交点 它们确定图象现 开口 大小 由 a 断 c 与 Y 轴来相见 b 的符号较特别 符号与 a 相关联 顶点位置先找见 Y 轴作为参考线 左同右异中为 0 牢记 心中莫混乱 顶点坐标最重要 一般式配方它就现 横标即为对称轴 纵标函数最值见 若求对称轴位置 符号反 一般 顶 点 交点式 不同表达能互换 25 反比例函数图像与性质口诀 反比例函数有特点 双曲线相背离的远 k 为正 图在一 三 象 限 k 为负 图在二 四 象 限 图在一 三函数减 两个分支分别减 图在二 四正相反 两个分支分别添 线越长越近轴 永远与轴不沾边 26 巧记三角函数定义 初中所学的三角函数有正弦 余弦 正切 余切 它们实际是三角形边的比值 可以把 两个字用 隔开 再用下面的一句话记定义 一位不高明的厨子教徒弟杀鱼 说了这么一句话 正对鱼磷 余邻 直刀切 正 正弦或正切 对 对边即正是对 余 余弦或余弦 邻 邻边即余是邻 切是直角边 27 三角函数的增减性 正增余减 初中数学二次函数做题技巧 28 特殊三角函数值记忆 首先记住 30 度 45 度 60 度的正弦值 余弦值的分母都是 2 正切 余切的分母都是 3 分子记口诀 123 321 三九二十七 既可 29 平行四边形的判定 要证平行四边形 两个条件才能行 一证对边都相等 或证对边都平行 一组对边也可 以 必须相等且平行 对角线 是个宝 互相平分 跑不了 对角相等也有用 两组对角 才能成 30 梯形问题的辅助线 移动梯形对角线 两腰之和成一线 平行移动一条腰 两腰同在 现 延长两腰交一点 中有平行线 作出梯形两高线 矩形显示在眼前 已知腰上一中线 莫忘作出中位线 31 添加辅助线歌 辅助线 怎么添 找出规律是关键 题中若有角 平 分线 可向两边作垂线 线段垂直平分线 引向两端把线连 三角形边两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线翻一番 2012 中考数学知识点 四 32 圆的证明歌 圆的证明不算难 常把半径直径连 有弦可作弦心距 它定垂直平分弦 直径是圆最大弦 直圆周角立 上边 它若垂直平分弦 垂径 射影响耳边 还有与圆有关角 勿忘相互有关联 圆周 圆心 弦切角 细找关系把线 连 同弧圆周角相等 证题用它最多见 圆中若有弦切角 夹弧找到就好办 圆有内接四边形 对角互补记心间 外角 等于内对角 四边形定内接圆 直角相对或共弦 试试加个辅助圆 若是证题打转转 四点共圆可解难 要想证明圆切线 垂直半径过外端 直线与圆有共点 证垂直来半径连 直线与圆未给点 需证半径作垂线 四边形有内切圆 对边和等 是条件 如果遇到圆与圆 弄清位置很关键 两圆相切作公切 两圆相交连公弦 33 圆中比例线段 遇等积 改等比 横找竖找定相似 不相似 别生气 等线等比来代替 遇等比 改等积 引 用射影和圆幂 平行线 转比例 两端各自找联系 34 正多边形诀窍歌 份相等分割圆 n 值必须大于三 依次连接各分点 内接正 n 边形在眼前 35 经过分点做切线 切线相交 n 个点 n 个交点做顶点 外切正 n 边形便出现 正 n 边形很美观 它有内接 外切 圆 内接 外切都唯一 两圆还是同心圆 它的图形轴对称 n 条对称轴都过圆心点 如果 n 值为偶数 中心对称很 方便 正 n 边形做计算 边心距 半径是关键 内切 外接圆半径 边心距 半径分别换 分成直角三角形 2n 个整 依此计算便简单 36 函数学习口决 正比例函数是直线 图象一定过圆点 k 的正负是关键 决定直线的象限 负 k 经过二四限 x 增大 y 在减 上下平移 k 不变 由引得到一次线 向上加 b 向下减 图象经过三个限 两点决定一条线 选定系数 是关键 37 反比例函数双曲线 待定只需一个点 正 k 落在一三限 x 增大 y 在减 图象上面任意点 矩形面积都不变 对称轴是角分线 x y 的顺序可交换 38 二次函数抛物线 选定需要三个点 a 的正负开口判 c 的大小 y 轴看 的符号最简便 x 轴上数交点 a b 同号轴左边抛物线平移 a 不变 顶点牵着图象转 三种形式可变换 配方法作用最关键 初中数学二次函数做题技巧 2012 中考数学 几何知识 146 条 2012 中考临近 初三生已经进入到最后的备考冲刺阶段 那么 如何在冲刺阶段查漏补缺 夯实基础呢 为方便 考生复习中考数学 整理出初中几何 146 条实用知识 希望考生能够及时查看 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 9 同位角相等 两直线平行 10 内错角相等 两直线平行 11 同旁内角互补 两直线平行 12 两直线平行 同位角相等 13 两直线平行 内错角相等 14 两直线平行 同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 初中数学二次函数做题技巧 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边 对应角相等 22 边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边 直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等角对等边 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 初中数学二次函数做题技巧 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上 45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理直角三角形两直角边 a b 的平方和 等于斜边 c 的平方 即 a b c 47 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a b c 有关系 a b c 那么这个三角形是直角三角形 48 定理四边形的内角和等于 360 49 四边形的外角和等于 360 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于 n 2 180 51 推论任意多边的外角和等于 360 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 初中数学二次函数做题技巧 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积 对角线乘积的一半 即 S a b 2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 73 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 L a b 2S L h 83 1 比例的基本性质如果 a b c d 那么 ad bc 如果 ad bc 那么 a b c d 84 2 合比性质如果 a b c d 那么 a b b c d d 85 3 等比性质如果 a b c d m n b d n 0 那么 a c m b d n a b 初中数学二次函数做题技巧 86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 88 定理如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第 三边 89 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等 两三角形相似 ASA 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 SAS 94 判定定理 3 三边对应成比例 两三角形相似 SSS 95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这 两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线 初中数学二次函数做题技巧 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 定理不在同一直线上的三个点确定一条直线 110 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等 115 推论在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的 其余各组量都相等 116 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 118 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 120 定理圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 121 直线 L 和 O 相交 d r 直线 L 和 O 相切 d r 直线 L 和 O 相离 d r 122 切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 初中数学二次函数做题技巧 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 131 推论如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 132 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 133 推论从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 135 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r R r 两圆内切 d R r R r 两圆内含 d R r R r 136 定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理把圆分成 n n 3 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于 n 2 180 n 初中数学二次函数做题技巧 140 定理正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 Sn pnrn 2p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积 3a 4a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角 由于这些角的和应为 360 因此 k n 2 180 n 360 化为 n 2 k 2 4 144 弧长计算公式 L n R 180 145 扇形面积公式 S 扇形 n R 360 LR 2 146 内公切线长 d R r 外公切线长 d R r