初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型

等腰直角三角形中的常用模型 知识精析 1 等腰直角三角形的特征 边 角方面的特征 两直角边相等 两锐角相等 都是 45 边之间的关系 已知任意一边长 可得到其它两边长 2 等腰直角三角形与全等三角形 以等腰直角三角形为背景的几何问题中 常常包含全等三角形 发现并证明其中的全等三 角形往往是解题的关键突破口 熟悉以下基本模型 对解决等腰直角三角形问题很有好处 模型一 一条直线 不与三角形的边重合 过等腰直角三角形的直角顶点 1 以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边 必定可以构造一对全等的直角三角形 1 1 如图 Rt ABC 中 BAC 90 AB AC 点 D 是 BC 上任意一点 过 B 作 BE AD 于点 E 过 C 作 CF AD 于点 F 1 求证 BE CF EF 2 若 D 在 BC 的延长线上 如图 2 1 中的结论还成立吗 若不成立 请写出新 的结论并证明 变式 1 等腰 Rt ABC 中 AB CB ABC 90 点 P 在线段 BC 上 不与 B C 重合 以 AP 为腰长作等腰直角 PAQ QE AB 于 连 CQ 交 AB 于 M E 1 求证 M 为 BE 的中点 2 若 PC 2PB 求 的值MBPC 2 3 1 DD E ECCECAB BA AB 2 F E DCB AA B CDEF 1 2 以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边 必定可以构造一对全等的直角三角形 1 2 如图 Rt ABC 中 BAC 90 AB AC 点 D 是 BC 上任意一点 过 B 作 BE AD 于点 E 交 AC 于点 G 过 C 作 CF AC 交 AD 的延长线与于点 F 1 求证 BG AF 2 若 D 在 BC 的延长线上 如图 2 1 中的结论还成立吗 若不成立 请写出新 的结论并证明 变式 1 如图 在 R ABC 中 ACB 45 BAC 90 AB AC 点 D 是 AB 的中点 t AF CD 于 H 交 BC 于 F BE AC 交 AF 的延长线于 E 求证 BC 垂直且平分 DE 变式 2 等腰 Rt ABC 中 AC AB BAC 90 点 D 是 AC 的中点 AF BD 于点 E 交 BC 于点 F 连接 DF 求证 1 2 变式 3 等腰 Rt ABC 中 AC AB BAC 90 点 D E 是 AC 上两点且 AD CE AF BD 于点 G 交 BC 于点 F 连接 DF 求证 1 2 DEFFED 2 1 CCAB BA G G B A C D E F 2 1 F ED CB A 模型二 等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边 等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边 一定可以以两腰为对应边构造全等三角 形 2 1 连接 AD 求证 ADB 45 变式 1 等腰 Rt ABC 中 AC AB BAC 90 E 是 AC 上一点 点 D 为 BE 延长线 上一点 且 ADC 135 求证 BD DC 变式 2 等腰 Rt ABC 中 AC AB BAC 90 BE 平分 ABC 交 AC 于 E 过 C 作 CD BE 于 D DM AB 交 BA 的延长线于点 M 1 求 的值 2 求 的值 BCA M ABC AB CDE F 2 1 FEDCBA 模型三 两个等腰直角三角形共一个顶点 1 两个等腰直角三角形共直角顶点 必定含一对全等三角形 3 1 如图 1 ABC BEF 都是等腰直角三角形 ABC BEF 90 连接 AF CF M 是 AF 的中点 连 ME 将 BEF 绕点 B 旋转 猜想 CF 与 EM 的数量关系并 证明 2 两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同 必定含一对相似三角形 3 两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反 必定可利用平移构造含一对全 等三角形 如图 ABC 和 EBD 都是等腰直角三角形 BAC BED 90 把 DE 平移到 CF 使 E 与 C 重合 连接 AE AF 则 AEB 与 AFC 全等 关键是利用平行证明 ABE ACF AB CDEAB CDEEDCBA 2 3 ED CBA 3 FEDCBA 2 FF 1 AB CDE 图1图MF EBC A 3 AB CDE 2 AB CDEEDCBA 1 3 2 如图 两个直角三角形 ABC ADE 的顶点 A 重合 P 是线段 BD 的中点 连 PC PE 1 如图 1 若 BAC DAE 45 当 A C D 在同一直线上时 线段 PC PE 的关 系是 2 如图 2 3 将 BAC 绕 A 旋转 度 1 中的结论是否仍然成立 任意选择一个证 明你的结论 经典模型 在 BAC 中 AB AC 且 BAC 90 有一点 D 满足 BDC 90 1 当点 D 在边 BC 下面时 试探究 DB DA 和 DC 的大小关系 2 当点 D 在边 BC 上面时 试探究 DB DA 和 DC 的大小关系 推广 1 ABC 为等边三角形 D 为 BC 下面一点且 BDC 120 此时呢 2 ABC 为等腰三角形 D 为 BC 下面一点且 BDC 60 此时又如何 图1 P E DC B A A B C D E P 图2 A B C D E P 图3 CBADCBAD AB C DADCB A F B D E C 猜想 在运算中是否发现 有某种数量上的对应关系 DB1CA 巩固练习 1 如图 在 中 为 上两点 ARt 90DEBC 为 外一点 且 则下列结论 45DEFF 其BC22E SAE 4122E 中正确的是 A B C D 2 已知 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 若 O 是 BC 的中点 以 O 为顶点作 MON 交 AB AC 于点 M N 1 若 MON 90 如图 1 求证 OM ON BM 2 CN2 MN2 2 若 MON 45 如图 2 求证 AM MN CN 3 如图 在平面直角坐标系中 AOB 为等腰直角三角形 A 4 4 1 若 C 为 x 轴正半轴上一动点 以 AC 为直角边作等腰直角 ACD ACD 90 连 OD 求 AOD 的度数 图1 N M O CB A 图2 N M O CB A 2 过 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E F 为 x 轴负半轴上一点 G 在 EF 的延长线上 以 EG 为直角边作等腰 Rt EGH 过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M 连 FM 等式 是否成立 若成立 请证明 若不成立 说明理由 1 OFM 4 在 ABC 和 DCE 中 AB AC DC DE BAC EDC 90 点 E 在 AB 上 连 AD DF AC 于点 F 试探索 AE AF AC 的数量关系 并求出 DAC 的度数 5 如图 等腰 Rt ABC 和等腰 Rt EDB AC BC DE BD ACB EDB 90 E 为 AB 是一点 P 为 AE 的中点 连接 PC PD 则 PC PD 的位置关系是 数量关系是 并证明 你的结论 当 E 在线段 AB 上变化时 其它条件不变 作 EF BC 于 F 连接 PF 试判断 PCF 的形状 在点 E 运动过程中 PCF 是否可为等边三角形 若可以 试求 ACB 与 EDB 的两直角边之比 F A D B C E 2 6 已知两个共一个顶点的等腰 Rt ABC Rt CEF ABC CEF 90 连接 AF M 是 AF 的中点 连接 MB ME 1 如图 1 当 CB 与 CE 在同一直线上时 求证 MB CF 2 如图 1 若 CB a CE 2a 求 BM ME 的长 3 如图 2 当 BCE 45 时 求证 BM ME 7 如图 在平面直角坐标系中 A 4 0 B 0 4 点 N 为 OA 上一点 OM BN 于 M 且 ONB 45 MON 1 求证 BN 平分 OBA 2 求 的值 BNMO 3 若点 P 为第四象限内一动点 且 APO 135 问 AP 与 BP 是否存在某种确定的位置 关系 请证明你的结论 8 已知 PA PB 4 以 AB 为直角边作等腰直角三角形 ABD 且 P D 两点在直线2 AB 的两侧 1 如图 当 APB 45 时 求 AB 及 PD 的长 2 当 APB 变化 且其它条件不变时 求 PD 的最大值及相应 APB 的大小 D P BA