高三一轮复习文科立体几何学案

第一节 空间几何体的结构特征 一 知识梳理 1 空间几何体的结构特征 1 多面体的结构特征 多面体 定义 结构特征 棱柱 棱锥 棱台 2 旋转体的形成 旋转体 定义 旋转图形 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 球 2 空间几何体的三视图 1 画三视图的规则 2 三视图的排列顺序 3 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画 其规则是 1 原图形中 x 轴 y 轴 z 轴两两垂直 直观图中 x 轴 y 轴的夹角为 z 轴与 x 轴和 y 轴所在平面 2 原图形中平行于坐标轴的线段 直观图中仍分别 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保 持原长度 平行于 y 轴的线段在直观图中长度为 直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系 1 S 直观图 S 原图形 2 S 原图形 2 24 2 二 考点突破 空间几何体的结构特征 例 1 1 用任意一个平面截一个几何体 各个截面都是圆面 则这个几何体一定是 A 圆柱 B 圆锥 C 球体 D 圆柱 圆锥 球体的组合体 2 下列说法正确的是 A 有两个平面互相平行 其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C 有两个平面互相平行 其余各面都是梯形的多面体是棱台 D 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 3 下列结论正确的是 A 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等 则该棱锥可能是六棱锥 D 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 4 设有以下四个命题 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 底面是矩形的平行六面体是长方体 直四棱柱是直平行六面体 棱台的相对侧棱延长后必交于一点 其中真命题的序号是 5 有半径为 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒 那么这个圆锥筒的高为 r 6 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥 截得圆台上 下底面的面积之比为 1 16 截去的 圆锥的母线长是 3 cm 则圆台的母线长为 cm 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 如果四棱锥的四条侧棱都相等 就称它为 等腰四棱锥 四条侧棱称为它的腰 以下四个命题中 假命题是 A 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 2 给出下列四个命题 各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱 对角面是全等矩形的六面 体一定是长方体 有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 长方体一定是正四棱柱 其中正确 的命题个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 空间几何体的三视图 例 1 1 如图 水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2 且侧棱 AA1 平面 A1B1C1 正视图是 边长为 2 的正方形 该三棱柱的侧视图的面积为 2 一个简单几何体的正视图 俯视图如图所示 则其侧视图不可能为 A 正方形 B 圆 C 等腰三角形 D 直角梯形 3 正四棱锥的底面边长为 2 侧棱长均为 3 其正视图和侧视图是全等的等腰三角形 则正视图的周长为 例 2 1 如图所示 四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点 则四面体 ABCD 的三视图是 用 代表图形 按正视图 侧视图 俯视图的顺序排列 A B C D 2 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去 一个棱锥 得到的几何体的正视图与俯视图如 图所示 则该几何体的侧 左 视图为 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 如图 三棱锥 V ABC 的底面为正三角形 侧面 VAC 与底面垂直且 VA VC 已知其正视图的面积为 则其侧视图的面积为 23 A B C D 32 33 34 36 2 如图所示 三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是直角三角形 直角边长 AB 3 AC 4 过直角顶点的侧 棱 PA 平面 ABC 且 PA 5 则该三棱锥的正视图是 3 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示 俯视图是边长为 2 的正三角形 侧视图是有一条直角边为 2 的直角三角形 则该三棱锥的正视图可能为 4 一个几何体的三视图如图所示 则侧视图的面积为 空间几何体的直观图 例 1 1 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正 方形 则原来的图形是 2 已知正三角形 ABC 的边长为 2 那么 ABC 的直观图 A B C 的面积为 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图 边 AB 平行于 y 轴 BC AD 平行于 x 轴 已知四 边形 ABCD 的面积为 2 cm2 则原平面图形的面积为 2 A 4 cm 2 B 4 cm2 C 8 cm 2 D 8 cm22 2 2 等腰梯形 ABCD 上底 CD 1 腰 AD CB 下底 AB 3 以下底所在直线为 x 轴 则由斜二2 测画法画出的直观图 A B C D 的面积为 第二节 空间几何体的表面积与体积 一 知识梳理 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台侧面积间的关系 S 圆柱侧 2 rl S 圆台侧 r r l S 圆锥侧 rl r r r 0 2 空间几何体的表面积与体积公式 1 柱体 2 锥体 3 台体 二 考点突破 空间几何体的表面积 例 1 1 某几何体的三视图如图所示 其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧 则该几何体的表面 积为 A 4 16 4 B 5 16 4 C 4 16 2 D 5 16 23 3 3 3 2 一个四面体的三视图如图所示 则该四面体的表面积是 A 1 B 2 C 1 2 D 23 3 2 2 2 图 1 图 空间几何体的体积 例 2 1 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A B C D 1 16 13 12 2 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 2 B C D 13 13 6 7 3 5 2 3 已知等腰直角三角形的直角边的长为 2 将该三角形绕其斜边所在 的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A B 43 42 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 一个由半球和四棱锥组成的几何体 其三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C D 1 13 23 13 23 13 26 26 2 已知一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A cm3 B 2 cm3 C 5 3 cm3 D 3 cm3 7 3 3 某几何体的 三视图如图所 示 则它的表 面积为 A 12 20 B 24 20 C 44 D 125 2 5 1 题图 2 题图 4 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积等于 A 8 2 B 11 2 2 2 14C 15D 5 中国古代数学名著 九章算术 中记载了公元前 344 年商鞅督造一种 标准量器 商鞅铜方升 其三视图如图所示 单位 寸 若 取 3 其体积为 12 6 立方寸 则图中的 x 的值为 考点三 球体 1 球与正方体 1 正方体的内切球 位置关系 正方体的 六个面都与一个球都相切 正方体中心与球心重合 数据关系 设正方体的棱长为 a 球的半径为 r 这时有 2ra 2 正方体的外接球 位置关系 正方体的八个顶点在同一个球面上 正方体中心与球心 重合 数据关系 设正方体的棱长为 球的半径为 r 这时有 3r 2 球与长方体 长方体内接于球 它的体对角线正好为球的直径 例 1 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若球的体积为 则正方体的棱长为 9 2 2 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 体积为 16 则这个球的表面积为 A 16 B 20 C 2 D 32 3 正四面体 三棱锥与球的切接问题 1 正四面体的内切球 位置关系 正四面体的四个面都与一个球相切 正四面体的中心与球心重 合 数据关系 设正四面体的棱长为 a 高为 h 球的半径为 R 这时有 643ha 2 正四面体的外接球 例 1 若一个正四面体的表面积为 S1 其内切球的表面积为 S2 则 S1S2 2 已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O的球面上 ABC 是边长为 1 的正三角形 SC 是球 O的直径 且 2 则此棱锥的体积为 A 26 B 36 C D 2 4 其它棱锥 柱 与球的切接问题 构造长方体 正方体模型 例 1 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 且侧棱长均为 3 则其外接球的表面积是 2 三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上 平面 PABC DPABCA2P 则球 的体积为 2 O 3 直三棱柱 的六个顶点都在球 的球面上 若 1AB O2AB 则球 的表面积为 90C 2 4 正四棱锥的顶点都在同一球面上 若该棱锥的高为 4 底面边长为 2 则该球的表面积为 A B 16 C 9 D 81 4 27 4 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示 图中三个四边形都是 边长为 2 的正方形 则该几何体外接球的体积为 2 一块石材表示的几何体的三视图如图所示 将该石材切削 打磨 加工成 球 则能得到的最大球的半径等于 A 1 B 2 C 3 D 4 3 如图是某几何体的三视图 则该几何体的外接球的表面积为 A 200 B 150 C 100 D 50 全国卷 5 年真题集中演练 明规律 2013 全国新课标 1 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点 AH H B 1 2 AB 平面 H 为垂足 截球 O 所得截面的面积为 则球 O 的表面积为 1 2016 全国甲卷 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积为 A 20 B 24 C 28 D 32 2 2016 全国甲卷 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 A 12 B C 8 D 4 323 3 2016 全国丙卷 在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1 内有一个体积为 V 的球 若 AB BC AB 6 BC 8 AA 1 3 则 V 的最大值是 A 4 B C 6 D 9 2 32 3 4 2015 新课标全国卷 一个正方体被一个平面截去一部分后 剩余部分的三视图如下图 则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A B C D 18 17 16 15 5 2015 新课标全国卷 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径 为 r 组成一 个几何体 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体 的表面积为 16 20 则 r A 1 B 2 C 4 D 8 6 2015 新课标全国卷 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学 名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及 为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四 分之一 米堆底部的弧长为 8 尺 米堆的高为 5 尺 问米堆的体积和堆放的 米各为多少 已知 1 斛米的体积约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算出堆 放的米约有 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 7 2015 新课标全国卷 已知 A B 是球 O 的球面上两点 AOB 90 C 为该球面上的动 点 若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36 则球 O 的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 8 2014 新课标全国卷 如图 网格纸上正方形小格的边长为 1 表示 1 cm 图中粗线画出的 是某零件的三视图 该零件由一个底面半径为 3 cm 高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到 则切削掉部 分的体积与原来毛坯体积的比值为 A B C 1727 59 1027 D 13 9 2013 新课标全国卷 某几何体的三视图如图所示 则该几何 体的体积为 A 16 8 B 8 8 C 16 16 D 8 16 10 2013 新课标全国卷 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点 AH HB 1 2 AB 平面 H 为垂足 截球 O 所得截面的面积为 则球 O 的表面积为 第三节 空间点 直线 平面之间的位置关系 一 知识梳理 1 公理 1 3 表示 公理 文字语言 图形语言 符号语言 公理 1 公理 2 公理 3 2 公理 2 的三个推论 推论 1 推论 2 推论 3 3 空间中两直线的位置关系 4 公理 4 和等角定理 公理 4 等角定理 5 异面直线所成的角 1 定义 2 范围 6 空间中线面的位置关系 二 考点突破 考点一 点 线 面的位置关系 例 1 1 下列结论正确的是 在空间中 若两条直线不相交 则它们一定平行 平行于同一条直线的两条直线平行 一条直线和两条平行直线中的一条相交 那么它也和另一条相交 空间四条直线 a b c d 如果 a b c d 且 a d 那么 b c A B C D 2 下列说法正确的是 A 若 a b 则 a 与 b 是异面直线 B 若 a 与 b 异面 b 与 c 异面 则 a 与 c 异面 C 若 a b 不同在平面 内 则 a 与 b 异面 D 若 a b 不同在任何一个平面内 则 a 与 b 异面 3 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点 A B C D 共面 点 A B C E 共面 则 A B C D E 共面 若直线 a b 共面 直线 a c 共面 则直线 b c 共面 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0 B 1 C 2 D 3 4 下列命题中正确的 是 填序号 若直线 上有无数个点不在平面 内 则l l 若直线 与平面 平行 则 与平面 内的任意一条直线都平行 l 如果两平行直线中的一条与一个平面平行 那么另一条也与这个平面平行 若直线 与平面 平行 则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 ll 例 2 已知 空间四边形 ABCD 如图所示 E F 分别是 AB AD 的中点 G H 分别是 BC CD 上的点 且 CG BC CH DC 求证 13 13 1 E F G H 四点共面 2 三直线 FH EG AC 共点 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 如图是正方体或四面体 P Q R S 分别是所在棱的中点 则这四个点不共面的一个图是 2 如图所示 四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是梯形 G H 分别为 FA FD 的中点 1 2BCAD1 2EF 1 证明 四边形 BCHG 是平行四边形 2 C D F E 四点是否共面 为什么 异面直线所成的角 例 1 1 正方体 中 的中点为 的中点为 DCBA M DN 异面直线 与 所成的角为 度M N 2 长方体 中 则 和 所成的角为 度 1AB 23AB 12A BC1A 所成的角为 度 1C和 例 2 空间四边形 ABCD 中 AB CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30 E F 分别为 BC AD 的中 点 求 EF 与 AB 所成角的大小 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 下列命题中 正确的是 A 经过不同的三点有且只有一个平面 B 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D 垂直于同一个平面的两个平面平行 2 给出四个命题 线段 AB 在平面 内 则直线 AB 不在 内 两平面有一个公共点 则一定有 无数个公共点 三条平行直线共面 有三个公共点的两平面重合 其中正确命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 3 已知正方体 则直线 与1CDA 1AB 平面 所成的角是 1AB A 90 B 60 C 45 D 30 4 l1 l 2 l 3 是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A l 1 l 2 l 2 l 3 l 1 l 3 B l 1 l 2 l 2 l 3 l 1 l 3 C l 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 3 共面 D l 1 l 2 l 3 共点 l 1 l 2 l 3 共面 5 如图 四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形 它们所在的平面互相垂直 则异面直 线 AP 与 BD 所成的角为 全国卷 5 年真题集中演练 明规律 1 2016 全国乙卷 平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 平面 CB1D1 平面 ABCD m 平面 ABB1A1 n 则 m n 所成角的正弦值为 A B C D 32 22 33 13 2 2013 新课标全国卷 已知 m n 为异面直线 m 平面 n 平面 直线 l 满足 l m l n l l 则 A 且 l B 且 l C 与 相交 且交线垂直于 l D 与 相交 且交线平行于 l 3 2016 全国甲卷 是两个平面 m n 是两条直线 有下列四个命题 如果 m n m n 那么 如果 m n 那么 m n 如果 m 那么 m 如果 m n 那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有 填写所有正确命题的编号 第四节 直线与平面平行的判定与性质 一 知识梳理 1 直线 a 和平面 的位置关系有 其中 与 统称直线在平面外 2 直线和平面平行的判定 1 定义 直线和平面没有 则称直线和平面平行 2 判定定理 3 其他判定方法 3 直线与直线平行的判定 4 直线和平面平行的性质定理 二 考点突破 线面平行的判定 例 1 1 正方体 中 为 中点 DCBA E1 求证 平面 BDE 2 如图 平行四边形 和平行四边形 有一条公共边ABCDCDEF 为 的中点 证明 平面 CDMF FMB 3 三棱柱 中 点 是 中点 求证 平面1CBA DAB 1C1CAD 4 如图 在三棱台 DEF ABC 中 AB 2DE 点 G H 分别 为 AC BC 的中点 求证 BD 平面 FG M A B C D E F 例 2 1 在四棱锥 P ABCD 中 四边形 ABCD 是平行四边形 M N 分别是 AB PC 的中点 求证 MN 平面 PAD 2 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1 中 M N 分别是 BC 和 A1B1 的中 点 求证 MN 平面 AA1C1C 3 如图所示 直三棱柱 ABC A B C BAC 90 AB AC AA 点 M N 分别为 A B 和 B C 的中点 证明 MN 平面 A ACC 4 已知正方体 是底 对角线的交点 1ABCD OABCD 求证 平面 1O 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 下列四个正方体图形中 A B 为正方体的两个顶点 M N P 分别为其所在棱的中点 能得出 AB 面 MNP 的图形的序号是 写出所有符合要求的图形序号 2 表示直线 表示平面 给出下列四个命题 若 则 若 abcM aMb ab 则 若 则 若 则 其 a acb 中正确命题的个数有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3 如图 四棱锥 P ABCD 中 AD BC AB BC AD E F H 分别为线段 12 AD PC CD 的中点 AC 与 BE 交于 O 点 G 是线段 OF 上一点 求证 1 AP 平面 BEF 2 GH 平面 PAD 4 在正方体 中 E G 分别是 BC 中点 1DCBA DC 求证 EG 平面 D1 O D BA C1B 1A1 C 图 线面平行性质定理的应用 例 1 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形 四条侧棱长 均为 2 点 G E F H 分别是棱 PB AB CD PC 上共面的四点 平面17 GEFH 平面 ABCD BC 平面 GEFH 1 证明 GH EF 2 若 EB 2 求四边形 GEFH 的面积 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 如图所示 四边形 ABCD 是平行四边形 点 P 是平面 ABCD 外一点 M 是 PC 的中点 在 DM 上取一点 G 过 G 和 PA 作平面 PAHG 交平面 BDM 于 GH 求证 PA GH 第五节 平面与平面平行的判定与性质 一 知识梳理 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 性质 二 考点突破 面面平行的判定与性质 例 1 已知正方体 1ABCD 1 求证 平面 平面 2 若 M N P 分别是 C1C B 1C1 C 1D1 的中点 求证 平面 MNP 平面 A1BD 例 2 如图所示 三棱柱 ABC A 1B1C1 中 D 是 BC 上一点 且 A1B 平面 AC1D D1 是 B1C1 的中点 求证 平面 A1BD1 与平面 AC1D 平行 例 3 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1 中 E F G H 分别是 AB AC A 1B1 A 1C1 的中点 求证 1 B C H G 四点共面 2 平面 EFA1 平面 BCHG 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 如图所示的几何体 ABCDFE 中 ABC DFE 都是等边三角形 且二 者所在平面平行 四边形 BCED 是边长为 2 的正方形 且所在平面垂直于平面 ABC 1 求几何体 ABCDFE 的体积 2 证明 平面 ADE 平面 BCF 2 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 1 请将字母 F G H 标记在正方体相应的顶点处 不需说明理由 2 判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系 并证明你的结论 全国卷 5 年真题集中演练 明规律 1 2016 全国丙卷 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AD BC AB AD AC 3 PA BC 4 M 为线段 AD 上一点 AM 2MD N 为 PC 的中 点 1 证明 MN 平面 PAB 2 求四面体 N BCM 的体积 2 2014 新课标全国卷 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD E 为 PD 的中点 1 证明 PB 平面 AEC 2 设 AP 1 AD 三棱锥 P ABD 的体积 V 求 A 到平面 PBC 的距离 3 34 第六节 线 面垂直的判定与性质 一 知识梳理 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义 2 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 性质 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义 2 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 性质 定理 二 考点突破 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 Rt ABC 所在平面外一点 S 且 SA SB SC D 为斜边 AC 的中点 1 求证 SD 平面 ABC 2 若 AB BC 求证 BD 平面 SAC 例 2 如图所示 已知 矩形 所在平面 分别是 的中PABCD MN ABPC 点 1 求证 MNCD 2 若 求证 平面 45PA PCD 例 3 如图所示 在直三棱柱 中 侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三柱 1ABC 平面 为 的中点 1AB 1D 求证 1 平面 2 平面 C 11AB 例 4 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E 是 PC 的中点 证明 1 CD AE 2 PD 平面 ABE 平面与平面垂直的判定与性质 例 1 如图 四棱锥 P ABCD 的底面为矩形 PA 底面 ABCD PA AD M 为 AB 的中点 求证 平面 PMC 平面 PCD 例 2 在四面体 中 已知 ABCDBD 45AC 60 求证 平面 平面 例 3 如图 四棱锥 P ABCD 中 AB AC AB PA AB CD AB 2CD E F G M N 分别为 PB AB BC PD PC 的中 点 求证 1 CE 平面 PAD 2 平面 EFG 平面 EMN 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 PB 平面 ABCD 1 若 AC 6 BD 8 PB 3 求三棱锥 A PBC 的体积 2 若点 E 是 DP 的中点 证明 BD 平面 ACE 2 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD AB AD CD 2AB 平面 PAD 底面 ABCD PA AD E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 求证 1 PA 底面 ABCD 2 BE 平面 PAD 3 平面 BEF 平面 PCD 第七节 平行与垂直的综合问题 一 知识梳理 1 平行关系之间的转化 2 垂直关系之间的转化 二 考点突破 例 1 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中 D E 分别为 AB BC 的中点 点 F 在侧棱 B1B 上 且 B1D A 1F A 1C1 A 1B1 求证 1 直 线 DE 平面 A1C1F 2 平面 B1DE 平面 A1C1F 例 2 如图所示 在四棱锥 中 平面 平面 PABCD PABCD ABCDP 是等边三角形 已知 28 245 1 设 是 上的一点 求证 平面 平面 MCM 2 求四棱锥 的体积 证明多面体中的平行与垂直关系 例 3 在如图所示的几何体中 四 边形 ABCD 是正方形 MA 平 面 ABCD PD MA E G F 分别为 MB PB PC 的中点 且 AD PD 2MA 1 求证 平面 EFG 平面 PDC 2 求三棱锥 P MAB 与四棱锥 P ABCD 的体积之比 例 4 如图 在多面体 ABC A 1B1C1 中 AA 1 平面 ABC AA 1 BB1 AB AC AA 1 BC B 1C1 BC 22 12 1 求证 A 1B1 平面 AA1C 2 若 D 是 BC 的中点 求证 B 1D 平面 A1C1C 3 若 BC 2 求几何体 ABC A 1B1C1 的体积 例 1 如图所示 在正方体 中 分别是 的中点 1ABCD EF1 CDA 1 求证 2 求证 1F 3 棱 上是否存在点 使 平面 CPP 若存在 确定点 的位置 若不存在 说明理由 例 2 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PC 平面 ABCD AB DC DC AC 1 求证 DC 平面 PAC 2 求证 平面 PAB 平面 PAC 3 设点 E 为 AB 的中点 在棱 PB 上是否存在点 F 使得 PA 平面 CEF 说明理 由 平行与垂直关系中的探索性问题 能力练通 抓应用体验的 得 与 失 1 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 是 A 60 的菱形 又 PD 底面 ABCD 点 M N 分别是棱 AD PC 的中点 1 证明 DN 平面 PMB 2 证明 平面 PMB 平面 PAD 2 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1 中 AB 平面 BB1C1C BB 1 2BC D E F 分别是 CC1 A 1C1 B1C1 的中点 G 在 BB1 上 且 BG 3GB 1 求证 1 B1D 平面 ABD 2 平面 GEF 平面 ABD 全国卷 5 年真题集中演练 明规律 2017 年 6 如图 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个顶点 M N Q 为所在棱的中 点 则在这四个正方体中 直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 16 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 SC 是球 O 的直径 若平面 SCA 平面 SCB SA AC SB BC 三棱锥 S ABC 的体积为 9 则球 O 的表面积为 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB CD 且 90BAPCD 1 证明 平面 PAB 平面 PAD 2 若 PA PD AB DC 且四棱锥 P ABCD 的体积为 90APD 83 求该四棱锥的侧面积 2016 年 7 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条相互垂直的半径 若该几何体的体积是 则它的表面积是328 A 17 B 18 C 20 D 28 11 平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 则 m n 所成角的正弦值为 A B C D 2016 全国乙卷 18 如图 已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形 PA 6 顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D D 在平面 PAB 内的正投影为点 E 连接 PE 并延长交 AB 于点 G 1 证明 G 是 AB 的中点 2 在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F 说明作法及理由 并求四面体 PDEF 的体积 2015 年 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依 垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的弧度为 8 尺 米堆的高为 5 尺 问米堆的体积和堆放的米各为多少 已知 1 斛米的体积约为 1 62 立 方尺 圆周率约为 3 估算出堆放斛的米约有 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为 r 组成一 个几何体 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 所示 若该几何体的表面积为 16 20 则 r A 1 B 2 C 4 D 8 2015 新课标全国卷 18 如图 四边形 ABCD 为菱形 G 为 AC 与 BD 的交 点 BE 平面 ABCD 1 证明 平面 AEC 平面 BED 2 若 ABC 120 AE EC 三棱锥 E ACD 的体积为 求该三棱锥的 63 侧面 积 2014 年 8 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出的事一个几何体的三视图 则这个几何体是 A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱 2014 新课标全国卷 19 如图 三棱柱 ABC A1B1C1 中 侧面 BB1C1C 为 菱形 B 1C 的中点为 O 且 AO 平面 BB1C1C 1 证明 B 1C AB 2 若 AC AB 1 CBB 1 60 BC 1 求三棱柱 ABC A1B1C1 的高 2013 年 11 某几何函数的三视图如图所示 则该几何的体积为 A B C D 168 8 16 816 15 已知 是球 的直径 上一点 平面 为垂足 截球HOAB 1 2HB A H 所得截面的面积为 则球 的表面积为 O 19 如图 三棱柱 中 1ABC CAB 1A160B 证明 C 若 求三棱柱 的21 1ABC 体积 4 2012 新课标全国卷 如图 三棱柱 ABC A1B1C1 中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 是棱 AA1 的中点 12 1 证明 平面 BDC1 平面 BDC 2 平面 BDC1 分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 C 1B1AA 1BC