四川省绵阳市2013届高三第一次诊断性考试数学理试题及答案详解.doc

保密 启用前 考试时间 2012 年 11 月 1 日下午 3 00 5 00 绵阳市高中 2013 级第一次诊断性考试 数学 理科 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 II 卷 3 至 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 考号用 0 5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置 2 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题 0 标号的位置上 非选择题用 0 5 毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内 超出答题区域书写的答案无效 在草稿纸 试题卷 上答题无效 3 考试结束后 将答题卡收回 第 I卷 选择题 共 60 分 选择题 本大题共彳 2 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目荽求的 1 设集合 B 0 1 2 则 等于 A 0 B 0 1 C 0 1 2 D 2 命题 则 是 A B C D 3 己知数列为等差数列 且 则 的值为 A B C D 4 设 则 A c b a B b a c C c a b D a b c 5 函数 的零点所在的区间为 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 6 如 图 在 中 AD 2DB DE EC 若 则 A B C D 7 设函数 的部分图象如下图所示 则 力的表达 式为 A B C D 8 若函数 在区间 O 1 上单调递增 且方程 的根都在区间 2 2 上 则实数 b 的取值范围为 A O 4 B C 2 4 D 3 4 9 已知定义在 R 上的奇函数 X 是 上的增函数 旦 f 1 2 f 2 4 设 若 是 的充分不必要条件 则实数 t 的取 值范围是 A B C D 10 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件 和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件 已知设备甲 每天的租赁费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类产 品 50 件 B 类产品 140 件 所需租赁费最少为 A 2400 元 B 2300 元 C 2200 元 D 2000 元 11 已知函数 则满足不等式 例 X 的取值范围为 A 0 3 B C D 1 3 12 已知定义在 R 上的函数 f X 满足 且当 则 等于 A B C D 第 II 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 已知向量 a 2 1 b x 2 若 a b 则 x 14 已知偶函数 在 上是增函数 则 n 15 已知 a n 是递增数列 且对任意的 都有 恒成 立 则角 的取值范围是 16 设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合 M 给出下列命题 所有奇数都属于 M 若偶数 2k 及属于 M 则 若 则 把所有不属于 M 的正整数从小到大依次择成一个数列 则它的前 n 项和 其中正确命 题的序号是 写出所有正确命题的序号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 说明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 设向量 函数 I 求函数 f x 的最小正周期及对称轴方程 II 当 时 求函数 f x 的值域 18 本题满分 12 分 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn 公差 且 S3 S5 58 a 1 a3 a7成等比数列 I 求数列 a n 的通项公式 II 若 b n 为等比数列 且 记 求 T10值 19 本题满分 12 分 己知二次函数 y f x 的图像过点 1 4 且不等式 f x 0 I 求证 数列 a n 为等比数列 II 若数列 a n 的公比 q f t 数列 b n 满足 求数列 b n 的通项 公式 III 设 对 II 中的数列 b n 在数列 a n 的任意相邻两项 ak与 ak 1之间插 入 k 个 后 得到一个新的数列 记此数列为 cn 求数列 c n 的前 2012 项之和 22 本题满分 14 分 己知函数 在 c 2 处的切线斜率为 I 求实数 a 的值及函数 f x 的单调区间 II 设 对 使得 成 立 求正实数的取值范围 III 证明 绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试 数学 理 参考解答及评分标准 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 BCBCC AADDB AB 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 4 14 2 15 5023 16 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 f x a b cos2x 1 1 sin2x 3sin2x cos2x 2 sin 2x 6 6 分 最小正周期 2T 令 2x 6 k k Z 解得 x 26k k Z 即 f x 的对称轴方程为 x k Z 8 分 当 x 0 2 时 即 0 x 2 可得 6 2x 76 当 2x 6 即 x 6时 f x 取得最大值 f 2 当 2x 7 即 x 2 时 f x 取得最小值 f 2 1 即 f x 的值域为 1 2 12 分 18 解 由 S3 S5 58 得 3a1 3d 5a1 10d 8a1 13d 58 a 1 a 3 a 7成等比数列 a 32 a1a7 即 a 1 2d 2 a1 a1 6d 整理得 a1 2d 代入 得 d 2 a 1 4 a n 2n 2 6 分 由 知 a8 18 b 5 b6 b4 b7 2b5 b6 18 解得 b5 b6 9 T 10 log3b1 log3b2 log3b3 log3b10 log3 b1 b10 log3 b2 b9 log3 b5 b6 5log3 b5 b6 5log39 10 12 分 19 解 由已知 y f x 是二次函数 且 f x 0 的解集是 0 5 可得 f x 0 的两根为 0 5 于是设二次函数 f x ax x 5 代入点 1 4 得 4 a 1 1 5 解得 a 1 f x x x 5 4 分 h x 2f x g x 2x x 5 x 3 4k 10 x 5 x3 2x2 4kx 5 于是 2 34hxk h x 在 4 2 上单调递增 在 2 0 上单调递减 x 2 是 h x 的极大值点 2 3 4 0hk 解得 k 1 6 分 h x x 3 2x2 4x 5 进而得 234hx 令 x 得 123x 由下表 x 3 2 2 2 3 1 h 0 0 h x 极大 极小 可知 h 2 2 3 2 2 2 4 2 5 13 h 1 1 3 2 12 4 1 5 4 h 3 3 3 2 3 2 4 3 5 8 h 3 2 2 4 5 957 h x 的最大值为 13 最小值为 9527 12 分 20 解 asinA a b sinB csinC 由正弦定理 sinisinabcABC 得 22 abc 即 22bc 由余弦定理得 221osabc 结合 0C 得 3 6 分 由 C A B 得 sinC sin B A sinBcosA cosBsinA sinC sin B A 3sin2A sinBcosA cosBsinA sinBcosA cosBsinA 6sinAcosA 整理得 sinBcosA 3sinAcosA 8 分 若 cosA 0 即 A 2 时 ABC 是直角三角形 且 B 6 于是 b ctanB 2tan 6 3 S ABC 12bc 3 10 分 若 cosA 0 则 sinB 3sinA 由正弦定理得 b 3a 联立 结合 c 2 解得 a 7 b 6 S ABC 12absinC 2 32 7 综上 ABC 的面积为 3或 7 12 分 21 解 当 t 1 时 2a n 2 0 得 an 1 于是数列 a n 为首项和公比均为 1 的等比数列 1 分 当 t 1 时 由题设知 t 1 S 1 2ta1 t 1 解得 a1 1 由 t 1 S n 2tan t 1 得 t 1 S n 1 2tan 1 t 1 两式相减得 t 1 a n 1 2tan 1 2tan 12nat 常数 数列 a n 是以 1 为首项 21t 为公比的等比数列 4 分 q f t t b 1 a1 1 b n 1 2f bn 1b 1nnb 数列 n 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 于是 1nb b 8 分 III 当 t 13时 由 I 知 an 1 2 于是数列 c n 为 1 1 12 2 2 2 3 3 3 31 2 设数列 a n 的第 k 项是数列 c n 的第 mk项 即 ak mc 当 k 2 时 m k k 1 2 3 k 1 1 2 m 62 623195 m 63 63406 设 Sn表示数列 c n 的前 n 项和 则 S2016 1 2 62 1 1 2 2 2 1 3 3 3 1 62 62 62 显然 1 1 2 621 63621 2n 2 2n 1 2 4n 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 1 62 62 62 1 22 32 42 52 62 612 622 2 1 2 1 4 3 4 3 6 5 6 5 62 61 62 61 3 7 11 123 31 2 1953 S 2016 62 1953 1955 621 S 2012 S2016 c2016 c2015 c2014 c2013 1955 621 62 62 62 1769 61 即数列 c n 的前 2012 项之和为 1769 612 12 分 22 解 由已知 fxa 由题知 1 2 2f 解得 a 1 于是 xfx 当 x 0 1 时 0fx f x 为增函数 当 x 1 时 f x 为减函数 即 f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 5 分 由 x1 0 f x 1 f 1 0 即 f x1 的最大值为 0 由题知 对 x1 0 x2 0 使得 f x1 g x 2 成立 只须 f x max g x max 2 kgx kx kx k 只须 0 解得 k 1 10 分 要证明 22ln3ln14 n N n 2 只须证 222lll 只须证 222ln3ln1 由 当 1x 时 0fx f x 为减函数 f x lnx x 1 0 即 lnx x 1 当 n 2 时 2ln 22ln111 n 2l3ln 2 3 1n 211 n 22ln3l4 n 14 分