初三圆知识点复习总结

1 初三数学圆知识点 一 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 简单记成 一条直线 过圆心 垂直弦 平分弦 平分弦所对的劣弧 平分弦所对的优弧弧 以上以任意两个为已知条件 其它三个都成立 简称 2 推 3 定理 此定理中共 5 个结论中 只要知道其中 2 个即 可推出其它 3 个结论 即 是直径 中任意 2ABCD E BC BD AC AD 个条件推出其他 3 个结论 例 1 如图 在 O 中 弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E 若 BAD 30 且 BE 2 则 CD 例 2 已知 O 的直径 是 O 的弦 且 垂足为 则 的长为 C 10CDcm 8ABcm M A B C 或 D 或5c4525423c4m 例 3 如 图 是 一 个 古 代 车 轮 的 碎 片 小 明 为 求 其 外 圆 半 径 连 结 外 圆 上 的 两 点 A B 并 使 AB 与 车 轮 内 圆 相 切 于 点 D 做 CD AB 交 外 圆 于 点 C 测 得 CD 10cm AB 60cm 则 这 个 车 轮 的 外 圆 半 径 为 例 4 如图 在 5 5 的正方形网格中 一条圆弧经过 A B C 三点 那么这条圆弧所在圆的圆心是 A 点 P B 点 Q C 点 R D 点 M 二 圆周角定理 1 圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧所对的圆周角相等 等于它所对的圆心的角的一半 即 和 是 所对的圆心角和圆周角 AOB AB 2AOBC 2 圆周角定理的推论 推论 1 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角所对的弦直径90 推论 2 圆内接四边形的对角互补 由对称性还可知 1 在同圆或等圆中 如果圆心角相等 那么它们所对的弧相等 所对的弦相等 2 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的弦相等 3 在同圆或等圆中 如果弦相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的弧相等 简记 在同圆或等圆中 弦 圆心角 弧中只要一个相等 其它两个也相等 例 1 如图 已知 A B C 三点在 O 上 AC BO 于 D B 55 则 BOC 的度数是 70 例 2 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中 可判断圆弧为半圆的是 O E DC B A D C B A O 2 A B C D 例 3 如图 ABCD 的顶点 A B D 在 0 上 顶点 C 在 0 的直径 BE 上 连接 AE E 36 0 则 ADC A 44 0 B 54 0 C 72 0 D 53 0 学生练习 3 三 与圆有关的位置关系 1 点与圆的位置关系 设圆的半径为 r 点到圆心的距离为 d 则点在圆内 点在圆上 点在圆外 2 直线与圆的位置关系 如果 O 的半径为 r 圆心 O 到直线 L 的距离为 d 那么 1 直线和圆有 个公共点时 叫做直线与圆相交 这时直线叫做圆的 公共点叫做 此时 d r 2 直线和圆有 个公共点时 叫做直线与圆相切 这时直线叫做圆的 公共点叫做 此时 d r 3 直线和圆有 个公共点时 叫做直线与圆相离 此时 d r 3 切线的性质与判定定理 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可即 且 过半径 外端 是 的切线MNOA AMNO 2 性质定理 切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理 即 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 4 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角 即 是的两条切线 平分PABPAB OPA 例 1 已知 O 的半径为 3 A 为线段 PO 的中点 则当 OP 6 时 点 A 与 O 的位置关系为 A 点在圆内 B 点在圆上 C 点在圆外 D 不能确定 2 O 的半径为 6 O 的一条弦 AB 长为 3 以 3 为半径的同心圆与直线 AB 的位置关系是 A 相离 B 相切 C 相交 D 不能确定 3 如图所示 O 的外形梯形 ABCD 中 如果 AD BC 那么 DOC 的度数为 A 70 B 90 C 60 D 45 4 如图所示 PA 与 PB 分别切 O 于 A B 两点 C 是 上任意一点 过 C 作 O 的切线 交 PA 及A PB 于 D E 两点 若 PA PB 5cm 则 PDE 的周长是 cm 5 如图 在平面直角坐标系 中 半径为 的 的圆心 的坐标为 将 沿 轴2xOy2P 3 0 Px 正方向平移 使 与 轴相切 则平移的距离为P A 1 B 1 或 5 C 3 D 5 6 如图 Rt ABC 中 ABC 90 以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D 点 E 为 BC 的中点 连接 DE 1 求证 DE 是半圆 O 的切线 2 若 BAC 30 DE 2 求 AD 的长 NM A O P B A O D C 第 6题 B A O 4 7 如图 在 ABO 中 OA OB C 是边 AB 的中点 以 O 为圆心的圆过点 C 1 求证 AB 与 O 相切 2 若 AOB 120 AB 4 求 O 的面积 8 如图所示 点 I 是 ABC 的内心 AI 的延长线交边 BC 于点 D 交 ABC 外接圆于点 E 1 求证 IE BE 2 若 IE 4 AE 8 求 DE 的长 9 已知点 M N 的坐标分别为 0 1 0 1 点 P 是抛物线 214yx 上的一个动 点 1 求证 以点 P 为圆心 PM 为半径的圆与直线 1y 的相切 2 设直线 PM 与 抛物线 24yx 的另一个交点为点 Q 连接 NP NQ 求证 NMQ I C A E DB 5 练习 8 如图 直线 l 与半径为 4 的 O 相切于点 A P 是 O 上的一个动点 不与点 A 重合 过点 P 作 PB l 垂足为 B 连接 PA 设 PA x PB y 则 x y 的最大值是 2 9 已知 ABC 内接于 O 过点 A 作直线 EF 1 如图 所示 若 AB 为 O 的直径 要使 EF 成为 O 的切线 还需要添加的一个条件是 至少说出两种 BAE 90 或者 EAC ABC 2 如图 所示 如果 AB 是不过圆心 O 的弦 且 CAE B 那么 EF 是 O 的切线吗 试证明你的判断 四 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式 周周周 周周周周周 C1 D1D CB A 6 1 扇形 1 弧长公式 2 扇形面积公式 180nRl 21360nRSl 圆心角 扇形多对应的圆的半径 扇形弧长 扇形面积nRl 2 圆柱 1 圆柱侧面展开图 2S 侧表 底 2rh 2 圆柱的体积 2Vrh 3 圆锥侧面展开图 1 2 圆锥的体积 侧表 底 Rr 213Vrh 4 正多边形的其它性质 1 正多边形都是轴对称图形 一个正 n 边形共有 n 条对称轴 每条对称轴都通过正 n 边形的中心 边数为偶数的正多边形还是中 心对称图形 它的中心就是对称中心 2 边数相同的正多边形相似 5 正多边形的有关计算正多边形的外接圆 或内切圆 的圆心叫做正多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 内切圆的 半径叫做正多边形的边心距 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 正 n 边形的有关计算公式 nn 0036182 1 每 个 内 角 n036 每 个 外 角 2 Rasi 边 形 边 长正 Rr18cos 内 切 圆 半 径 an 边 形 周 长正 3 rS 002iP2 边 形 面 积正 注意 同一个圆的内接正 n 边形和外切正 n 边形是相似形 相似比是圆的内接正 n 边形边心距与它的半径之比 n018cos 这样 同一个正 n 边形的内切圆和外接圆的相似比 018cos 例 1 一个圆锥的侧面展开图是半径为 8cm 圆心角为 120 的扇形 则此圆锥底面圆的半径为 A cm B cm C cm D cm83163343 例 2 已知圆的半径是 则该圆的内接正六边形的面积是 2 A B C D 9186 4 如图 O 是正五边形 ABCDE 的外接圆 这个正五边形的边长为 a 半径为 R 边心距为 r 则下列关系式错误的是 A R2 r2 a2 B a 2Rsin36 C a 2rtan36 D r Rcos36 5 如图 O 的直径 AB 的长为 10 弦 AC 的长为 5 ACB 的平分线交 O 于点 D 1 求弧 BC 的长 2 求弦 BD 的长 B1 R rC BA O 7 6 三角形的内心 外心 重心 垂心 1 三角形的内心 是三角形三个角平分线的交点 它是三角形内切圆的圆心 在三角形内部 它到三角形三边的距离相等 通常 用 I 表示 2 三角形的外心 是三角形三边中垂线的交点 它是三角形外接圆的圆心 锐角三角形外心在三角形内部 直角三角形的外心是 斜边中点 钝角三角形外心在三角形外部 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 通常用 O 表示 3 三角形重心 是三角形三边中线的交点 在三角形内部 它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍 通常用 G 表示 4 垂心 是三角形三边高线的交点 例 1 ABC 中 AB AC 10 BC 12 则 ABC 的外接圆半径是 外 切 圆 半 径 为 7 辅助线总结 圆中常见的辅助线 1 作半径 利用同圆或等圆的半径相等 2 作弦心距 利用垂径定理进行证明或计算 或利用 圆心 弧 弦 弦心距 间的关系进行证明 3 作半径和弦心距 构造由 半径 半弦和弦心距 组成的直角三角形进行计算 4 作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5 作弦 直径等构造直径所对的圆周角 直角 6 遇到切线 作过切点的弦 构造弦切角 7 遇到切线 作过切点的半径 构造直角 8 欲证直线为圆的切线时 分两种情况 1 若知道直线和圆有公共点时 常连结公共点和圆心证明直线垂直 2 不知道直线和 圆有公共点时 常过圆心向直线作垂线 证明垂线段的长等于圆的半径 9 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 10 遇到三角形的内心 常作 1 内心到三边的垂线 2 连结内心和三角形的顶点 11 遇相交两圆 常作 1 公共弦 2 连心线