山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案

1 济南市 2018 届高三第一次模拟考试 理科数学 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 复数 其中 为虚数单位 的虚部为 12ii i A B C D 353535 35i 2 若集合 则 的一个充分不必要条件是 12 x xbR AB A B C D 2b 1 1b 3 已知某 7 个数的平均数为 4 方差为 2 现加入一个新数据 4 此时这 8 个数的平均数为 x 方差为 则 2s A B C D 4x x 2s x 2s 4x 2s 4 已知椭圆 若长轴长为 6 且两焦点恰好将长轴三等分 则此C 21 0 xyab 椭圆的标准方程为 A B C D 2136xy 2198xy 2195xy 21 5 已知正项等比数列 满足 与 的等差中项为 则 的值为 na31 5a42121a A 4 B 2 C D 4 6 已知变量 满足约束条件 若 则 的取值范围是 xy021xy zxy z A B C D 5 6 5 6 2 9 5 9 7 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏 被誉为 东方魔板 如图 这是一个用七巧板 2 拼成的正方形 其中 1 号板与 2 号板为两个全等的等腰直角三角形 3 号板与 5 号板为两个 全等的等腰直角三角形 7 号板为一个等腰直角三角形 4 号板为一个正方形 6 号板为一个 平行四边形 现从这个正方形内任取一点 则此点取自阴影部分的概率是 A B C D 181431638 8 已知函数 的最小正周期为 且 sin fx cos x 0 2 则 3ff A 在 上单调递减 B 在 上单调递增 fx0 2 fx2 63 C 在 上单调递增 D 在 上单调递减 f f 9 某程序框图如图所示 该程序运行后输出 的值分别为 MN A 13 21 B 34 55 C 21 13 D 55 34 10 设函数 则使得 成立的 的取值范围是 21 log fxx x 21 fx x 3 A B C D 1 1 1 3 3 11 设 分别为双曲线 的左 右焦点 过 作一条渐近线的1F221 0 xyab 1F 垂线 垂足为 延长 与双曲线的右支相交于点 若 则此双曲线的M1FN13M 离心率为 A B C D 1325343263 12 设 分别是函数 和 的零点 其中 则1x xfa log1ax 1a 的取值范围是 24 A B C D 4 5 5 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知向量 若 与 平行 则实数 的值是 1 a 2 bxab 3 x 14 某几何体的三视图如图所示 其中主视图的轮廓是底边为 高为 1 的等腰三角形 23 俯视图的轮廓为菱形 左视图是个半圆 则该几何体的体积为 15 的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中含 项的系数为 512axx 4x 16 如图所示 将平面直角坐标系中的格点 横 纵坐标均为整数的点 按如下规则标上标 签 4 原点处标数字 0 记为 点 处标数字 1 记为 0a 1 1a 点 处标数字 0 记为 点 处标数字 1 记为 1 2 3 点 处标数字 2 记为 点 处标数字 1 记为 4 0 5 点 处标数字 0 记为 点 处标数字 1 记为 6a7a 以此类推 格点坐标为 的点处所标的数字为 均为整数 记 ijij j 则 12nnSa 2018S 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 每 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 在 中 内角 所对的边分别为 且 ABC BCabcosc2AaB 1 证明 tan3tA 2 若 且 的面积为 求 22bcbc 3 18 如图 1 在高为 6 的等腰梯形 中 且 将它沿对D ABC6D 12 称轴 折起 使平面 平面 如图 2 点 为 中点 点 在线段O1AO 1PBE 上 不同于 两点 连接 并延长至点 使 ABBEQ O 5 1 证明 平面 OD PAQ 2 若 求二面角 的余弦值 2BE CB 19 2018 年 2 月 22 日上午 山东省省委 省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重 大工程动员大会 会议动员各方力量 迅速全面展开新旧动能转换重大工程 某企业响应号 召 对现有设备进行改造 为了分析设备改造前后的效果 现从设备改造前后生产的大量产 品中各抽取了 200 件产品作为样本 检测一项质量指标值 若该项质量指标值落在 内的产品视为合格品 否则为不合格品 图 3 是设备改造前的样本的频率分布直方图 20 4 表 1 是设备改造后的样本的频数分布表 表 1 设备改造后样本的频数分布表 质量指标 值 5 20 25 30 5 3 40 45 频数 4 36 96 28 32 4 1 完成下面的 列联表 并判断是否有 99 的把握认为该企业生产的这种产品的质量 指标值与设备改造有关 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 6 不合格品 合计 2 根据图 3 和表 1 提供的数据 试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较 3 企业将不合格品全部销毁后 根据客户需求对合格品进行等级细分 质量指标值落在 内的定为一等品 每件售价 240 元 质量指标值落在 或 内的定为二 25 0 20 5 3 等品 每件售价 180 元 其它的合格品定为三等品 每件售价 120 元 根据表 1 的数据 用 该组样本中一等品 二等品 三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应 等级产品的概率 现有一名顾客随机购买两件产品 设其支付的费用为 单位 元 求X 的分布列和数学期望 X 附 20 PKk 0 150 0 100 0 050 0 025 0 010 2 072 2 706 3 841 5 024 6 63522 nadbc 20 在平面直角坐标系 中 抛物线 直线 与抛物线 交于 两点 xOy1C24xy l1CAB 1 若直线 的斜率之积为 证明 直线 过定点 OAB14 l 2 若线段 的中点 在曲线 上 求 的最大M2C2 2 yx AB 值 21 已知函数 有两个不同的零点 2 ln 1 fxaxa R 1 求 的取值范围 2 设 是 的两个零点 证明 12 f 12xa 二 选考题 共 10 分 请考生在 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一 7 题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中 过点 的直线 的参数方程为 为参数 以原xOy 1 2 Pl 123xty 点 为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 的极坐标方程为 C4sin 1 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程 lC 2 若直线 与曲线 相交于 两点 求 的值 MN1PN 23 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 2fxx 1 求不等式 的解集 2 当 时 恒成立 求实数 的取值 6fx R fa a 范围 2018 年济南市高考数学模拟考试 理科数学参考答案 一 选择题 1 5 CDABA 6 10 ACDBC 11 12 BD 二 填空题 13 2 14 15 48 16 2493 三 解答题 17 解析 1 根据正弦定理 由已知得 sincosinBA 2siin CAB 展开得 cosi 整理得 所以 sic3si ta3t 2 由已知得 22babc 22sbAc 3bc 8 由 得 0A 6 3tanAtan3B 由 得 所以 B23 6Cc 由 得 1sin2Sac 21a 2a 18 解析 1 解法一 几何法 取 的中点为 连接 OFAPF OB 四点共面 AQB QQ 又由图 1 可知 1 平面 平面 DOC 且平面 平面 1A 11BO 平面 B 平面 PF1D 又 平面 O A 在直角梯形 中 11O 1FD AFD A 1AO 190 且 平面 平面 AFP AF PQFPA 平面 OD 9 1 解法二 向量法 由题设知 两两垂直 所以以 为坐标原点 OAB1O 所在直线分别为 轴 轴 轴 1xyz 建立如图所示的空间直角坐标系 设 的长度为 AQm 则相关各点的坐标为 0 O 6 0 60 B 36 C 0 D 6 0 Qm 点 为 中点 PBC9 3 2P 3 OD 0AQm 9 6 3 2 且 与 不共线 P 平面 ODAQ 2 2BEA QOB132AB 10 则 6 30 Q 6 30 B 36 C 设平面 的法向量为 C1 nxyz 令 则 则 10nB 360 12y1x 21 n 又显然 平面 的法向量为 AQ2 n 设二面角 的平面角为 由图可知 为锐角 C 则 126cosn 19 解析 1 根据图 3 和表 1 得到 列联表 2 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 172 192 364 不合格品 28 8 36 合计 200 200 400 将 列联表中的数据代入公式计算得 2 2 nadbcK 240 17289 364 10 12 06 35 有 99 的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关 2 根据图 3 和表 1 可知 设备改造前产品为合格品的概率约为 设备改造后产1724305 品为合格品的概率约为 显然设备改造后产品合格率更高 因此 设备改造后性92405 能更优 3 由表 1 知 一等品的频率为 即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为 2 12 二等品的频率为 即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为 3 3 三等品的频率为 即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为 16 6 11 由已知得 随机变量 的取值为 240 300 360 420 480 X 240PX 163 3 29C 1158 40PX 23 8 4 随机变量 的分布列为 X 240 300 360 420 480P136195181314 240E 50420483 20 解析 设 1 Axy 2 By 1 由题意可知直线 的斜率存在 设直线 的方程为 llykxm 由 得 24xykm 240 xkm 2160 12124x 12OABykx 124x 126 由已知 所以 Ok m 直线 的方程为 所以直线 过定点 l1yx l 0 1 2 设 则 0 M20k 2yxmk 将 带入 得 xy2C4 yx 214 kmk 23mk 0 x 2k 12 又 216km 22216 43 0kk 2k 故 的取值范围是 将 代入得 2211 ABkxx216 km 243k 224k 24 当且仅当 即 时取等号 221k 所以 的最大值为 AB6 21 解析 1 解法一 函数 的定义域为 fx 0 21a 2 xa 当 时 易得 则 在 上单调递增 0 f f0 则 至多只有一个零点 不符合题意 舍去 fx 当 时 令 得 则a 0fx a a a fx 0 增 极大 减 max ff 极 大 ln1 fa 设 则 在 上单调递增 ln1g 0gx gx0 又 时 时 0 因此 i 当 时 则 无零点 1a max 0fg fx 不符合题意 舍去 13 ii 当 时 1a max 0fg 在区间 上有一个零点 2 fe 2e fx1 ae 3ln 2 31 3 ln 31 a 设 hxx 0hx 在 上单调递减 则 1 2l0a 3 30faha 在区间 上有一个零点 那么 恰有两个零点 x fx 综上所述 当 有两个不同零点时 的取值范围是 f a1 1 解法二 函数的定义域为 0 2fx 2 xa 当 时 易得 则 在 上单调递增 a 0 则 至多只有一个零点 不符合题意 舍去 fx 当 时 令 得 则0 0fx a a a fx 0 增 极大 减 max ff 极 大 ln1 fa 要使函数 有两个零点 则必有 即 ln1 0fa ln10a 设 则 在 上单调递增 ln1g 0g g 又 0 a 当 时 a 12 fe 210e 14 在区间 上有一个零点 fx1 ae 设 lnh 在 上单调递增 在 上单调递减 1xx h0 1 1 0 lnx 2 ln fxaxa 22 3axx 23 ax 则 在区间 上有一个零点 4 0f f 4 那么 此时 恰有两个零点 x 综上所述 当 有两个不同零点时 的取值范围是 f a 1 2 证法一 由 1 可知 有两个不同零点 且当 时 是增函数 fx 0 xa fx 当 时 是减函数 xa 不妨设 则 12 120 xa 设 Fxf 则 fx1 2ax 21 a 2 2aax 当 时 单调递增 又 0 0Fx x 0Fa x 2fa 1 a11 xfx 2fxf 2 在 上单调递减 2 1 xa fx a 1xa 2 15 2 证法二 由 1 可知 有两个不同零点 且当 时 是增函数 fx1a 0 xa fx 当 时 是减函数 xa 不妨设 则 12 120 x 设 Fxffa 0 a 则 x 21 axx 2 1 a 2 aax 当 时 单调递增 0 x 0Fx 又 fxfa 1 ax 2 ff11 faxfx 1 2 fx 在 上单调递减 2 x a 1 2x 22 解析 1 由已知得 消去 得 23 xty t23 1 yx 化为一般方程为 0 x 即 l323y 曲线 得 即 整理得 C4sin 24sin 24xy 22 4xy 即 2 xy 16 2 把直线 的参数方程 为参数 代入曲线 的直角坐标方程中得 l 123xty C 即 2213 4tt 20t 设 两点对应的参数分别为 则 MN1t2123t 1P 12PNt 212112 4ttt 3 23 解析 1 当 时 故 2x 4fx 646fx 2x 当 时 故 33 当 时 故 x fx fx10 x 综上可知 的解集为 6 2 10 2 由 1 知 4 3 1xf 解法一 如图所示 作出函数 的图象 fx 由图象知 当 时 解得 1x 3a 2a 17 实数 的取值范围为 a 2 解法二 当 时 恒成立 2x 4xa 4 当 时 恒成立 1 3 2a 当 时 恒成立 综上 实数 的取值范围为 a 2